朱浩男 吳德偉 李響 王湘林 苗強(qiáng) 方冠

(空軍工程大學(xué)信息與導(dǎo)航學(xué)院,西安 710077)

1 引 言

近年來(lái),國(guó)內(nèi)外對(duì)量子領(lǐng)域的研究和探索取得了豐碩的成果[1?4].量子理論逐步走向成熟,大量理論成果都已經(jīng)在試驗(yàn)中得以驗(yàn)證,并且部分技術(shù)已經(jīng)能夠在工程中得以應(yīng)用,最具代表性的是我國(guó)于2016年8月份成功發(fā)射的“墨子”號(hào)量子科學(xué)實(shí)驗(yàn)衛(wèi)星,用于研究基于糾纏光的量子保密通信技術(shù);量子計(jì)算、量子雷達(dá)[5,6]等顛覆性技術(shù)的研究也在穩(wěn)步進(jìn)行中.目前,比光頻段頻率更低的微波頻段受到關(guān)注,開(kāi)展了研究微波頻段的量子現(xiàn)象[7?9],并且已經(jīng)取得了初步的成果,國(guó)外一些研究小組已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)中產(chǎn)生了空間分離的連續(xù)變量糾纏微波信號(hào)[10?13],實(shí)現(xiàn)了路徑糾纏.

最常見(jiàn)的糾纏是光學(xué)中的糾纏光子對(duì),屬于兩體糾纏,常見(jiàn)的有光子數(shù)糾纏和光子偏振糾纏.但光頻光子在傳播過(guò)程中受外部環(huán)境影響大,而微波信號(hào)的波長(zhǎng)比光信號(hào)長(zhǎng),具有光信號(hào)所不具備的繞射能力以及能夠在復(fù)雜環(huán)境下傳播距離更遠(yuǎn)的優(yōu)勢(shì).一個(gè)微波光子所具有的能量要遠(yuǎn)低于光頻光子,對(duì)單個(gè)微波光子的探測(cè)要更加困難一些,通常對(duì)糾纏微波的探測(cè)是通過(guò)對(duì)大量微波光子群疊加形成的電磁場(chǎng)進(jìn)行測(cè)量來(lái)完成的.

對(duì)于所制備出的兩路微波信號(hào),如何驗(yàn)證其處于糾纏態(tài)成為一個(gè)很重要的問(wèn)題,本文提出一種基于糾纏見(jiàn)證的糾纏微波信號(hào)探測(cè)方法,通過(guò)構(gòu)造出探測(cè)糾纏態(tài)的糾纏見(jiàn)證(entanglement witness)算符[14?16],并應(yīng)用微波分束器[17]在物理上實(shí)現(xiàn),進(jìn)行路徑糾纏微波的探測(cè).

2 路徑糾纏微波簡(jiǎn)介

2.1 雙模壓縮微波光子對(duì)的糾纏形式

量子糾纏是量子力學(xué)中的一種奇特現(xiàn)象,糾纏粒子之間能夠表現(xiàn)出非定域的關(guān)聯(lián)性質(zhì).路經(jīng)糾纏微波信號(hào)是在微波頻段內(nèi)的量子糾纏,指分布在空間上處于分離狀態(tài)的兩個(gè)傳播路徑上,且能夠保持糾纏狀態(tài)沿著各自的路徑傳播到信息系統(tǒng)的任意兩個(gè)部件的糾纏微波場(chǎng)信號(hào),這一現(xiàn)象也可以被認(rèn)為是微波光子群之間的糾纏.在工程上使用路徑糾纏微波就是對(duì)微波光子群組成的電磁場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)測(cè)量而非對(duì)微波光子的直接探測(cè),這區(qū)別于糾纏光的使用.這里對(duì)路徑糾纏微波進(jìn)行理論研究和特性分析時(shí),仍然可以在微波光子數(shù)態(tài)[18]下進(jìn)行.

制備非經(jīng)典的微波雙模壓縮態(tài),其中一種常見(jiàn)方法是使用約瑟夫森參量放大器(Josephson parametric ampli fier,JPA)實(shí)現(xiàn),約瑟夫森參量放大器實(shí)現(xiàn)的哈密頓量相互作用可以作為參量下轉(zhuǎn)換哈密頓量,真空態(tài)在約瑟夫森參量放大器的作用下產(chǎn)生雙模壓縮真空態(tài)[19].

