☉江蘇省泰興中學(xué) 常國良

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)該站在方法論的框架下，加強(qiáng)對學(xué)生的方法培養(yǎng)，由此來促使學(xué)生深刻領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維的精髓，進(jìn)而提升分析和解決問題的能力.

一、在基本概念與定理的教學(xué)中滲透方法教育

現(xiàn)在依然有很多數(shù)學(xué)老師在講解基本概念與定理時，都是按照以下三個流程展開：（1）定義講解；（2）注意點(diǎn)分析；（3）變式訓(xùn)練.在這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)模式下，學(xué)生根本無法真正感受到概念建立過程中的數(shù)學(xué)方法，甚至連最基本的概念本質(zhì)都無法掌握，教師應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生站在數(shù)學(xué)方法論的體系下研究概念和定理的形成過程，由此讓學(xué)生在概念的認(rèn)識過程中掌握其中最為本質(zhì)的方法和內(nèi)涵.

案例1 微積分的基本定理.

設(shè)計思路：以歸納、猜想和探究為最基本的主線，然后通過問題形式來引領(lǐng)學(xué)生展開更加積極而深入的思考，并引導(dǎo)學(xué)生展開歸納和猜想，同時還要組織他們對探究中的收獲和體會進(jìn)行交流.

問題1：現(xiàn)有某個物體正在做直線運(yùn)動，已知速度v=v（t）在時間間隔［a，b］上是連續(xù)函數(shù)，而且v（t）≥0，那么這段時間物體所經(jīng)過的路程為多少？

問題2：假設(shè)某個物體發(fā)生著與問題1一樣的直線運(yùn)動，現(xiàn)已知路程s=s（t）在時間間隔［a，b］上是連續(xù)函數(shù)，那么這段時間物體所經(jīng)過的路程為多少？（追問：（sb）-（sa）為什么不是（t）dt？ ）

問題4：函數(shù)v=v（t）和s=s（t）是不是存在著某種較為特殊的關(guān)系？

在上述問題串的引導(dǎo)下，學(xué)生將逐步理解微積分的基本定理，并逐步領(lǐng)悟微積分的有關(guān)性質(zhì)，進(jìn)而體會到從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，而且學(xué)生還將從中感受到微積分定理的思考方法，為他們今后的獨(dú)立分析和問題解決奠定扎實(shí)的基礎(chǔ).

二、在習(xí)題教學(xué)中促使學(xué)生對數(shù)學(xué)方法形成領(lǐng)悟

從教學(xué)實(shí)踐來講，我們對學(xué)生的學(xué)習(xí)過程進(jìn)行評價的方式主要還是體現(xiàn)在解題能力的層面，因此促使學(xué)生解題能力的提高依然是高中數(shù)學(xué)最重要的教學(xué)目標(biāo)之一.在教學(xué)實(shí)踐中，有的教師過分依賴題海戰(zhàn)術(shù)，他們寄希望通過加強(qiáng)訓(xùn)練來提升學(xué)生的解題能力，卻總是無法收獲預(yù)期的效果.教師在引導(dǎo)學(xué)生對解題方法和相關(guān)規(guī)律進(jìn)行探究時，我們要讓學(xué)生掌握有關(guān)問題的常規(guī)解題規(guī)律，并對其中的思維方法進(jìn)行感悟，由此取得觸類旁通的效果.

案例2 如圖1所示，現(xiàn)有拋物線C：y=2x2，直線y=kx+2交C于A、B兩點(diǎn)，且令線段AB的中點(diǎn)為M，經(jīng)過M作x軸的垂線交C于點(diǎn)N.

（1）證明：拋物線C在N點(diǎn)的切線和AB平行.

（2）是否存在這樣的實(shí)數(shù)k，使得N—→A·N—→B=0，若存在，求k的取值；若不存在，請闡述理由.

設(shè)計思路：本題在處理時，可以采用問題串的形式，引導(dǎo)學(xué)生站在數(shù)學(xué)方法論的框架下對數(shù)學(xué)問題的解題方法展開探討.

問題1：當(dāng)直線y=kx+2的斜率k確定時，N點(diǎn)坐標(biāo)確定嗎？（斜率k應(yīng)該是變化的主因）

問題2：既然N點(diǎn)坐標(biāo)可以由斜率k來確定，那么如何用k表示N點(diǎn)坐標(biāo)呢？（聯(lián)立方程之后采用韋達(dá)定理）

問題3：怎么求拋物線C在N點(diǎn)處的切線？（求導(dǎo)或判別式等于零）

問題4：所有的N點(diǎn)中，是否存在某點(diǎn)可使N—→A·N—→B=0？如何求解該點(diǎn)？（結(jié)合韋達(dá)定理將N—→A·N—→B=0轉(zhuǎn)化成關(guān)于k的方程）

圖1

通過以上引導(dǎo)，學(xué)生不但對這類問題的解題規(guī)律有了理解，同時還深刻感悟到方程與函數(shù)等數(shù)學(xué)思想的重要價值，更重要的是學(xué)生還逐漸體會到問題探索的一般規(guī)律，掌握了解決的常規(guī)方法，并由此獲得解題能力的提升.

