馬艷林書玉徐潔

1)(陜西師范大學,陜西省超聲學重點實驗室,西安 710062)

2)(寧夏師范學院物理與電子信息工程學院,納米結構及功能材料工程技術研究中心,固原 756000)

1 引 言

聲致發(fā)光測量實驗表明:氣泡在聲場中的形狀并非全是球形,在非球形氣泡由最大半徑急劇塌縮到最小半徑的崩潰階段,這種形變擾動會變得十分顯著,甚至使得驅(qū)動壓強沒有達到空化閾值時氣泡就發(fā)生破裂,影響到氣泡的穩(wěn)定性[1?3].因此,泡群中氣泡的穩(wěn)定振動成為空化研究中的重要課題之一.由于大量氣泡之間的相互作用復雜,因此過去關于氣泡不穩(wěn)定性的研究主要集中在單個氣泡的形狀不穩(wěn)定性[4?9]上.20世紀50年代,Plessset[10]首次推導了單氣泡的形狀穩(wěn)定性方程,研究了單個氣泡的不穩(wěn)定性.Brenner等[11]討論了引起非球形擾動的兩種不穩(wěn)定機制.Bogoyavlenskiy[12]證明了氣泡形變擾動的時間導數(shù)隨著氣泡半徑的減小顯著增長,是氣泡反彈階段不穩(wěn)定的主要原因.Wang和Chen[13]引入非球?qū)ΨQ的驅(qū)動聲場,成功地解釋了單個氣泡的穩(wěn)定非球形脈動.劉海軍和安宇[14]考慮了水蒸氣在邊界上的凝結和蒸發(fā)效應,發(fā)現(xiàn)考慮水蒸氣后對單氣泡穩(wěn)定區(qū)域的確定相對有所改進.錢夢騄等[15]把氣泡看作以流體為負載的振子,對單個氣泡在膨脹、崩潰和回彈過程中的動力學和形狀穩(wěn)定性進行了討論,得到了聲致發(fā)光中氣泡動力學的簡明物理圖像.這些結論的得出表明單氣泡形狀不穩(wěn)定性的理論研究已經(jīng)相對比較成熟[16?18].然而,含氣泡液體中,空化的發(fā)生大多是以多個氣泡和氣泡云的形式出現(xiàn),相鄰氣泡之間存在著聲相互作用[19,20],氣泡的運動非常復雜,理論處理非常困難,因此目前關于泡群中氣泡穩(wěn)定性的相關研究較少,仍然處于探索階段[21,22].本文從雙氣泡模型出發(fā),研究了兩個具有非球形擾動氣泡之間的相互作用力對氣泡形狀不穩(wěn)定性的影響,并提出了具有非球形擾動的兩個氣泡之間可能存在一種新的耦合模式,一定條件下,這種耦合模式能夠?qū)馀莸姆€(wěn)定振動產(chǎn)生一定的影響,希望對多氣泡環(huán)境中氣泡的穩(wěn)定振動及多氣泡空化提供理論基礎.

2 含氣泡液體系統(tǒng)的能量

如果液體中只含有兩個具有非球形擾動的氣泡,氣泡之間的距離為d.如圖1所示,在聲場作用下,假設每個氣泡在形變擾動中,只出現(xiàn)單一形狀模態(tài)的形變擾動,不存在不同形狀模態(tài)的耦合,則氣泡1(2)壁面離氣泡1(2)中心的距離可表示為

式中,R1(t)和R2(t)是氣泡1,2無擾動時的平均半徑;an是氣泡1壁面的第n階形狀模態(tài)振幅,bm是氣泡2壁面的第m階形狀模態(tài)振幅,其中Ym分別是n,m階球諧函數(shù),在這里只考慮2的模式.考慮氣泡之間的相互作用后,an,bm應該是關于氣泡R1,R2和t的函數(shù),如果假設液體為不可壓縮的液體,根據(jù)Plesset提出的算法[10],可得氣泡1,2周圍液體的速度勢可表示為

氣泡系統(tǒng)的動能為

式中積分在整個流體體積進行,ρ為液體的密度,v為液體粒子的振速.液體粒子的速度可以表示為如下形式:

式中v1,v2分別為第1,2個氣泡振動引起液體粒子的振動速度,可表示為

假設氣泡1,2在整個振動過程中關于軸對稱,聯(lián)立(3),(4),(5),(6),(7)和(8)式,可得液體的動能為

其中,

氣泡系統(tǒng)的勢能等于周圍液體對氣泡做的功,即

式中

其中Pa為驅(qū)動壓強,σ為表面張力系數(shù),γ為絕熱指數(shù),P0為液體靜壓力,Pv為氣泡內(nèi)部的蒸汽壓強,為氣泡1發(fā)生形變后的2個主要曲率半徑,其可表示為[10]

將(11)和(12)式代入(10)式中第一部分積分,可得在氣泡1的勢能,將(11)和(12)式中的下腳標1換成2按照同樣的積分方法可得氣泡2的勢能.氣泡1,2所組成的系統(tǒng)的總勢能為

圖1 聲場中兩個非球形氣泡示意圖Fig.1.Two nonspherical bubbles in an acoustic field.