可以定義電磁場(chǎng)模式的正交分量為

式中Xa,Pa分別代表a模電磁場(chǎng)的正交振幅分量和正交相位分量;Xb,Pb分別代表b模電磁場(chǎng)的正交振幅分量和正交相位分量.

當(dāng)抽運(yùn)作用在電磁場(chǎng)和頻率為νa+νb時(shí),在約瑟夫森混合器的雙模壓縮作用下產(chǎn)生a模和b模的雙模孿生光子對(duì),這對(duì)糾纏微波光子輸入輸出的正交分量有如下的關(guān)系:其中分別代表輸入端a模和b模的正交振幅分量;分別代表輸入端a模和b模的正交相位分量;分別代表輸出端a模和b模的正交振幅分量,分別代表輸入端a模和b模的正交相位分量.

由于輸入為真空態(tài),因此對(duì)上等式兩邊求二階期望得到:

可見(jiàn)輸出a,b模的X分量是正相關(guān),P分量是反相關(guān)的.由于a,b模微波光子的相位為

因此也可以認(rèn)為這對(duì)糾纏微波光子的相位是共軛的.

根據(jù)上面對(duì)雙模壓縮產(chǎn)生的孿生光子對(duì)的分析,雙模壓縮態(tài)產(chǎn)生a模和b模孿生微波光子對(duì)有著相互共軛的相位;當(dāng)單獨(dú)測(cè)量a模光子時(shí)它的相位是完全隨機(jī)的,因此對(duì)a模微波光子進(jìn)行測(cè)量會(huì)使得其依概率隨機(jī)塌縮至任意相位,則與之糾纏的b模微波光子會(huì)同時(shí)塌縮到共軛的相位,使得正交分量的測(cè)量結(jié)果在X分量是正關(guān)聯(lián),P分量是反關(guān)聯(lián)的.并且,這種相位上的糾纏屬于連續(xù)變量糾纏,可以表述為

對(duì)大量的微波光子構(gòu)成的電磁場(chǎng)來(lái)說(shuō),由于場(chǎng)強(qiáng)是大量光子矢量的疊加,雖然對(duì)于大量a或b模光子,由于隨機(jī)起伏的正交分量是矢量線性疊加的,導(dǎo)致它們正交分量幅度出現(xiàn)隨機(jī)的變化,但a,b模光子群正交分量的關(guān)聯(lián)性不變,起伏幾乎完全一致,使得總體的電磁場(chǎng)的X分量正相關(guān),P分量反相關(guān).

2.2 路徑糾纏微波的制備方式

路徑糾纏微波的制備方式目前有利用約瑟夫森參量轉(zhuǎn)換器的制備方案、利用微波頻段HOM效應(yīng)的制備方案、利用威爾金森功分器的制備方案、利用約瑟夫森參量轉(zhuǎn)換器的制備方案和利用超導(dǎo)180°混合環(huán)的制備方案等.制備路徑糾纏微波的關(guān)鍵就是制備壓縮態(tài)的微波信號(hào)和用微波分束器對(duì)壓縮態(tài)微波中的微波糾纏光子對(duì)進(jìn)行分離.上面提到的超導(dǎo)180°混合環(huán)、威爾金森功分器，基于約瑟夫森結(jié)的約瑟夫森混合器等[17]均可作為制備路徑糾纏微波的微波分束器.

下面以采用超導(dǎo)180°混合環(huán)制備糾纏微波方案為例，對(duì)使用微波分束器分離糾纏光子對(duì)來(lái)制備路徑糾纏微波的方法進(jìn)行簡(jiǎn)單介紹。如圖1所示，約瑟夫森參量放大器產(chǎn)生的壓縮態(tài)信號(hào)[20]和50 ?負(fù)載產(chǎn)生的熱態(tài)作為超導(dǎo)180°混合環(huán)的兩路輸入信號(hào)，超導(dǎo)180°混合環(huán)有四個(gè)端口，其中兩個(gè)為輸入端，兩個(gè)為輸出端。兩路輸入信號(hào)分別從輸入端口進(jìn)入混合環(huán)，在其內(nèi)部產(chǎn)生干涉效應(yīng)[21]，通過(guò)調(diào)節(jié)超導(dǎo)環(huán)周長(zhǎng)，使兩路輸入信號(hào)在端口A,C處產(chǎn)生相消干涉，而端口B,D處產(chǎn)生相長(zhǎng)干涉，進(jìn)而在兩個(gè)輸出端口得到兩路路徑糾纏微波信號(hào)[17]，其輸入輸出關(guān)系為：

圖1 超導(dǎo)180°混合環(huán)產(chǎn)生路徑糾纏微波示意圖Fig.1.Schematic diagram of using superconducting 180 degree hybrid ring to generate path-entangled microwave signals.

