☉安徽省靈璧第一中學(xué) 鄭 良

最近，筆者給高二數(shù)學(xué)興趣小組作了函數(shù)“不動點”的專題輔導(dǎo)，其中的四個例題選自文【1】，經(jīng)過備課的加工、教學(xué)過程的調(diào)整與完善，取得了不錯的教學(xué)效果.下面對其作簡要的分析，結(jié)合教學(xué)實踐，給出自己的思考.

一、案例分析

例1對任意實數(shù)x，y，函數(shù)（ft）滿足f（x+y）=（fx）+（fy）+xy+1.若（f-2）=-2，試求滿足（ft）=t的整數(shù)t的個數(shù).

解法1：令x=y=0，得（f0）=-1.令x=y=-1，由（f-2）=-2，得（f-1）=-2.令x=1，y=-1，得（f1）=1.令x=1，得（fy+1）=（fy）+y+2，即（fy+1）-（fy）=y+2.①

故當(dāng)y為正整數(shù)時，（fy+1）＞（fy）.由（f1）=1，則任意y∈N*，（fy）＞0.故對任意y∈N*，（fy+1）=（fy）+y+2＞y+1，即對于一切大于1的正數(shù)t恒有（ft）＞t.

又由①式，可得（f-3）=-1，（f-4）=1.

以下證明：當(dāng)整數(shù)t≤-4時，恒有（ft）＞0.任意t≤-4時，則-（t+2）＞0.由①式，得（ft）-（ft+1）=-（t+2）＞0，則（f-5）-（f-4）＞0，（f-6）-（f-5）＞0，…，（ft+1）-（ft+2）＞0，f（t）-（ft+1）＞0，累加得（ft）＞（f-4）=1＞0，即當(dāng)整數(shù)t≤-4時，恒有（ft）＞0＞t.

綜上所述，方程（ft）=t的整數(shù)只有t=1，-2，故滿足（ft）=t的整數(shù)t的個數(shù)為2.

解法2：對任意實數(shù)x，y，有（fx+y）=（fx）+（fy）+xy+1，令g（x）=（fx）-2+1，則g（x+y）=g（x）+g（y），由柯西方程可得g（x）=g（1）x.

令x=y=0，得f（0）=-1；令x=y=-1，得f（-1）=-2；令x=1，y=-1，得f（1）=1；故g（1）=f（1）-，則g（x）=f（x）-x-1.令f（x）=x，整理得x2+x-2=0，解得x=-2或x=1，故滿足f（t）=t的整數(shù)t的個數(shù)為2.

本題目標(biāo)是求函數(shù)y=f（x）在整數(shù)集上的不動點，即函數(shù)h（x）=f（x）-x在整數(shù)集上的零點.求函數(shù)零點的常見方法：①根據(jù)等價條件解方程；②先在局部找出函數(shù)的零點（結(jié)論的充分條件）再證明函數(shù)在其余范圍內(nèi)無零點（驗證結(jié)論的必要條件）；③先利用函數(shù)的性質(zhì)確定結(jié)論的必要條件再驗證其充分性.條件式（fx+y）=（fx）+（fy）+xy+1為關(guān)于變量x、y的二元對稱式，故嘗試利用對稱性或賦值法消元.解法1（或證法1由文【1】提供，下同）考慮到相鄰的兩個整數(shù)相差為1，故需建立（fx）與（fx-1）的關(guān)系式，再確定（fx-1）與-1的大小關(guān)系，借助函數(shù)y=（fx）的單調(diào)性解決.先利用特殊值尋找結(jié)論成立的充分條件，再利用函數(shù)的性質(zhì)驗證結(jié)論的必要性.由特殊值可猜測y=（fn）的圖像關(guān)于直線x=對稱，猜想正確嗎？證明“整數(shù)t≤-4時，恒有（ft）＞0＞t”時，累加僅僅使用了符號法則，不夠精細化，還可累加求出函數(shù)y=（fn）的解析式.解法2從公差為d的等差數(shù)列{an}的前n項和Sn滿足的條件（Sm+n=Sm+Sn+mnd）入手，恒等變形構(gòu)造柯西方程求函數(shù)（fx）的解析式，進而求出y=（fx）的不動點.這兩種解法的思維流程圖分別如圖1、圖2所示.

