陳永康

探索滿足某種條件的動點軌跡歷來被認(rèn)為是教學(xué)和初數(shù)研究中的難點，特別是軌跡問題需要判斷軌跡的形狀、大小和位置，確定它們往往更多地依賴于探究者的學(xué)識、經(jīng)驗和想象力，并且常局限于幾種基本軌跡（點、線、線段、圓、圓弧等），其復(fù)雜性使教師往往詞窮，探究者不時陷入困惑中?！稁缀萎嫲濉房梢暂^好地幫助我們解決這一問題?！稁缀萎嫲濉肥且环N動態(tài)幾何演示軟件，它可以使圖形在運動變化的過程中保持相關(guān)元素既定的幾何關(guān)系不變。借助于《幾何畫板》的軌跡跟蹤功能，我們可以快捷地獲得欲求軌跡的基本信息和模擬圖形，這給教學(xué)和研究帶來很大的幫助。以下借助于《幾何畫板》的探索軌跡功能，通過兩個基本作圖，例談《幾何畫板》探索軌跡在動態(tài)變化類問題中的應(yīng)用。

一、單重運動

動點在某一確定的約束條件下運動，稱之為單重運動。一般地說，約束條件通常有關(guān)于量的刻畫和關(guān)于位置關(guān)系的刻畫，根據(jù)《幾何畫板》軌跡跟蹤功能的運用原理，我們首先作出一個在僅滿足量的約束條件的路徑上運動的點，稱之為主動點（控制點），另作一個關(guān)于位置關(guān)系約束條件的點，稱之為被動點（被控制點），再讓被動點跟蹤主動點的運動變化，那么當(dāng)主動點在路徑上運動時，被動點將畫出同時滿足關(guān)于量和位置關(guān)系約束條件的軌跡。

問題1求當(dāng)Rt△ABC的兩銳角頂點A、B在兩條互相垂直的直線上運動時直角頂點C的軌跡。

分析：由題意可知直角三角形的運動方式是某種轉(zhuǎn)動，欲求軌跡不能達(dá)無窮遠(yuǎn)，但較為具體的形態(tài)不好想象，如果利用《幾何畫板》將直角頂點的運動軌跡畫出來，我們不僅會獲得軌跡的可視圖像，繪制的過程還將向我們展現(xiàn)相關(guān)元素之間的制約關(guān)系，這對最終解決問題的幫助是不言而喻的。

作法：

1）作Rt△EFG，使之全等于Rt△ABC，G是直角頂點；任作兩條互相垂直的直線l1、l2；

2）在l2上任取一點標(biāo)記為A，選擇點A并按住shift鍵，再選擇線段EF，點擊構(gòu)造——以圓心和半徑劃圓⊙O1；選擇⊙O1并按住shift鍵，再選擇l1，點擊構(gòu)造——交點，該交點記為B（只取右方的交點）；

3）選擇點A并按住shift鍵，再選擇點B，點擊構(gòu)造——線段；選擇線段AB，點擊構(gòu)造——中點，中點記為M；選擇點M并按住shift鍵，再選擇線段AM（可先構(gòu)造線段AM），點擊構(gòu)造——以圓心和半徑劃圓⊙O2；選擇點B并按住shift鍵，再選擇線段FG，點擊構(gòu)造——以圓心和半徑劃圓⊙O3；選擇⊙O2并按住shift鍵，再選擇⊙O3，點擊構(gòu)造——交點，該交點記為C（只標(biāo)記一個交點）；構(gòu)造線段AC、BC；

4）選擇點A并按住shift鍵，再選擇l2，點擊編輯——按鈕——動畫，此時界面上出現(xiàn)動畫圖標(biāo)；

5）選擇點A并按住shift鍵，再選擇點C，點擊菜單顯示——軌跡跟蹤點；

6）選擇不必要的元素，點擊顯示——隱藏對象，使界面簡潔；

7）雙擊動畫圖標(biāo)，則隨著點A在在直線l2移動，點C上畫出一線段。

至此我們知道欲求軌跡可能是一線段。將點A拖到適當(dāng)?shù)奈恢?，比如使AC平行于l1；使AB與l2重合；使點A與l2和l2的交點重合等，為進(jìn)一步的數(shù)學(xué)分析、證明提供動態(tài)的、交互式的幫助。還可以試試看，如果三角形不是直角三角形，軌跡如何？