3 兩種常見(jiàn)糾纏形式糾纏見(jiàn)證的構(gòu)造

在制備出路徑糾纏微波以后,要驗(yàn)證所得到的兩路信號(hào)是否為糾纏態(tài)成為一個(gè)關(guān)鍵的問(wèn)題,這顯然是對(duì)兩體糾纏的探測(cè).已有的糾纏探測(cè)判據(jù)中,比較著名的有糾纏見(jiàn)證[14]和部分轉(zhuǎn)置正定(positive partial transpose,PPT)判據(jù)[22].

糾纏見(jiàn)證是一種可以在物理上直觀實(shí)現(xiàn)的糾纏探測(cè)方式,糾纏見(jiàn)證算符W滿足以下三個(gè)條件:1)至少有一個(gè)負(fù)本征值;2)對(duì)所有純直積態(tài)都具有非負(fù)期望值;3)Tr(W)=1.假如量子態(tài)ρAB是可分態(tài),那么它具有非負(fù)平均值Tr[WρAB]≥0;假若量子態(tài)ρ為糾纏態(tài),其可以被W探測(cè),得到Tr[WρAB]＜0.

PPT判據(jù)由Asher Peres于1996年提出,對(duì)于一個(gè)包含兩個(gè)子系統(tǒng)的量子系統(tǒng)ρAB,若對(duì)其中一個(gè)子系統(tǒng)做部分轉(zhuǎn)置后得到的矩陣仍然是一個(gè)密度矩陣,即有非負(fù)本征值,則這個(gè)量子態(tài)為可分態(tài);而對(duì)于糾纏態(tài),對(duì)其中一個(gè)子系統(tǒng)做部分轉(zhuǎn)置后得到的矩陣是非正定的,有負(fù)本征值.

下面將根據(jù)PPT判據(jù),分別對(duì)常見(jiàn)的兩種2?2糾纏進(jìn)行糾纏見(jiàn)證算符的構(gòu)造,并給出它們對(duì)應(yīng)的糾纏見(jiàn)證算符形式.

3.1 |ψ〉=A|01〉+B|10〉形糾纏見(jiàn)證算符的構(gòu)造

下面將結(jié)合PPT判據(jù)來(lái)構(gòu)造2?2量子態(tài)的糾纏見(jiàn)證算符,據(jù)此探測(cè)兩路信號(hào)是否糾纏.一種常見(jiàn)的兩比特糾纏態(tài)為

其中|ψ〉=A|01〉+B|10〉,A,B為復(fù)系數(shù)即概率幅,且|A|2+|B|2=1.

此量子態(tài)是部分轉(zhuǎn)置非正定的,是一個(gè)糾纏態(tài).因此密度矩陣的部分轉(zhuǎn)置ρT?I就有負(fù)的本征值,并且設(shè)其對(duì)應(yīng)的歸一化本征態(tài)為|e?〉,即

因此有

由糾纏見(jiàn)證算符的定義,顯然|e?〉〈e?|T?I可作為糾纏態(tài)ρ=|ψ〉〈ψ|的糾纏見(jiàn)證,糾纏見(jiàn)證算符W為

在上述過(guò)程中,我們可以得到:

由此得到負(fù)本征值對(duì)應(yīng)的本征態(tài)為

設(shè)在上述糾纏態(tài)中,系數(shù)A,B的相位差為φ,因此W的形式如下:

我們發(fā)現(xiàn),若上述相位差φ=π時(shí),即系數(shù)A,B反相時(shí),糾纏見(jiàn)證算符W就等效于一個(gè)厄米交換(SWAP)算符V,其表述如下:

其中|x〉,|γ〉分別表示兩個(gè)量子態(tài).