3 含氣泡液體系統(tǒng)的Lagrangian方程

氣泡系統(tǒng)的無耗散的Lagrange方程為

式中L為Lagrangian函數(shù),定義為系統(tǒng)的動能減去勢能;Θ為廣義坐標.若分別令兩個氣泡的徑向半徑和形狀振幅為廣義坐標,將(9)和(13)式代入(14)式,可得到兩組方程:

方程(15)和(16)正好是考慮了氣泡之間聲相互作用的Rayleigh-Plesset(R-P)方程,即Doinikov模型方程,如果考慮氣泡在振動過程中受到黏滯阻力的影響,可以在方程(15)和(16)等式右邊中引入黏滯阻力項作為修正,其中μ為液體的黏滯阻力系數(shù).

對比(19),(20)和(21)式可以看出,兩個非球形氣泡之間的聲相互作用對于每個氣泡形狀模態(tài)振幅的影響體現(xiàn)在An和Bm因子上,表示兩個氣泡在振動過程中出現(xiàn)形狀耦合振動,表示兩個氣泡無形狀耦合振動.而和項則是流體力學觀點和能量觀點兩種方法計算精度不同造成的,當兩個氣泡之間距離足夠大時,氣泡之間的相互作用忽略不計,兩個氣泡的徑向振動方程(15)和(16)就回到了單氣泡的R-P方程,形狀模態(tài)振幅方程(19),(20)就回到單氣泡形狀模態(tài)振幅方程.

4 相互作用力對氣泡形狀不穩(wěn)定性的影響

對于單個氣泡而言,表面張力總是指向氣泡內(nèi)部,其效應是使得氣泡能夠保持最穩(wěn)定的球形,另一方面,在聲場作用下當氣泡收縮到最小體積時,氣泡內(nèi)部的壓強也非常大并且指向氣泡外部,這兩種強的且反方向的力導致了氣泡表面的不穩(wěn)定[9].當兩個氣泡相互接近時,兩個振動的氣泡會產(chǎn)生相互作用力,而氣泡之間的作用力的方向則取決于兩個氣泡形狀模態(tài)階數(shù)、氣泡的初始半徑、氣泡間距和驅(qū)動聲場,正的相互作用力代表了擴張力,負的相互作用力代表了壓縮力,任意時刻,由于氣泡之間相互作用力使得具有非球形擾動的氣泡表面的受力情況變得復雜,從而使得氣泡形狀不穩(wěn)定性也受到一定的影響.

4.1 氣泡耦合振動對氣泡形狀不穩(wěn)定性的影響

對于具有非球形擾動的氣泡而言,其在聲場中振動有兩種運動趨勢:1)其形狀模態(tài)振幅隨時間呈現(xiàn)指數(shù)衰減,這種情況下氣泡是穩(wěn)定的;2)其形狀模態(tài)振幅隨時間呈現(xiàn)指數(shù)增大,這種情況下氣泡越來越偏離球形,此時氣泡屬于形狀不穩(wěn)定,最終破裂.為了研究氣泡之間的耦合振動對氣泡形狀不穩(wěn)定性的影響,我們數(shù)值模擬了聲場中具有相互作用的兩個非球形氣泡的形狀不穩(wěn)定性相圖,模擬條件為:ρ=1000 kg/m3,μ =1×10?3kg/(m·s),σ=0.0725 N/m,γ=1.4,P0=1.05×105Pa.

