張素俠 陳緯庭

1)(天津大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院力學(xué)系,天津市非線性動(dòng)力學(xué)與混沌控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,天津 300354)

2)(天津大學(xué)建筑工程學(xué)院土木工程系,天津 300354)

1 引 言

Boltzmann-Hamel方程(以下簡(jiǎn)稱為B-H方程)是由Boltzmann于1902年提出的一種完整系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程[1],后經(jīng)Hamel推廣到非完整系統(tǒng)[2,3].20世紀(jì)80年代到90年代,B-H方程的研究主要集中于幾何化[4]、變質(zhì)量系統(tǒng)[5?7]、非慣性系[8]、單面非完整約束系統(tǒng)[9]和高階非完整系統(tǒng)[10,11].21世紀(jì)初,完整和非完整系統(tǒng)B-H方程的對(duì)稱性解法取得了很大進(jìn)展,通過(guò)將Lie對(duì)稱性、Noether對(duì)稱性和形式不變性引入B-H方程中以構(gòu)造相應(yīng)的守恒量,簡(jiǎn)化了B-H方程的求解,其中典型的工作如文獻(xiàn)[12—15].與此同時(shí),在應(yīng)用方面 B-H方程又出現(xiàn)在彈性力學(xué)[16]、非完整控制[17]和辛算法[18]的研究中.這些研究關(guān)注的焦點(diǎn)均是準(zhǔn)速度與非完整約束相似的結(jié)構(gòu),卻鮮有文獻(xiàn)關(guān)注準(zhǔn)坐標(biāo)的選取對(duì)B-H方程形式的影響.

文獻(xiàn)[19]首次提出了準(zhǔn)坐標(biāo)在選取上的自由性.本文研究證明:準(zhǔn)坐標(biāo)自由性的推廣,可以使完整系統(tǒng)的B-H方程得到盡可能的簡(jiǎn)化.利用標(biāo)架場(chǎng)理論,從幾何不變性的角度直接導(dǎo)出了完整系統(tǒng)中的B-H方程,并從流形均勻性的角度出發(fā),證明了對(duì)于任意廣義力為零的均勻構(gòu)形空間,以及任意廣義力不為零的零曲率構(gòu)形空間,一定可以找到某個(gè)準(zhǔn)速度或準(zhǔn)坐標(biāo),使其中的B-H方程化簡(jiǎn)為可積分的形式.同時(shí)給出具體的簡(jiǎn)化方法并舉例說(shuō)明本方法的適用性.

2 構(gòu)形空間中的標(biāo)架場(chǎng)與B-H方程

設(shè)本文研究的構(gòu)形空間是M,其中的廣義坐標(biāo)是q1,···,qn.將M建模為n維Riemann流形[20],則Riemann度量可利用廣義坐標(biāo)qi表示為

即廣義坐標(biāo)基矢場(chǎng){?/?qk}下的Lagrange方程是

其中T是動(dòng)能,而Fk(q)是外力.將方程(2)展開(kāi)為如下分量表述的形式:

利用Christoffel符號(hào)可將Lagrange方程簡(jiǎn)寫為

下面引入構(gòu)形空間中的標(biāo)架場(chǎng),即構(gòu)形空間中n個(gè)處處線性無(wú)關(guān)的矢量場(chǎng).從標(biāo)架場(chǎng)的定義可以發(fā)現(xiàn),其與坐標(biāo)基底的區(qū)別在于它可能不是由某組廣義坐標(biāo)生成的.因?yàn)闃?biāo)架場(chǎng)本質(zhì)上也是矢量場(chǎng),則可以將標(biāo)架場(chǎng)在廣義坐標(biāo)基底場(chǎng)下展開(kāi)為

對(duì)于完整標(biāo)架場(chǎng),可以表示為某組廣義坐標(biāo)的坐標(biāo)基底場(chǎng).現(xiàn)在通過(guò)標(biāo)架系數(shù)定義Frobenius符號(hào)

可積分,反之則不是完整的.從幾何的觀點(diǎn)來(lái)看,標(biāo)架場(chǎng)是坐標(biāo)基底場(chǎng)的線性推廣.