3.2 |ψ〉=A|00〉+B|11〉形糾纏見(jiàn)證算符的構(gòu)造

對(duì)于另一種常見(jiàn)的兩比特糾纏態(tài)為

其中|ψ〉=A|00〉+B|11〉,且|A|2+|B|2=1. 其部分轉(zhuǎn)置矩陣ρT?I矩陣為

可以得到負(fù)本征值對(duì)應(yīng)的本征態(tài)為

同樣的上述糾纏態(tài)中,當(dāng)系數(shù)A,B的相位差?=π時(shí),因此糾纏見(jiàn)證W′的形式如下:

綜上,兩種不同糾纏態(tài)糾纏見(jiàn)證算符是有所差異的,同時(shí)彼此之間也有一定的聯(lián)系,第一種糾纏態(tài)的糾纏見(jiàn)證W可以用一個(gè)受控SWAP門[23]來(lái)實(shí)現(xiàn),在受控SWAP門之前再添加一個(gè)量子門I?X,使得I?X門和受控SWAP門的串聯(lián)線路等效于W′作為第二種糾纏態(tài)的探測(cè)線路,其本質(zhì)是先將第二種糾纏轉(zhuǎn)化為第一種糾纏形式,然后用受控SWAP門來(lái)實(shí)現(xiàn)糾纏探測(cè),其線路圖如圖2所示.

圖2 第二種糾纏轉(zhuǎn)化為第一種糾纏的量子線路Fig.2.A quantum circuits to convert the second type entanglement into the fi rst one.

4 應(yīng)用微波分束器進(jìn)行路徑糾纏微波信號(hào)的探測(cè)

4.1 路徑糾纏微波的糾纏見(jiàn)證

路徑糾纏微波的糾纏是屬于兩體連續(xù)變量糾纏,并且糾纏形式為空間分離的糾纏微波光子對(duì)相位上的共軛,假如其中一個(gè)微波光子塌縮至α相位,那么與之相糾纏的微波光子必然塌縮至相位α?.由于在制備糾纏微波時(shí),雙模壓縮真空態(tài)的壓縮幅度會(huì)受到實(shí)驗(yàn)設(shè)備和外部環(huán)境等因素的限制而不會(huì)達(dá)到無(wú)窮大,所以糾纏微波光子對(duì)所塌縮的相位并不會(huì)完全精確地共軛,而是會(huì)有很小的誤差.因此實(shí)際中所制備糾纏微波的糾纏態(tài)維度并不會(huì)達(dá)到無(wú)窮大,可以把它看作是兩體多維的糾纏態(tài):

其中r,t分別表示糾纏微波光子對(duì)空間分離后傳播的兩個(gè)不同路徑;N為糾纏的維度,會(huì)受到雙模壓縮真空態(tài)壓縮幅度的影響,壓縮幅度越大,N也就越大.

接著對(duì)路徑糾纏微波態(tài)做進(jìn)一步的整理,根據(jù)前面的討論,單獨(dú)一路中路徑微波光子的相位為α∈[0,2π),令相位βi=α?i,則路徑糾纏微波的糾纏形式可以重新表述為

通過(guò)上式的表述,利用共軛相位的對(duì)稱性可以將微波糾纏態(tài)分解為無(wú)限維的(|01〉+|10〉)形2?2糾纏的疊加態(tài).(|01〉+|10〉)形糾纏的糾纏見(jiàn)證算符為:

因此上述糾纏見(jiàn)證算符也能夠作為大量(|01〉+|10〉)形糾纏疊加構(gòu)成的路徑糾纏微波地探測(cè).

4.2 應(yīng)用微波分束器構(gòu)造糾纏見(jiàn)證

使用微波分束器作為干涉儀構(gòu)造SWAP門,可以實(shí)現(xiàn)上述的糾纏探測(cè)方法,此方法能夠在物理上進(jìn)行直觀觀察.微波分束器不僅可以用來(lái)進(jìn)行路徑糾纏微波的制備,同樣可以用來(lái)進(jìn)行路徑糾纏微波的探測(cè)和驗(yàn)證.其主要的過(guò)程為將兩路糾纏的微波信號(hào)通過(guò)兩個(gè)端口送入微波分束器后,然后對(duì)兩個(gè)輸出端口進(jìn)行微波光子符合計(jì)數(shù),通過(guò)符合計(jì)數(shù)率來(lái)觀察兩路信號(hào)是否糾纏.

