☉江蘇省溧水高級中學 李寬珍

高中數(shù)學新課程標準修訂版提出了數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算和數(shù)據(jù)分析等六大數(shù)學核心素養(yǎng).數(shù)學核心素養(yǎng)是具有數(shù)學基本特征的、適應個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的人的關鍵能力與思維品質(zhì)，也是確保課程改革整體推進的核心.數(shù)學教學中，數(shù)學核心素養(yǎng)落實的迫切性日趨引起重視，如何在解題教學中落實核心素養(yǎng)的考查？筆者所在學校周末進行了一次周練，其中最后一題用了2017年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試理科數(shù)學第20題，學生的解答不理想.筆者以這道題為載體，談談核心素養(yǎng)在解題教學中的滲透，不當之處，敬請批評指正.

一、題目呈現(xiàn)

（2）設直線l不經(jīng)過P2點且與C相交于A，B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，證明：l過定點.

二、教學分析

（一）在分析問題過程中培養(yǎng)學生的邏輯推理能力

本題第（2）問是一道圓錐曲線中的定點定值問題，在解決這個問題時，可以從多個視角入手，因此也形成了不同的解題思路.

視角1：從結論入手

本題要求l過定點，設出直線l方程，根據(jù)直線P2A與直線P2B的斜率的和為-1，整理得到A，B橫坐標的和與積的關系.因此需要將直線l方程，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)根與系數(shù)的關系得到直線中的定量關系.

證法1：設直線P2A和P2B的斜率分別是k1，k2.

如果l與x軸垂直，設l：x=t，由題設知t≠0，且|t|＜2，可得A，B的坐標分別為

由題設條件知，Δ=16（4k2+1-m2）＞0.

即m=-1-2k，當k＜0時，Δ＞0，

欲使y=kx-1-2k，即y+1=k（x-2），所以直線l過定點（2，-1）.

視角2：從題目隱含的基本圖形出發(fā)

本題的圖形隱含著“過橢圓上一個已知點作一條直線，與橢圓交于另一點”這個基本圖形，而這個基本圖形的解決方法常常是將直線與橢圓聯(lián)立，由于已知一個點的坐標，所以容易求出另一個交點，由此用分別用P2A，P2B的斜率表示出A，B點的坐標，寫出AB直線方程，找到直線過定點.

設直線P2A，P2B的斜率分別為k1，k2，則P2A，P2B的方程分別為y=k1x+1，y=k2x+1，其中k1+k2=-1.則直線P2A，P2B的方程為［k1x+（1-y）］［k2x+（1-y）］=0，

方程③的解就是橢圓C與兩直線P2A，P2B三個公共點P2，A，B的坐標，

當y≠1時，③可化為4k1k2（1+y）-x+（1-y）=0，

即A，B兩點的坐標滿足方程4k1k2（1+y）-x+（1-y）=0所以直線AB經(jīng)過定點（2，-1）.

解題方法的獲得來自于題設條件、要證明的結論、題目結構之間的綜合分析.對題目所給的條件和結論進行邏輯推理，通過對此題的分析，教會學生發(fā)現(xiàn)已知和未知之間可能的因果鏈接，養(yǎng)成運用邏輯思考、分析問題的習慣.教會學生將新問題轉化為會解決的問題，未知的轉化為已知的，復雜的轉化為簡單，因為只有在這些轉化的過程中所用到的基礎知識、基本技能和基本思想才能讓學生真正理解、接受，只有經(jīng)歷解答的過程才能積累基本活動經(jīng)驗，才能逐步培養(yǎng)學生的核心素養(yǎng).在日常教學中，教師要幫助學生把一個個具體知識理解到位并能用于解決問題，在日常教學中落實新理念，以核心素養(yǎng)為指向，既可以摒棄數(shù)學中諸如題海戰(zhàn)術之類的錯誤，又能切實發(fā)展學生核心素養(yǎng).

（二）在拓展延伸中培養(yǎng)學生的數(shù)學運算能力

在解題教學中，教師不能僅僅滿足于“就題論題”，也不能止步于“練習鞏固”，而要通過有意義的探究活動，挖掘這一類題隱含的教學資源，圍繞“用代數(shù)方法解決幾何問題”這一主線，對原題進行拓展延伸，這樣可以極大提高課堂的效率和生機，培養(yǎng)學生的數(shù)學運算能力.

解完此題，可以追問學生：

（1）當直線P2A與直線P2B的斜率的和為定值時，直線l具有怎樣的特征？

即當k1+k2=λ（λ≠0）是定值時，直線l恒過定點

（2）當直線P2A與直線P2B的斜率的積為定值時，結果又如何？

由“和”的定量關系，很容易想到其他運算結果是否也存在定量關系，自然就想到“積”的定量關系是否成立.解決方法和前面相同，此處限于篇幅，不一一細證.我們知道，圓錐曲線這章的運算一直是學生的軟肋，通過相同方法的操練，學生對運算的過程有了進一步的體驗，從而增加了對復雜運算的信心，提高運算能力.