現(xiàn)在使用標(biāo)架場(chǎng)作為基底來(lái)展開(kāi)構(gòu)形空間中的速度矢量

將構(gòu)形速度矢量在標(biāo)架場(chǎng)下的分量記為˙πi,即有

這就是準(zhǔn)速度.即準(zhǔn)速度的幾何本質(zhì)就是速度矢量在標(biāo)架場(chǎng)下的分量.如果說(shuō)廣義速度對(duì)應(yīng)著廣義坐標(biāo)基底場(chǎng),那么準(zhǔn)速度就對(duì)應(yīng)著標(biāo)架場(chǎng).在(11)式兩邊同時(shí)乘上dt,得到

當(dāng)標(biāo)架場(chǎng){ek}是完整標(biāo)架場(chǎng)時(shí),(12)式中的dπi是全微分,解出πi=πi(q)就等于進(jìn)行了一個(gè)廣義坐標(biāo)變換q→π,此時(shí)準(zhǔn)坐標(biāo)π稱為完整準(zhǔn)坐標(biāo),本質(zhì)上就是廣義坐標(biāo);而當(dāng)標(biāo)架場(chǎng){ek}是非完整標(biāo)架場(chǎng)時(shí),準(zhǔn)坐標(biāo)π沒(méi)有具體的意義,只是形式上寫成π,即對(duì)于非完整標(biāo)架場(chǎng),并不嚴(yán)格區(qū)分準(zhǔn)速度與準(zhǔn)坐標(biāo),兩者本質(zhì)上是相同的.

因?yàn)長(zhǎng)agrange方程是構(gòu)形空間中的張量方程,它對(duì)于構(gòu)形空間中的廣義坐標(biāo)變換保持不變,現(xiàn)在視準(zhǔn)坐標(biāo)為新的坐標(biāo),標(biāo)架系數(shù)為廣義坐標(biāo)變換的Jacobi矩陣分量,即可得到利用準(zhǔn)速度表述的B-H方程

(14)式是將Christoffel符號(hào)在廣義坐標(biāo)變換下的變換式(Q是新廣義坐標(biāo))

中的?qm/?Qb替換為而得到的.

3 化簡(jiǎn)B-H方程的方法

求解完整系統(tǒng)的B-H方程的通用做法是將(11)式代入到(13)式中構(gòu)造關(guān)于廣義坐標(biāo)q的微分方程組.但是對(duì)比方程(5)和(13),發(fā)現(xiàn)方程(13)中加入了標(biāo)架系數(shù)和逆標(biāo)架系數(shù)而這些系數(shù)的選取是完全任意的,那么通過(guò)系數(shù)的選取可以使B-H方程得到簡(jiǎn)化:在方程(13)中就能解出準(zhǔn)速度接下來(lái)只用去處理簡(jiǎn)單的線性方程這就要求B-H方程應(yīng)為如下形式:

定理1 對(duì)于任意廣義力為零的均勻構(gòu)形空間,總可以找到某個(gè)準(zhǔn)坐標(biāo)π,使得方程(15)成立(ck=0).

證明 設(shè)初始的廣義坐標(biāo)就是均勻空間中的容許坐標(biāo).在任意均勻空間中一定存在某個(gè)標(biāo)架場(chǎng){ek},滿足下式[22]:

其中常張量Cik是由結(jié)構(gòu)常數(shù)決定的.將(17)式代入到(14)式中可以得到

即在標(biāo)架場(chǎng){ek}下全是常數(shù),也即方程(15)成立.而定理1中所求的準(zhǔn)速度就是速度矢量在標(biāo)架場(chǎng){ek}下的分量.證畢.

通過(guò)定理1,只要判定了所研究的構(gòu)形空間是均勻空間,就可以根據(jù)該均勻空間的結(jié)構(gòu)常數(shù)來(lái)導(dǎo)出簡(jiǎn)化B-H方程的準(zhǔn)坐標(biāo)和常數(shù)在實(shí)用中最常見(jiàn)的是常曲率構(gòu)形空間(均勻空間的特例),這時(shí)可通過(guò)計(jì)算構(gòu)形空間的內(nèi)稟曲率來(lái)判定其是否為均勻空間.其中一種特別重要的情況是方程(15)中常數(shù)全為零,這時(shí)可以考慮廣義力存在的情況.給出定理2.

定理2 對(duì)于任意零曲率的構(gòu)形空間,都可以在其中找到一個(gè)完整的準(zhǔn)坐標(biāo)π,使方程(15)在該坐標(biāo)下表示為

證明 標(biāo)架場(chǎng){ek}下的曲率張量有分量

其中δik是單位張量分量.這樣有0,即將歸零了.此時(shí)在中僅剩下一項(xiàng)

這即為定理2中要求的形式,證畢.