圖2

例2若函數(shù)y=（fx）的定義域為D，x0∈D，且x=x0滿足（fx）=x，則稱x0為函數(shù)y=（fx）的不動點.如果函數(shù)（fx）=有且只有兩個不動點0，2，且

（1）求函數(shù)（fx）的解析式；

（2）已知各項不為零的數(shù)列{a}滿足4S·f（1 ）=1（其nnan中Sn為數(shù)列{an}的前n項和），求數(shù)列{an}的通項公式an；

（3）如果數(shù)列{an}滿足a1=4，an+1=（fan），求證：當(dāng)n≥2時，恒有an＜3成立.

以n=1代入①，得a1=0（舍）或a1=-1，若an=-an-1，則a2=1，這與an≠1矛盾.故an-an-1=-1，即數(shù)列{an}是以-1為首項，-1為公差的等差數(shù)列，所以an=-n.

（3）證法1：假設(shè)an≥3（n≥2），則由（1）知，an+1=f（an）=1，即an+1＜an（n≥2，n∈N*），則an＜an-1＜…＜a2，而當(dāng)n=2時，，故有an＜3，這與假設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，所以an＜3.

第（3）問證法1錯誤比較明顯，其混淆了n的任意性與存在性，全稱命題的否定是特稱命題，即原結(jié)論的反設(shè)應(yīng)為“存在n0≥2時，使得an0≥3”，可以推出an0+1＜an0.因為n0是特定的（而不是任意的），無法往前反推，由于不確定an0+1的具體范圍，往后推理也無以為繼.其實第（2）問方法1也不對，數(shù)學(xué)中的“或”可具有“兼有”的含義，即③意味著“可能某些項是前一項的相反數(shù)，某些項比前一項少1”，即關(guān)系并不恒為前一種或后一種.如數(shù)列-1，-2，2，-2，2，-2，2，-2，…，-1，-2，2，-2，-3，-4，-5…等均滿足條件，可見符合題意的數(shù)列有無窮多個.因此，平時教學(xué)中要深化對基礎(chǔ)內(nèi)容的滲透，強化學(xué)生對基礎(chǔ)知識、基本技能、數(shù)學(xué)思想方法的理解.命題者更要有扎實的專業(yè)基礎(chǔ)與技能，才能登高望遠命制出科學(xué)、嚴謹、優(yōu)美的試題來.第（2）問可把條件“各項不為零”改為“各項均為負數(shù)”，或改成開放性命題：探究數(shù)列{an}的通項公式an并給出理由.第（3）問中，n不是一個具體的數(shù)，而是變量，證明過程中要保證遞推的延續(xù)性條件成立，下面給出（正確的）證明.

假設(shè)當(dāng)n=k時，命題成立，即2≤ak+1＜ak＜3.

當(dāng)n=k+1時，由函數(shù)f（x）在［2，+∞）上單調(diào)遞增，則有（f2）≤（fa）＜（fa）＜（f3），即2≤a＜a＜，即當(dāng)n=k+1k+1kk+2k+1時，命題成立.

綜上所述，當(dāng)n≥2時，恒有2≤an+1＜an＜3成立，即原不等式成立.

數(shù)列{an}的生成過程如圖3所示，結(jié)果一目了然.轉(zhuǎn)換思維，探尋結(jié)論“當(dāng)n≥2時，恒有an＜3成立”時a1應(yīng)滿足的條件.眾所周知，求集合A與集合B的交集常有兩種方式（并列式、遞進式），函數(shù)y=f（x）在（-∞，0），（2，+∞） 上單調(diào)遞增，在（0，1），（1，2）上單調(diào)遞減，其值域為（-∞，0］∪［2，+∞）.令（fx）＜3，解得x＜1或3-＜x＜3+；令（fx）＜1，解得x＜1.

圖3

其思維流程圖如圖4所示，故“當(dāng)n≥2時，恒有an＜3成立”成立的充要條件為a1＜1或3-＜a1＜3+，而a1=4∈（-∞，1）∪（3-，3+），故原不等式成立.

圖4

例3已知f（x）=6x-6x2，記f1（x）=f（x）且fn（x）=f［fn-1（x）］（n≥2）.

（1）求證：如果存在一個實數(shù)x0，滿足f（x0）=x0，那么任意n∈N*，都有fn（x0）=x0成立；

（2）若實數(shù)x0滿足fn（x0）=x0，則稱x0為“穩(wěn)定不動點”，試求出這些穩(wěn)定不動點；

（3）若n≥2，fn（x）＜0，求實數(shù)x的取值范圍.

解：（1）（2）略.