下面在微波光子數(shù)態(tài)表象下進(jìn)行理論上的推導(dǎo),介紹利用微波分束器構(gòu)造糾纏見(jiàn)證算符的具體過(guò)程.

1)首先將兩路量子態(tài)微波信號(hào)分別從兩個(gè)入口輸入微波分束器,所輸入的量子態(tài)可以表示為

其中r,t分別表示兩個(gè)輸入路徑.

2)兩路路徑糾纏微波信號(hào)送入微波分束器后,經(jīng)過(guò)微波分束器的作用,把兩個(gè)輸出信號(hào)路徑設(shè)為u,d,可以得到如下的輸出態(tài):

3)接下來(lái)對(duì)u,d兩端口輸出的信號(hào)進(jìn)行微波光子的符合計(jì)數(shù),符合計(jì)數(shù)是當(dāng)兩路的計(jì)數(shù)器同時(shí)有光子計(jì)數(shù)時(shí),進(jìn)行一次微波光子計(jì)數(shù).在這里通過(guò)微波光子的符合計(jì)數(shù),目的在于去除路徑為u,u和d,d部分的信號(hào),即(23)式中

部分,而只留下傳輸路徑為u,d和d,u的信號(hào),得到的量子態(tài)為

最終得到輸出的末態(tài)為

兩路信號(hào)經(jīng)過(guò)微波分束器和微波光子符合計(jì)數(shù)的過(guò)程,末態(tài)中出現(xiàn)了厄米交換算符V.

圖3 應(yīng)用微波分束器進(jìn)行路徑糾纏微波檢測(cè)示意圖Fig.3.Schematic diagram of using microwave beam splitter to detect path entangled microwave signals.

接下來(lái)對(duì)上述末態(tài)密度矩陣進(jìn)一步分析,由于在最后符合計(jì)數(shù)過(guò)程中沒(méi)有對(duì)輸出信號(hào)進(jìn)行偏正測(cè)量,因此符合計(jì)數(shù)的結(jié)果就正比于末態(tài)|ψf〉密度矩陣的跡.末態(tài)密度矩陣為

對(duì)密度矩陣ρ′求跡可以得到

可見(jiàn)通過(guò)微波分束器可以得到厄米交換算符V作用在微波量子態(tài)密度矩陣上得到Tr[Vρ]的值,而根據(jù)前面分析,算符V是(|01〉?|10〉)形糾纏的糾纏見(jiàn)證算符,因此通過(guò)微波分束器就能夠在物理上實(shí)現(xiàn)對(duì)此形式糾纏的探測(cè).根據(jù)Tr[Vρ]實(shí)部的正負(fù)可以判斷所輸入的量子態(tài)是否(|01〉?|10〉)形糾纏,能夠看出若兩路量子態(tài)是可分態(tài)或不是此類形式的糾纏,則Re{Tr[Vρ]}≥ 0使得Tr[ρ′]小于或等于1;若信號(hào)糾纏是這一形式糾纏,則Re{Tr[Vρ]}＜0使得Tr[ρ′]大于1,并且兩路信號(hào)的糾纏度越大,則Tr[ρ′]越大,導(dǎo)致微波光子的符合計(jì)數(shù)率越高.直接得到Re{Tr[Vρ]}的正負(fù)信息比較困難,可以通過(guò)先后輸入兩路功率相同的糾纏態(tài)和標(biāo)準(zhǔn)直積態(tài)微波信號(hào),在輸出端使用進(jìn)行微波光子符合計(jì)數(shù),通過(guò)對(duì)微波光子計(jì)數(shù)率進(jìn)行對(duì)比來(lái)判斷Re{Tr[Vρ]}的正負(fù),即觀察輸出端兩路是否發(fā)生微波光子計(jì)數(shù)率的翻轉(zhuǎn),來(lái)判別所制備的量子態(tài)是否為(|01〉?|10〉)形糾纏態(tài).

