☉南京大學附屬中學 杭麗華

數(shù)學學習需要關注很多方面，這也是學生學習中數(shù)學綜合能力素養(yǎng)的方方面面.比如，從定義和概念的角度我們要關注數(shù)學本質(zhì)；從變式角度思考知識運用的多樣性；從運算的角度體會代數(shù)方法的力量；從幾何意義的角度思考圖形化的重要作用等等，這些方方面面的結(jié)合才是數(shù)學綜合能力的培養(yǎng).

另一方面，大量研究表明學生數(shù)學問題的解決途徑主要是依賴直覺和慣性，這種直覺和慣性更多的是思維簡單化的體現(xiàn).并不是說學生這么做不對，而是因為學生在數(shù)學學習過程中對知識的掌握和理解暫時只能達到這個層次，因此思維簡單化也是極為正常的選擇.這樣做最大的優(yōu)點是從解題角度發(fā)現(xiàn)問題的可解性，最大的缺點是往往因為思維直覺化導致運算量有一定的攀升，因此可以這么說對于初學者而言要加強思維直覺角度下的運算能力培養(yǎng)是關鍵.

一、數(shù)學思想在基本運算中的重要性

基本運算是一切數(shù)學學習的基礎，比如，各種三角公式的使用、向量的坐標計算、解析幾何中直線和圓的位置關系、空間幾何中向量方法的使用等等.不少學生在應試中計算方面的失分較多，而且很多因素是各種各樣的基本運算，這足以表明簡單問題下的運算是需要加強的.這里筆者需要進一步指出的是，重視基本運算的重要性不僅僅是基本量的運算這么簡單，更要關注在這運算中涉及一些簡單的數(shù)學思想，這樣的基本運算才是有質(zhì)有量的.

問題1 設等差數(shù)列{an}的前n項和Sn=m，前m項和Sm=n（m≠n），求它的前m+n項的和Sm+n.

分析：本題是一道注重基本量運算的等差數(shù)列基本問題.學生對于這樣的問題思路上不存在什么問題，往往采用首項和公差的方式進行計算，設{an}的公差為d，所 以， 所 以 S=（m+n）a+m+n1

但是這個方式筆者曾經(jīng)在學生中測試過，大多數(shù)學生并沒有獲得最終的結(jié)論，顯而易見僅僅擁有基本運算是不夠的，缺乏一定思想指導下的基本運算都是低效的.那么如何解決這樣的基本量運算問題呢？筆者認為教學要關注在一定思想指導下的基本運算，這樣的教學是合理的、高效的.思考等差數(shù)列前n項和的函數(shù)本質(zhì)，我們不難發(fā)現(xiàn)其為必過原點的二次函數(shù)，因此從一定思想基礎上的基本運算是問題解決的關鍵：設Sn=An2+Bn（m-n）=n-m.因為m≠n，所以A（m+n）+B=-1，所以A（m+n）2+B（m+n）=-（m+n），所以Sm+n=-（m+n）.

可以這么說，重視基本運算不僅僅是最簡單的數(shù)學運算，而是更要注重一些數(shù)學思想的滲透，如本題中涉及的函數(shù)思想、三角公式中涉及的整體思想等等，正是因為有了這樣的思想，我們才能將這樣的基本運算做得更為簡捷、更為容易，使得數(shù)學解題運算來得高效和有效.

二、關注函數(shù)知識在思維直覺中的始終

函數(shù)是中學數(shù)學最重要的知識，不少其他知識都與函數(shù)緊密聯(lián)系.可以這么說，做一個數(shù)學問題歸根到底是轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，而直覺思維是最能體現(xiàn)轉(zhuǎn)化的思維，大多數(shù)變量問題最終勢必與函數(shù)模型緊密相連，而這樣的思維模式下的運算將會是函數(shù)運算能力的深化和體現(xiàn).也就是說，數(shù)學中的變量問題——直覺思維函數(shù)模型——模型運算——求解成功.

問題2 設e1，e2為單位向量，非零向量b=xe1+ye2，x，y∈R，若e，e的夾角為，則的最大值等于______.

分析：本題是浙江高考真題，根據(jù)命題組編制本題的含義來說，其考查的主導思路是幾何法，即圖形化的處理：不妨設x≠0，由b=xe+ye，x，y∈R，e+e，所1212結(jié)合平行四邊形法則（如的最大值為2.