圖2(a)是當驅(qū)動頻率為20 kHz,液體中只有一個非球形氣泡時氣泡的不穩(wěn)定性相圖,圖2(b)是氣泡1和氣泡2做徑向耦合振動時,氣泡1的形狀不穩(wěn)定性相圖,圖2(c)是氣泡1和氣泡2做徑向耦合振動和形狀耦合振動時,氣泡1的形狀不穩(wěn)定性相圖.圖中黑色區(qū)域代表氣泡形狀的穩(wěn)定區(qū)域,白色區(qū)域代表氣泡形狀的不穩(wěn)定區(qū)域.對比可以看出:一定條件下,氣泡之間的形狀耦合振動和徑向耦合振動使得同樣驅(qū)動條件下氣泡的形狀穩(wěn)定區(qū)域有了一定程度的增加.換言之,氣泡發(fā)生形狀偏移時也會使得氣泡之間產(chǎn)生相互作用,一定條件下,這種作用力能夠減弱氣泡的塌縮速度的劇烈程度,使得氣泡對抗非對稱性擾動的能力增加.

為了更直觀地研究氣泡之間的相互作用力對氣泡形狀不穩(wěn)定性的影響,我們數(shù)值模擬了不同驅(qū)動條件下具有非球形擾動的氣泡的2階形狀模態(tài)振幅隨時間的變化關系.圖3(a)—(c)分別是驅(qū)動壓強振幅為1.265×105Pa、驅(qū)動頻率為20 kHz時,初始半徑為2μm的單個非球形氣泡的二階形狀模態(tài)振幅隨時間的變化關系曲線,初始半徑為2μm的氣泡1和相距200μm的初始半徑為2μm的氣泡2做徑向耦合振動時,氣泡1的2階形狀模態(tài)振幅隨時間的變化曲線,初始半徑為2μm的氣泡1與相距200μm的初始半徑為2μm的氣泡2做形狀耦合和徑向耦合振動時,氣泡1的2階形狀模態(tài)振幅隨時間的變化曲線.對比可以發(fā)現(xiàn),當氣泡開始擴張時,氣泡表面就已經(jīng)激發(fā)了2階形狀振動模式,氣泡不穩(wěn)定性出現(xiàn)在氣泡的收縮階段,在上述模擬條件下,單個氣泡的非球形擾動隨著時間的增加越來越大,在20個驅(qū)動周期后,氣泡表面越來越不穩(wěn)定,最終導致氣泡的崩潰破裂.當液體中存在兩個氣泡且兩個氣泡形狀模態(tài)不同時,隨著時間的增加,氣泡1的2階形狀模態(tài)振幅越來越大,20個驅(qū)動周期后,也會使得氣泡崩潰破裂,但相較于單個氣泡而言,兩個氣泡之間徑向耦合產(chǎn)生的相互作用力使得每個氣泡的形狀模態(tài)振幅減小.當兩個氣泡的形狀模態(tài)相同時,對比可以發(fā)現(xiàn),20個驅(qū)動周期后,氣泡1的形狀模態(tài)振幅只有氣泡半徑的0.02左右,且呈周期性變化,因此,氣泡不會因形狀擾動而發(fā)生破裂,氣泡是穩(wěn)定的,也就是說,一定條件下氣泡間的形狀耦合振動增加了氣泡對抗非球形擾動的能力.

上述結論是建立在兩個氣泡相距較近的基礎上,兩個氣泡之間的相互作用與兩個氣泡之間的距離有關,當兩個氣泡之間的距離超過一定臨界距離時,兩個氣泡之間的相互作用非常微弱,可以近似為兩個無耦合的自由氣泡,此時便回到單氣泡穩(wěn)定振動問題上.通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn),對于形狀耦合而言,小氣泡的臨界作用距離要大于大氣泡的臨界作用距離.除此之外,數(shù)值模擬結果還表明,當驅(qū)動聲場的頻率繼續(xù)增加,到達兩個氣泡中某個氣泡的共振頻率之上,甚至超過某個氣泡的共振頻率時,氣泡的穩(wěn)定性區(qū)域較低頻聲場有了較大程度的提高,但氣泡之間的形狀耦合振動仍然在一定程度上增加了氣泡對抗非球形擾動的能力,由于篇幅有限,在下面的討論中仍然只討論驅(qū)動頻率為20 kHz的情況.

圖2 氣泡的2階形狀不穩(wěn)定性相圖(f=20 kHz)(a)單個氣泡;(b)氣泡1,,d=200μm,R20=2μm;(c)氣泡1,n=m,R20=2μm,d=200μmFig.2.Phase diagrams for shape instability of a bubble with the second shape mode(f=20 kHz)(a)A single bubble;(b)the first bubble,,d=200μm and R20=2μm;(c)the first bubble,n=m,R20=2μm and d=200μm.

圖3 氣泡的2階形狀振幅隨時間的變化(a)單個氣泡(R0=2μm);(b)氣泡1;(c)氣泡1(n=m,R10=2μm)Fig.3.Amplitude of the second shape mode of a bubble with the time:(a)A single bubble(R0=2μm);(b)the first bubble;(c)the first bubble(n=m and R10=2μm).