在實(shí)際的工程中,單個(gè)微波光子的能量很弱,導(dǎo)致很難對(duì)微波光子進(jìn)行單光子計(jì)數(shù).為了解決這一問(wèn)題,需要改變對(duì)量子態(tài)微波的測(cè)量方式.我們知道光子的符合計(jì)數(shù)率正比于二階關(guān)聯(lián)函數(shù)〈Ir(t)It(t)〉, 這里Ir(t),It(t)分別為r,t兩路的瞬時(shí)光強(qiáng),瞬時(shí)光強(qiáng)又正比于這一時(shí)刻場(chǎng)強(qiáng)的平方.這樣對(duì)同一時(shí)刻兩路信號(hào)場(chǎng)強(qiáng)的平方做互相關(guān),兩路信號(hào)場(chǎng)強(qiáng)平方的互相關(guān)值的大小就正比于兩路微波光子的符合計(jì)數(shù)率的大小.這樣就把較為困難的微波光子數(shù)測(cè)量轉(zhuǎn)化為對(duì)場(chǎng)強(qiáng)的測(cè)量,減小了處理難度.

目前,已有研究者應(yīng)用上述類似方法在光學(xué)上進(jìn)行了偏振糾纏態(tài)的檢測(cè)[24];國(guó)外研究者通過(guò)構(gòu)造的驗(yàn)證矩陣是否含有負(fù)特征值進(jìn)行了糾纏微波的檢測(cè)[10].

4.3 路徑糾纏微波的糾纏見(jiàn)證的物理實(shí)現(xiàn)

在前面的分析中,應(yīng)用微波分束器可以構(gòu)造出(|01〉?|10〉)形糾纏的糾纏見(jiàn)證算符V.而路徑糾纏微波的糾纏形式為

這是N/2個(gè)(|01〉+|10〉)形糾纏的疊加,所以微波分束器并不能夠直接作為糾纏微波的探測(cè).這就需要其他的量子器件與微波分束器結(jié)合起來(lái)實(shí)現(xiàn)路徑糾纏微波的檢測(cè),通過(guò)觀察可以發(fā)現(xiàn),若能夠把糾纏微波的糾纏形式變?yōu)?/p>

則成為多個(gè)(|01〉?|10〉)形二維糾纏的疊加態(tài),這樣就能夠應(yīng)用微波分束器來(lái)進(jìn)行糾纏探測(cè)了.

實(shí)現(xiàn)這一轉(zhuǎn)換過(guò)程需要對(duì)路徑t的微波量子態(tài)進(jìn)行連續(xù)變量量子邏輯操作,使t路徑微波光子相位在[0,π),即微波光子的Pb分量大于零時(shí),對(duì)微波光子進(jìn)行反相操作,其余情況下不做變化.這個(gè)過(guò)程可以認(rèn)為是連續(xù)變量的受控相位門,如何在物理上實(shí)現(xiàn)這個(gè)量子態(tài)轉(zhuǎn)換過(guò)程目前也有一定的難度,這也有待于實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算的器件進(jìn)一步發(fā)展.綜上所述,利用連續(xù)變量受控相位門與微波分束器的串聯(lián)量子線路,就能夠在物理上實(shí)現(xiàn)路徑糾纏微波的探測(cè).

5 總結(jié)與展望

本文介紹了利用約瑟夫森混合器制備非經(jīng)典雙模壓縮態(tài)微波的原理,并通過(guò)諧振器或微波分束器將糾纏的光子對(duì)分離產(chǎn)生路徑糾纏微波的方法.接著結(jié)合PPT判據(jù)和糾纏見(jiàn)證的定義,推導(dǎo)了兩種2?2糾纏態(tài)的糾纏見(jiàn)證算符的形式.然后將連續(xù)變量糾纏的微波糾纏態(tài)進(jìn)行分解,把糾纏微波看作多個(gè)2?2糾纏疊加的糾纏態(tài),并由此證明利用連續(xù)變量受控相位門與微波分束器的組合電路能夠在物理上構(gòu)造路徑糾纏微波的糾纏見(jiàn)證算符,用于路徑糾纏微波的檢測(cè)方法,并對(duì)試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了理論上的分析.本文提出的糾纏微波檢測(cè)方法相比于量子態(tài)重構(gòu),態(tài)估計(jì)等糾纏檢測(cè)方法更加簡(jiǎn)便直觀,一定程度上減少了計(jì)算操作,并有更大的容許誤差.

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