證明：設直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，則PA，PB的方程分別為y=k1x+b，y=k2x+b，

即y-（k1x+b）=0；y-（k2x+b）=0.

將兩式相乘，按照x展開：

②代入①，得

方程③的解就是橢圓C與兩直線PA，PB三個公共點P，A，B的坐標，

當y≠b時，③可化為k1k·2（b+y）+（k1+k）2x+（b-y）=0，

即A，B兩點的坐標滿足方程

（1）當k1k2為定值λ，且（k1+k2）x+（b-y）=0，該直線系必過點③成立；

（2）當k1+k2為定值λ，且λ≠0，由④得λx+（b-y）=0，該直線系必過點），即④成立.

從這幾組變式中，我們發(fā)現(xiàn)圓錐曲線問題就是用代數(shù)的方法解決幾何問題，無論如何變，其大致的解題策略即為：將直線y=kx+m與橢圓聯(lián)立，得到“x1+x2”和“x1x2”的值，再根據(jù)定值關系，代入坐標，得到k、m之間的關系，最后利用直線的點斜式方程可以證明直線l過定點.在這個環(huán)節(jié)中，從特殊到一般，解決問題的方法不變，著眼讓學生經(jīng)歷體會數(shù)學運算的過程與方法，旨在夯實學生數(shù)學運算的根基，提升學生運算求解的能力.通過觀察、分析選擇運算方向，求得運算結果，讓學生在運算過程中提升數(shù)學運算素養(yǎng)和鍥而不舍的意志品質(zhì).

數(shù)學運算是邏輯推理的重要形式，是得到數(shù)學結果的重要手段，是解決一切數(shù)學問題的基礎，這是數(shù)學運算的價值所在.通過數(shù)學運算核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，能夠提高學生邏輯推理能力和解決數(shù)學問題的能力，形成程序化思考問題的習慣.因此，課堂教學設計應著眼數(shù)學運算的過程與方法，摒棄直接告訴學生運算方法和結果的做法，讓學生親身經(jīng)歷數(shù)學運算的全過程，學會探究運算的方向，掌握運算的法則，選擇運算的方法，感受數(shù)學運算過程所帶來的成功體驗，從而提升學生的運算求解能力，培養(yǎng)學生數(shù)學運算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

（三）在變式中培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力

一題多變往往將原題改為與原題內(nèi)容、形式不同但解法類似的題目，例如，交換題目的條件與結論，讓學生在“變”中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”中發(fā)現(xiàn)“變”的規(guī)律.在解題過程中，使學生領悟解題方法，由會解一道題到會解一類題，觸類旁通，舉一反三，從而有效較提高學生發(fā)散思維能力和知識遷移能力，提高學生的數(shù)學抽象能力.通過關聯(lián)題組，把學生的盲點變成探究點，加強他們知識點之間的橫縱聯(lián)系，在拓寬學生的思維廣度上是行之有效的.

追問：我們知道，數(shù)學中很多結論與條件交換了仍然成立，那么此題中，是否成立？答案是肯定的.

（a2k2+b2）x2+2mka2x+a2（m2-b2）=0.

當Δ=4a2b2（a2k2+b2-m2）＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根，

設A（x1，y1），B（x2，y2），

類似地，我們也可以得到當PA，PB積為定值和直線AB過定點，也是充要條件，這里不再贅述.

我們知道，橢圓和雙曲線、拋物線都是屬于圓錐曲線，那么這個定點定值結論是否在雙曲線和拋物線中成立呢？答案是肯定的，限于篇幅，這里只給出結論，留給讀者自證.

①當λ≠0時，k1+k2=λ的充要條件是直線AB過定點

（7）過拋物線y2=2px（p＞0）上的定點P（x0，y0）作斜率為k1，k2的兩條直線分別與拋物線交于A，B兩點，對于定值λ：

①當λ≠0時，k1+k2=λ的充要條件是直線AB過定點

通過變式探究讓學生加深對這類直線與圓錐曲線相交問題本質(zhì)的理解，進一步提高識圖能力，學會用待定系數(shù)法求這類定值問題，引導學生思考橢圓與雙曲線，拋物線之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過觀察、分析、運算和反思，培養(yǎng)學生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象等核心素養(yǎng).

總之，在數(shù)學課堂中，提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)是一項系統(tǒng)工程，唯有將課堂的主動權交給學生，以數(shù)學知識的探究學習過程為載體，激發(fā)他們學習的熱情和智慧，積極培養(yǎng)學生的主動思考能力，才能把數(shù)學核心素養(yǎng)的培育落實在課堂教學的各個環(huán)節(jié)，把課堂真正的還原給學生，使課堂始終成為提升學生數(shù)學核心素養(yǎng)的主陣地.H