4.2 氣泡形狀模態(tài)階數(shù)對氣泡形狀不穩(wěn)定性的影響

同樣驅(qū)動條件下,初始形狀模態(tài)對氣泡的形狀不穩(wěn)定性亦會產(chǎn)生一定的影響.我們研究了驅(qū)動聲場頻率為20 kHz時,不同氣泡形狀模態(tài)階數(shù)下氣泡的形狀不穩(wěn)定性相圖(n=m),圖4(a)—(c)分別是n=2,3,4時氣泡1做形狀耦合和徑向耦合振動(n=m,R20=2μm,d=200μm)時的形狀不穩(wěn)定性相圖.對比可以發(fā)現(xiàn):在本文的研究條件下,氣泡1的2階形變擾動最不穩(wěn)定,隨著形狀模態(tài)階數(shù)的增加,氣泡1的形狀穩(wěn)定性區(qū)域也在增加,氣泡1在3,4階形狀模態(tài)下的形狀穩(wěn)定性相較同樣驅(qū)動條件下氣泡處于2階形狀模態(tài)下的形狀穩(wěn)定性有了明顯的提高.

為了更直觀地表明上述現(xiàn)象,我們數(shù)值模擬了10個驅(qū)動周期下氣泡1在不同形狀模態(tài)下的形狀振幅(n=m),如圖5(a)—(c)所示,氣泡1的初始半徑為11μm,氣泡2的初始半徑為2μm,兩個氣泡之間的距離為200μm,驅(qū)動壓強振幅為0.85×105Pa.對比可以看出:氣泡1的2階形狀模態(tài)振幅在10個驅(qū)動周期內(nèi)隨著時間的變化逐漸增加,且遠遠超出了其半徑,這表明,在這樣的驅(qū)動條件下,氣泡1的2階形變擾動是不穩(wěn)定的,形變擾動的結果是使得氣泡1由于形狀不穩(wěn)定性而破裂;而同樣的驅(qū)動條件下,同樣初始半徑的氣泡1的3,4階形變擾動是穩(wěn)定的,在我們研究的10個驅(qū)動周期內(nèi),其形狀模態(tài)振幅非常小,其中氣泡1的3階形狀模態(tài)振幅只有氣泡半徑的0.04左右,且形變擾動具有周期性特征,氣泡1的4階形狀模態(tài)振幅的大小為氣泡1的半徑的0.5左右,這說明,氣泡1的3和4階形狀振幅在這樣的驅(qū)動條件下是非常小的,且基本上穩(wěn)定不變,不會使得氣泡1由于形變而發(fā)生破裂,氣泡1此時處于形狀穩(wěn)定區(qū)域.

圖4 不同形變模態(tài)下氣泡1的形狀不穩(wěn)定性相圖(n=m,R20=2μm,d=200μm)(a)n=2;(b)n=3;(c)n=4Fig.4.Phase diagrams for shape instability of the first bubble with different shape mode order(n=m,R20=2μm and d=200μm):(a)n=2;(b)n=3;(c)n=4.

圖5 氣泡1的形狀模態(tài)振幅隨時間的變化(n=m,R10=11μm,R20=2μm,Pa=0.85×105Pa,d=200μm)(a)n=2;(b)n=3;(c)n=4Fig.5.Amplitude of the second shape mode of the first bubble with the time(n=m,R10=11μm,R20=2μm,Pa=0.85×105Pa and d=200μm):(a)n=2;(b)n=3;(c)n=4.

4.3 相鄰氣泡初始半徑對氣泡表面不穩(wěn)定性的影響

當兩個具有非球形擾動的氣泡在聲場中振動時,同樣的聲場驅(qū)動下,不同尺寸的氣泡對之間的相互作用力不同,耦合振動方式也有所不同,因此對每個氣泡的形狀穩(wěn)定性的影響也會不同,為了研究不同初始尺寸的相鄰氣泡對氣泡1的形狀不穩(wěn)定性的影響,數(shù)值模擬了驅(qū)動頻率為20 kHz下,兩個氣泡的形狀模態(tài)相同(n=m)時,當氣泡2的初始半徑發(fā)生變化時氣泡1的形狀不穩(wěn)定性相圖.