二、多重運動的疊加

如果動點的運動方式是由多重互不關(guān)聯(lián)的運動組合而成，構(gòu)建軌跡的基本思想是相通的，只是需設(shè)計若干個主動點各自在不同的路徑上運動，而被動點的運動是由它們不同的運動方式疊加而成。

問題2平面上一動點沿一直線作勻速運動，同時，這條直線又繞它上面一定點作等角速轉(zhuǎn)動，求動點軌跡（等速螺線）。

作法：

1）在平面上任取一點A，將鼠標(biāo)對準(zhǔn)畫線工具，按下鼠標(biāo)左鍵并拖到射線工具處松鼠標(biāo)，以A為起點作射線，標(biāo)記為l1；在l1上任取一點B，按住shift鍵，再選擇點A，點擊構(gòu)造——線段；

2）在平面上任作圓c1，圓心標(biāo)記為O1；在圓c1

上任取一點D，選擇點O1、點D，點擊構(gòu)造——射線，標(biāo)記為l2；

3）選擇點O1、線段AB，點擊構(gòu)造——以圓心和半徑劃圓，標(biāo)記為圓c2；選擇圓c2、射線l2，點擊構(gòu)造——交點，標(biāo)記為M；

4）選擇點B并按住shift鍵，再依次選擇射線l1、點D、圓c1，點擊編輯菜單——按鈕——動畫，在出現(xiàn)的畫面中依次點擊每一句，將速度調(diào)為較慢；

5）選擇點B并按住shift鍵，再選擇點M，點擊顯示——軌跡跟蹤點；

6）選擇不必要的元素，點擊顯示——隱藏對象，使界面簡潔；

7）雙擊動畫圖標(biāo)，點M劃出等速螺線的運行軌跡。

注意4）、5）反映點M的運動是由兩種運動疊加而成。

從演示的結(jié)果可以看出，課件設(shè)計是否科學(xué)、簡潔明了，能準(zhǔn)確地表現(xiàn)相應(yīng)的幾何關(guān)系，主動點滿足約束條件的路徑設(shè)計是非常關(guān)鍵的，這里數(shù)學(xué)原理起著至關(guān)重要的作用。

如果多重運動是相關(guān)的，那么還需要考慮主動點相互間的制約關(guān)系。如考慮車輪滾動時，車輪邊緣上一點的運動，若將其運動分解為一個圓的圓心作直線運動，圓本身作圓周運動，則必須注意車輪前進(jìn)的距離和車輪邊緣轉(zhuǎn)動的距離是一致的，即它們實際上是一個運動，此時可以利用《幾何畫板》的測量計算功能實現(xiàn)主動點間運動的相互聯(lián)系。

教師可以利用空閑時間教會學(xué)生使用幾何畫板，讓學(xué)生在課堂上自己動手操作，并在操作過程中觀察、發(fā)現(xiàn)、感受、驗證，促使學(xué)生在“做中學(xué)”，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。為此，教師要積極打造適合進(jìn)行實驗的環(huán)境，加強數(shù)學(xué)實驗教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生參與其中，激發(fā)學(xué)生的自主意識，提高學(xué)生的實踐能力。例如，先用幾何畫板畫出一個任意三角形，再畫出三角形的三條中線，并說出其中的規(guī)律，之后再拖動三角形其中一個頂點隨意改變?nèi)切蔚男螤睿纯催@個規(guī)律是否發(fā)生改變。在活動課中讓學(xué)生動手實踐、自行探索，讓他們在合作交流、疑問解惑的過程中重現(xiàn)知識的再發(fā)現(xiàn)過程。通過自主動手探究的過程，可以激發(fā)學(xué)生的自主意識，提高學(xué)生的觀察能力和總結(jié)能力，讓學(xué)生在研究過程中找到樂趣，樹立學(xué)生的自信心，滿足學(xué)生的成就感。