（3）方法1：由f（x）＜0，得x＞1或x＜0.由fn（x）＜0，得fn-1（x）＞1或fn-1（x）＜0.則f（x）＞1或f（x）＜0.①（筆者注）由f（x）＜0，得x＞1或x＜0；由f（x）＞1，得

故當(dāng)n≥2，fn（x）＜0，實數(shù)x的取值范圍為（-∞，0）∪

方法1結(jié)論①的推理過程不詳，不少教師認為它為結(jié)論成立的必要條件，它只能保證f2（x）＜0，還需驗證fn（x）＜0（n≥3，n∈N*）恒成立.即需補充檢驗過程如下：

當(dāng)x∈（-∞，0）∪（1，+∞）時，f（x）＜0，依次有f2（x）＜0，…，fn（x）＜0，符合題意；

為什么方法1沒有檢驗?zāi)?？實際上①也是結(jié)論成立的充要條件，即①為方法1步步為營，追根溯源得到的等價結(jié)果，故無需檢驗.其思維流程圖如圖5所示，過程如下：

圖5

設(shè)所求實數(shù)x的取值范圍為A，記An={x|fn（x）＜0，n≥2}，則An={x|fn-1（x）＞1或fn-1（x）＜0}，則有An-1?An（n≥2），A=An∩An-1∩An-2∩…∩A2=An-1∩An-2∩…∩A2=…=A2={x|f2（x）＜0}={x|f（x）＞1或f（x）＜0}=

此例也告訴我們表達要盡可能詳盡、準(zhǔn)確、規(guī)范，以免造成歧義.當(dāng)我們讀書或解題時，要盡量拓寬視野、拓展思維、深入思考，切實理解作者或解題者真實的意圖.

例4對任意函數(shù)f（x），x∈D，可按圖6所示構(gòu)造一個數(shù)列發(fā)生器，其工作原理如下：①輸入數(shù)據(jù)x0∈D，經(jīng)數(shù)列發(fā)生器輸出x1=f（x0）；②若x1?D，則數(shù)列發(fā)生器結(jié)束工作；若x1∈D，則將x1反饋回輸入端，再輸出x2=f（x1），并依此規(guī)律繼續(xù)下去.現(xiàn)定義

圖6

（2）若要數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生一個無窮的常數(shù)列，試求輸入的初始數(shù)據(jù)x0的值；

（3）若輸入x0時，產(chǎn)生的無窮數(shù)列{xn}滿足：對任意正整數(shù)n，均有xn＜xn+1，求x0的取值范圍.

解：（1）（2）略.

當(dāng)xn∈（-∞，-1）時，f（xn）＞4，但f（xn+1）＜f（xn）不符合（f（xn）?（-∞，-1），不能保證f（xn）＞xn）.

當(dāng)xn∈（1，2）時，任意x1∈（1，2），可推出x2=f（x1）＞x1且x2∈（1，2），依次類推均有xn+1＞xn，符合題意.

綜上所述，x1∈（1，2），總有xn+1∈（1，2），且xn+1＞xn，故x0∈（1，2）.

上面的n∈N*，對于通過遞推關(guān)系確定的xn的兩個取值區(qū)間，分別根據(jù)題意進行排除與證實.學(xué)生可能更習(xí)慣于聚焦某個特殊部分，尋找結(jié)論的必要條件，然后進行檢驗.

當(dāng)x1＜-1時，則x2=f（x1）＞4，x3=f（x2）＜x2，與題設(shè)矛盾.

當(dāng)1＜x1＜2時，則x2=f（x1）＞x1，且1＜x2＜2.

依次類推可得數(shù)列{xn}的所有項均滿足xn+1＞xn（n∈N）.

綜上所述，x1∈（1，2），由x1=f（x0），得x0∈（1，2）.

若從交集的角度步步為營，追根溯源，其思維流程圖如圖7所示，解答過程如下：

圖7

由f（x）＞x，得x＜-1或1＜x＜2；由f（x）＜-1，得由1＜f（x）＜2，得1＜x＜2.

設(shè)所求實數(shù)x的取值范圍為A，記An={x0|xn＜xn+1}，Bn={x0|1 ＜xn＜2}. 則 An={x0|xn＜-1 或 1 ＜xn＜2}=An-1∩An-2∩…∩A2∩A1=Bn-1∩An-2∩…∩A2∩A1=…=B1={x0|1＜x1＜2}={x0|1＜x0＜2}.

二、教學(xué)思考

案例中，例1以抽象函數(shù)為載體，用函數(shù)的性質(zhì)探求函數(shù)f（x）的不動點（個數(shù)）；例2為函數(shù)不動點的正向問題，直觀地反映數(shù)列{an}的生成過程；例3涉及函數(shù)系fn（x）（n∈N*），自變量均為x，例4只涉及函數(shù)f（x），變量xn具有自變量值與函數(shù)值的“雙重”身份，均為函數(shù)不動點的逆向問題.