圖1

本題的幾何解答方式巧妙，但是筆者給學生做過這樣的問題嘗試，百分之九十五以上的學生思維直覺是對條件進行代數(shù)化平方的處理，因為幾何意義在本題中有一定的隱藏，導致學生發(fā)現(xiàn)困難.學生將結(jié)論進行代數(shù)思維的直覺化處理，即平方后怎么進行運算處理？函數(shù)模型又是怎么轉(zhuǎn)換處出來？b2=|b|2=一般學生到這個步驟后基本限于停頓，其缺失進一步的直覺思維下的運算處理能力.其實教師站在系統(tǒng)的高度上加以引導，大部分學生是可以獲得問題解決的思路，并能夠牢固的存儲在知識體系中.這里要分三步引導：第一模型是不是齊次式？齊次式的處理方式你能回憶到什么？如sin2α+3sinα·cosα+2cos2α=1，求tanα等于多少？第二，整體思想貫穿于數(shù)學教學的始終，在齊次式處理后你體會到了什么？第三，函數(shù)模型的發(fā)現(xiàn).有了這樣的合理引導，學生后續(xù)也能獲得問題解決的正確導向和思維直覺下的運算，從而轉(zhuǎn)化出來的函數(shù)問題也不再是難點.看本題的=t∈R，即整體思想的介入），則≤2，所以的最大值為2.

三、體會庖丁解牛在思維直覺中的運算使用

庖丁解牛解數(shù)學問題，顧名思義是將復雜問題利用思維直覺分割完成，通過一個步驟一個步驟的分解，將完整問題的運算分割成多步進行，從而達到簡化問題求解的目的.

（1）當a=0時，求（fx）的極小值；

（2）若存在x1，x2∈［e，e2］，使（fx1）≤f（′x2）+a成立，求實數(shù)a的取值范圍.

分析：本題是利用導數(shù)知識研究函數(shù)的壓軸問題，主要從函數(shù)單調(diào)性、極值等角度思考，其中涉及分類思想、存在性問題的處理手段等，對學生綜合問題解決能力要求較高.從學生的解決現(xiàn)狀來看，普遍是比較茫然的.第（1）問較為容易，不再過多贅述，f（x）的極小值是f（e）=e.主要分析第（2）問，我們采用思維直覺下的處理，分步驟解決問題：

步驟（1）：存在性問題如何處理？單變量還是雙變量？

步驟（2）：采用動函數(shù)研究還是定函數(shù)研究？

步驟（3）：參變分離和分類討論哪個手段更簡潔？

步驟（4）：函數(shù)最值求解中的知識使用.

解決步驟（1）：進一步研究問題，我們發(fā)現(xiàn)命題“若?x1，x2∈［e，e2］使f（x1）≤f′（x2）+a成立”等價于“當x∈［e，e2］時，（fx）min≤f′（x）max+a”.由于f′（x）=--a在［e，e2］上為增函數(shù)，當x∈［e，e2］時，f（′x）max=1 4-a，所以f′（x）max+a=，即“當x∈［e，e2］時，有能成立”.顯然通過此處的分析，我們將雙變量存在性問題已經(jīng)化歸為單變量存在性問題.

解決步驟（2）：存在性問題怎么處理？顯然可以是選擇動函數(shù)研究討論手段或參變分離后的定函數(shù)手段，根據(jù)實際情況解決.

解決步驟（4）：一般解決非基本初等函數(shù)的最值，我們都會使用導數(shù)工具的使用.g′（x）=-，由-4x∈（-4e2，-4e］，ln2x∈［1，4］，得-4x+ln2x∈［1-4e2，4-4e］，所以-4x+ln2x＜0恒成立，故g′（x）=在x∈［e，e2］上為減函數(shù)，故.顯然參變分離研究定函數(shù)最值的方式獲得了突破，而且也避免了討論動函數(shù)的方式，大大簡化了問題的計算.思維直覺告訴我們，可以參變分離手段的使用，在運算中將會大大簡化問題的計算量，讓解題變得更為有效.

數(shù)學問題的解決更多是思維直覺的使用，我們不可能在技巧上過多地要求學生，但是可以在直覺思維的載體下加強運算能力的培養(yǎng)，這種培養(yǎng)不僅僅是對于基本量運算有要求，更是依賴于一定的思想下的運算能力的培養(yǎng)，在問題解決中將運算環(huán)節(jié)進行分步驟進行，與其他知識相互穿插進行，這樣的運算才是體現(xiàn)效率的運算，而不僅僅是一味的“死算”.后續(xù)教學中，筆者認為要加強直覺思維引導下的運算提高，這才是學生進一步解決問題有效性的關鍵.

1.宋衛(wèi)東.從生“動”到生動，詮釋思維品質(zhì)的提升［J］.中學數(shù)學月刊，2013（5）.

2.方石.數(shù)學教學詮釋思維品質(zhì)［J］.數(shù)學通訊，2014（4）.

3.柴賢亭.數(shù)學教學中的函數(shù)問題設計［J］.教學與管理，2012（10）.H