4 算 例

例1 考慮某兩個(gè)自由度的力學(xué)系統(tǒng),該系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)取q1和q2.給出這個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)

該系統(tǒng)沒(méi)有廣義力,對(duì)應(yīng)的構(gòu)形空間的度量張量在廣義坐標(biāo)q下表示為

代入Lagrange方程(2),得到下述方程組:

將gik代入到(4)式中計(jì)算Christoffel符號(hào),再利用這些Christoffel符號(hào)計(jì)算此時(shí)的曲率張量,發(fā)現(xiàn)該構(gòu)形空間是負(fù)常曲率空間(曲率為?1),所以根據(jù)定理1,方程(20)可積分.引入以下準(zhǔn)速度:

進(jìn)行變量替換就得到了用準(zhǔn)速度˙π坐標(biāo)表示的B-H方程:

準(zhǔn)速度解為(其中a,b是積分常數(shù)):

接下來(lái)只需求解下述一階線性方程:

很明顯該線性方程存在積分解.

例2 考慮某三個(gè)自由度的力學(xué)系統(tǒng),該系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)取q1,q2和q3;慣量用m表示,相互作用常數(shù)用k表示.給出這個(gè)力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)

即該力學(xué)系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的構(gòu)形空間的度量張量在廣義坐標(biāo)q下表示為

2.強(qiáng)化政策保障。積極爭(zhēng)取國(guó)家電子商務(wù)發(fā)展扶持政策傾斜我市，最大限度支持全市商貿(mào)流通業(yè)線上線下互動(dòng)創(chuàng)新發(fā)展。在保證政策連續(xù)性的基礎(chǔ)上適時(shí)研究調(diào)整市內(nèi)商貿(mào)流通業(yè)線上線下互動(dòng)創(chuàng)新發(fā)展扶持政策，從財(cái)政、投融資、用地等方面給予更大支持。

代入Lagrange方程(2),得到下述方程組:

計(jì)算得到此時(shí)的曲率張量分量全是0.根據(jù)定理2,引入以下完整準(zhǔn)坐標(biāo):

進(jìn)行變量替換就得到了用完整準(zhǔn)坐標(biāo)π坐標(biāo)表示的B-H方程:

該B-H方程有以下解析解(其中的a,b,c,d,e,f均是積分常數(shù)):

對(duì)比方程(20)和(21),(22)和(23)可以發(fā)現(xiàn),采用本文提出的方法進(jìn)行變換,可以大大簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)方程的形式,以求得解析解.

5 討 論

通過(guò)前面的理論推導(dǎo)和算例分析,可以看到本文方法具有數(shù)學(xué)和物理兩方面的意義.

從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看,原有的分離變量方法和對(duì)稱性方法均是給出合適的廣義坐標(biāo)來(lái)分離變量或構(gòu)造守恒量以簡(jiǎn)化運(yùn)動(dòng)方程.而本文提出的方法則是將廣義坐標(biāo)推廣為準(zhǔn)坐標(biāo),進(jìn)而將Lagrange方程推廣為B-H方程,給出合適的準(zhǔn)坐標(biāo)來(lái)簡(jiǎn)化B-H方程,此時(shí)得到的結(jié)果更具有普遍性.

值得說(shuō)明的是,定理1和定理2中給出的最簡(jiǎn)標(biāo)架場(chǎng)的構(gòu)造方法,需要利用均勻構(gòu)形空間自身的結(jié)構(gòu)常數(shù),即在標(biāo)架場(chǎng)平移下度量張量分量的不變性;而經(jīng)典的廣義動(dòng)量積分討論的則是力學(xué)系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)在廣義坐標(biāo)平移下的不變性所導(dǎo)出守恒量,在廣義力為零時(shí),前者給出的標(biāo)架場(chǎng)可作為后者尋找守恒量的有力工具.而經(jīng)典的廣義能量積分是時(shí)間平移不變性所導(dǎo)出的守恒量,與本文的結(jié)果無(wú)關(guān).

6 結(jié) 論

本文從幾何不變性的角度直接導(dǎo)出了完整系統(tǒng)中的B-H方程,并說(shuō)明了可以在任意廣義力為零時(shí)的常曲率構(gòu)形空間和廣義力不為零時(shí)的任意零曲率構(gòu)形空間中找到某個(gè)標(biāo)架場(chǎng),使該標(biāo)架場(chǎng)生成的準(zhǔn)速度簡(jiǎn)化B-H方程到可積分的形式.即對(duì)于復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)方程,要先嘗試計(jì)算構(gòu)形空間的內(nèi)稟曲率.若滿足定理1和定理2中提出的條件,可找到該運(yùn)動(dòng)方程的解析解.本文的方法為尋找運(yùn)動(dòng)方程解析解提供了一條新途徑.

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