我們發(fā)現(xiàn),當氣泡間距和驅(qū)動聲場頻率均保持不變時,氣泡2初始半徑的改變對氣泡1的形狀不穩(wěn)定性也會產(chǎn)生一定的影響.圖6是氣泡1與不同初始半徑的氣泡2進行形狀耦合和徑向耦合振動(n=m)時的形狀不穩(wěn)定性相圖,對比可以看出,氣泡2的初始半徑的改變會引起氣泡1的形狀不穩(wěn)定性的明顯改變.如圖6(a)—(c)所示,在上述模擬條件下,隨著氣泡2的初始半徑的增加,氣泡1的形狀不穩(wěn)定性區(qū)域減小,且形狀不穩(wěn)定性區(qū)域的減小主要集中在小尺寸氣泡范圍內(nèi);對于大尺寸范圍(4μm以上)內(nèi)的氣泡,隨著氣泡2初始半徑的增加,其形狀不穩(wěn)定性區(qū)域不發(fā)生明顯變化.發(fā)生這一現(xiàn)象的原因是,當大尺寸的氣泡處于形狀穩(wěn)定性區(qū)域時,氣泡2(初始半徑從2μm增加到4μm)也處于形狀穩(wěn)定性區(qū)域,因此兩個氣泡的形狀耦合和徑向耦合振動所產(chǎn)生的作用力對于4μm以上氣泡的形狀穩(wěn)定性影響不大,而對于小范圍尺寸的氣泡1(2—4μm),當其處于形狀穩(wěn)定性區(qū)域時,氣泡2的形狀不穩(wěn)定性取決于其初始半徑,如果此時氣泡2處于不穩(wěn)定區(qū)域,那么氣泡2的塌縮破裂會對這個尺寸范圍內(nèi)的氣泡1產(chǎn)生巨大的作用力,使得氣泡1也迅速破裂,進而使得氣泡1的形狀不穩(wěn)定性區(qū)域減小.根據(jù)上述原因,氣泡1的形狀穩(wěn)定性區(qū)域會隨著氣泡2的初始半徑的增加而減小,并且減小的區(qū)域主要位于與氣泡2初始半徑相近的區(qū)域范圍.

圖6 氣泡1的形狀不穩(wěn)定性相圖(n=m,f=20 kHz,d=200μm)(a)R20=2μm;(b)R20=3μm;(c)R20=4μmFig.6.Phase diagram for shape instability of the first bubble with different radius of the second bubble(n=m,f=20 kHz and d=200μm):(a)R20=2μm;(b)R20=3μm;(c)R20=4μm.

5 結 論

聲場中的氣泡,由于做周期性振動產(chǎn)生聲場,因而和相鄰氣泡之間產(chǎn)生相互作用力,本文計算了兩個氣泡系統(tǒng)的能量,并基于Lagrange方程得到了存在聲相互作用的氣泡的動力學方程和形狀穩(wěn)定性方程,數(shù)值研究了聲場中存在聲相互作用的氣泡的動力學及相互作用力對非球形氣泡形狀不穩(wěn)定性的影響.研究結果表明兩個存在非球形擾動的氣泡之間存在著兩種耦合模式:形狀耦合模式和徑向耦合模式.當兩個氣泡的非球形擾動模態(tài)相同(n=m)時,氣泡之間同時存在著兩種耦合模式,氣泡之間的相互作用力由這兩種耦合模式所產(chǎn)生;當兩個氣泡的非球形擾動模態(tài)不相同時,兩個氣泡之間只存在徑向耦合模式,氣泡之間的相互作用力由徑向耦合模式產(chǎn)生.

研究發(fā)現(xiàn),同樣的驅(qū)動條件下,非球形氣泡的形狀不穩(wěn)定性區(qū)域會隨著氣泡形狀模態(tài)階數(shù)的增加而減小.兩個具有非球形擾動的氣泡之間的相互作用力會對單個氣泡的形狀不穩(wěn)定產(chǎn)生一定的影響,聲場中氣泡與比自身初始半徑小或者等于自身初始半徑的氣泡的徑向耦合振動和形狀耦合振動能夠在不同程度上減少氣泡自身的形狀不穩(wěn)定性,反之則能夠增加自身的形狀不穩(wěn)定性.

由于實際氣泡的非球形擾動模態(tài)并非單一形狀模態(tài),而是存在不同形狀模態(tài)的相互耦合,因此實際泡群振動中可能同時具有徑向耦合振動和形狀耦合振動這兩種模式,而形狀耦合振動的出現(xiàn)會顯著地增加氣泡之間的相互作用,改變空化氣泡的形狀不穩(wěn)定,從而影響泡群中氣泡的空化劇烈程度.

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