三、在探究性學(xué)習(xí)中啟發(fā)創(chuàng)新思維

探究性、過程性、體驗(yàn)性和實(shí)踐性都是探究性學(xué)習(xí)的重要特點(diǎn)，以此種方式來引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)能較大程度地激起學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并充分發(fā)揮學(xué)生的主體性，有效轉(zhuǎn)化學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的常規(guī)方式，同時這也有助于學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展獨(dú)立探究的數(shù)學(xué)興趣，并能積極獲取切身參與和探究的基本經(jīng)驗(yàn)，提升問題發(fā)現(xiàn)和分析的基本能力.在開展探究性學(xué)習(xí)的過程中，教師應(yīng)該加強(qiáng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的手段，并藉此來發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維.

案例3 抽象函數(shù)對稱性的探究性學(xué)習(xí).

基本思路：采用類比和歸納等數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)并啟發(fā)學(xué)生提出問題，并積極探求問題的解決方案.

問題1：若函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=f（a-x），試分析f（x）的圖像具備怎樣的對稱性特點(diǎn)？

問題2：若函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=-f（a-x），試分析f（x）的圖像具備怎樣的對稱性特點(diǎn)？

問題3：若函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=f（b-x），試分析f（x）的圖像具備怎樣的對稱性特點(diǎn)？

問題4：若函數(shù)y=f（x）滿足f（a+x）=-f（b-x），試分析f（x）的圖像具備怎樣的對稱性特點(diǎn)？

問題5：試分析函數(shù)y=f（a+x）與函數(shù)y=f（a-x）的圖像滿足怎樣的對稱關(guān)系？

問題6：試分析函數(shù)y=f（a+x）與函數(shù)y=-f（a-x）的圖像滿足怎樣的對稱關(guān)系？

問題7：試分析函數(shù)y=f（a+x）與函數(shù)y=f（b-x）的圖像滿足怎樣的對稱關(guān)系？

問題8：試分析函數(shù)y=f（a+x）與函數(shù)y=-f（b-x）的圖像滿足怎樣的對稱關(guān)系？

通過以上問題串的分析和探索，我們不但能有效發(fā)展學(xué)生提出并解決問題的基本能力，同時還能幫助學(xué)生從其中領(lǐng)悟類比的思維方法，學(xué)生也將由此而充分體驗(yàn)到數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的手段.在有關(guān)內(nèi)容的探究過程中，歸納和類比等數(shù)學(xué)方法都貫穿于始終，也正如波利亞所言：“類比推理和歸納推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中起著非常重要的作用.”以上教學(xué)中，教師通過問題串的設(shè)計和提出為學(xué)生搭建了一個良性的探究平臺，引導(dǎo)學(xué)生在具體的探究活動中體會科學(xué)方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想.

四、在實(shí)踐中注意總結(jié)與反思

在指導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法時，我們要善于在實(shí)踐中不斷地進(jìn)行總結(jié)和反思.經(jīng)過一段時間的探索，筆者有如下體會.

首先，我們要注意通過問題來激活學(xué)生，由此來調(diào)動學(xué)生主動思維的積極性.新課程教學(xué)中，我們要注意在適當(dāng)?shù)臅r候和節(jié)點(diǎn)提出相應(yīng)的問題，并以此來培養(yǎng)學(xué)生的問題意識.而且，我們還要恰當(dāng)?shù)貙W(xué)生的思維進(jìn)行適度而合理地啟發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生積極的思考和探索.在設(shè)計問題時，我們要注意相關(guān)內(nèi)容應(yīng)該有較為詳實(shí)的情境作為支撐，且相關(guān)活動都應(yīng)該圍繞學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)來展開.并且我們的設(shè)計要便于學(xué)生進(jìn)行交流和思考，而且要積極圍繞知識的本質(zhì)，要做到有層次，有條理，加強(qiáng)學(xué)生形成知識的過程體驗(yàn).

其次，我們要積極營造和諧而民主的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生樂于參與課堂的互動，并積極發(fā)表自己的觀點(diǎn)，和同學(xué)、老師交流自己的認(rèn)識.教師在進(jìn)行交流的過程中要實(shí)時地監(jiān)控學(xué)生的思維，并通過師生間的言語、動作及情感等方面的交流，讓教師發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維障礙的存在，明確學(xué)生在問題解決時需要得到怎樣的幫助，由此教師將有效發(fā)現(xiàn)問題解決的基本策略.

最后，教師也必須充分意識到要給予學(xué)生足夠的時間和空間進(jìn)行思考.在當(dāng)前的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，由于急功近利思想的影響，學(xué)生思考的時間經(jīng)常得不到有效的保障，這在一定程度上抑制了學(xué)生思維的有效開展.此外，教師還要設(shè)計各類有內(nèi)涵的問題，為學(xué)生的思考留下寬闊的空間，讓學(xué)生在訓(xùn)練中得到提升和發(fā)展.

1.趙曉陽.課本習(xí)題的價值在探索中升華——改造我們的數(shù)學(xué)教學(xué)方法［J］.數(shù)學(xué)通報，2003（9）.

2.鐘志華，寧連華，白會平.例談數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2007（3）.F