1.強化審題，理性辨識

審清題意是正確解題的前提，題意理解越深刻，解題效率越高.當(dāng)我們審題時，攝入的信息往往是淺層的、孤立的、凌亂的，需要不斷地梳理與深化，才能實現(xiàn)認知從直覺到邏輯、從局部到整體、從感性到理性，解題方法的設(shè)計從通性通法到特殊技巧，充分體現(xiàn)出問題的一般化與特殊化，進退之中找到最佳模型.如例1中，可通過賦值法化抽象為具體，借助累加法從中間值向兩方延展得出f（n）（n∈Z），結(jié)論能否推廣？條件式的右邊比柯西方程的右邊多了“xy+1”，能否通過恒等變形將其“消化”掉，解法2呼之欲出.an（例2），fn（x）（例3），xn（例4）中的n為變量，求解的結(jié)果自然要滿足n的不同取值.學(xué)生處理例2第（2）問時都落入陷阱中，背后的原因有（解題過程中的）審題不細、對“或”的理解不到位、解題題型模式化等.

2.深化探究，揭示本質(zhì)

發(fā)展學(xué)生思維和智慧是數(shù)學(xué)教育的重要任務(wù)，關(guān)注學(xué)生的發(fā)展是課堂的首要目標(biāo).數(shù)學(xué)是思維的科學(xué)，數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)思維的教學(xué).問題是數(shù)學(xué)的心臟，探究是數(shù)學(xué)教學(xué)的生命線.教學(xué)中，教師要通過問題引發(fā)學(xué)生質(zhì)疑、批判、反思等活動，培養(yǎng)其“求真、求實、求簡、求新”的理性思維品質(zhì).如例2第（2）中，教師不要急于告訴學(xué)生的錯因，先給出上文提到的符合題意的數(shù)列，引導(dǎo)學(xué)生獨立思考、合作交流、探究“漏解”的根源，第（3）問中對證法的探究，讓學(xué)生明晰問題的邏輯基礎(chǔ).不等式的解集是不等式的解的充要條件，例3與例4中分別求出不等式f（x）＜0、f（x）＞x的解集后為什么要進行檢驗？因為結(jié)論要同時滿足n取不同的值，即求對n所取的每個值對應(yīng)的集合的交集.

3.理解到位，嘗試創(chuàng)新

教師的理解水平與能力影響著學(xué)生的發(fā)展速度.因此，教師要在提高自己的專業(yè)技能上下功夫，遇到困難才不至于犯糊涂，取而代之的是對問題的深入解讀，才可能實現(xiàn)物盡其用、盡善盡美.在教學(xué)時，筆者經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生反思問題的構(gòu)成、解題思路的形成、結(jié)論的推廣等，促使學(xué)生構(gòu)建整體，形成有序化、系統(tǒng)化思維.直觀促進學(xué)生理解、反思提升學(xué)生思維品質(zhì)，案例中通過對解題方法的回顧，讓學(xué)生畫出各種方法的思維流程圖，剖析不同方法間的區(qū)別與聯(lián)系、優(yōu)勢與劣勢，辯證分析取長補短.

4.以人為本，形成特色

以往的“教書匠”往往專指“只會照書本念，無視學(xué)生成長”的迂腐塾師，現(xiàn)在的“教書匠”是專業(yè)技能扎實、教學(xué)實踐設(shè)計精巧、發(fā)展學(xué)生潛能做到極致的良師.教書匠做精了就是專家，即教書匠與教育家并不矛盾.教師要把人類已經(jīng)建立起來的社會文化規(guī)范，以及最基本的知識思想體系，用自己的智慧傳承給青年學(xué)子【2】.把一盤冷飯炒熱，成為一份色香味俱全的營養(yǎng)餐著實不易.教師絕不能妄自菲薄，也不能盲目自信，腳踏實地地理解數(shù)學(xué)、理解教學(xué)、理解學(xué)生.想學(xué)生之所想，惑學(xué)生之所惑，急學(xué)生之所急，通過精密的（課內(nèi)與課外）細節(jié)處理，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的同時逐步形成自己的課堂特色.

1.熊曉東.高中數(shù)學(xué)專題講座20講［M］.上海：上海世紀(jì)出版集團·中西書局，2016.

2.張奠宙.做高明的教書匠也不易［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2016（10）.H