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        分析高中數(shù)學(xué)立體幾何的解題技巧

        2018-03-25 05:27:12王安寧
        新課程(下) 2018年7期
        關(guān)鍵詞:平面角二面角垂線

        王安寧

        (山西省沁水中學(xué)校,山西 沁水)

        一、高中數(shù)學(xué)立體幾何的解題技巧

        (一)平行、垂直位置關(guān)系的論證的策略

        1.從已知概念的性質(zhì)出發(fā),有問題去想判定的方法,即分析方法和綜合方法,找到解題的方法。

        2.解決問題的常用方法之一是利用問題設(shè)置條件的性質(zhì)適當(dāng)?shù)卦黾虞o助線(或表面)。

        3.高考中最常用的三垂線定理及其逆定理,在證明直線垂直時(shí)應(yīng)優(yōu)先考慮。

        (二)空間角的計(jì)算方法與技巧

        1.由兩條不同直線形成的角度:①水平法;②補(bǔ)體法;③向量法。

        2.由直線和平面形成的角度。直線和平面之間的角度的關(guān)鍵是作垂直線,在同一三角形中找到投影計(jì)算,或者使用向量計(jì)算以及用公式計(jì)算。

        3.二面角:(1)平面角的作法:①定義方法;②三垂線定理及其逆定理;③垂直法。(2)平面角計(jì)算方法:①求平面角,然后計(jì)算(求解三角形)或使用向量計(jì)算;②投影面積法;③向量角公式。

        (三)空間距離的計(jì)算方法與技巧

        1.求點(diǎn)到直線的距離:三垂線定理通常用于從一點(diǎn)到一條直線形成一條垂直線,然后求解相關(guān)三角形,同時(shí)也可以用面積相等求出點(diǎn)到直線的距離。

        2.求兩條異面直線間距離:一般先找到公垂線,然后求公垂線的長(zhǎng)度。如果不能直接作出公垂線的情況(在這種情況下,不需要納入大學(xué)入學(xué)考試),則可以將其轉(zhuǎn)換成線面距離求解。

        3.求點(diǎn)到平面的距離:一般找出(或作出)一個(gè)垂直于已知平面的平面,利用面面的垂直性質(zhì)使平面垂直,然后計(jì)算;也可以使用“三棱錐體積法”直接求距離。求直線與平面的距離及平面與平面的距離一般均轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離來求解,從而解決了這個(gè)問題。

        (四)立體幾何讀題

        1.找出圖形幾何是什么,規(guī)則的、不規(guī)則的、組合的等。

        2.理解幾何學(xué)的結(jié)構(gòu)特征。表面、線條和線條之間的關(guān)系(平行、垂直和相等)是什么?

        3.重點(diǎn)留意有哪些面面垂直、線面垂直,線線平行、線面平行等。

        (五)解題程序劃分為四個(gè)過程

        1.看看發(fā)生了什么事。所謂的“求證題”的已知是什么?條件是什么?什么是未知的?結(jié)論是什么?這就是我們經(jīng)常談?wù)摰脑掝}。

        2.制訂一個(gè)計(jì)劃。找出與未知的直接或間接聯(lián)系。在闡明問題的意義的基礎(chǔ)上,我們可以捕捉有用的信息,提取相關(guān)信息并及時(shí)記憶其中的有關(guān)信息,然后對(duì)兩組信息資源進(jìn)行邏輯組合,以構(gòu)思一個(gè)成功的計(jì)劃,這就是我們所說的思考。

        3.計(jì)劃的實(shí)現(xiàn)。為了表達(dá)解決簡(jiǎn)單、準(zhǔn)確、有序的數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號(hào)問題的思想,驗(yàn)證了該解的合理性,這就是我們想討論的問題。

        4.復(fù)習(xí)。對(duì)結(jié)論進(jìn)行了驗(yàn)證,總結(jié)了解決問題的方法。

        二、高中數(shù)學(xué)立體幾何的例題解題技巧分析

        例.如圖1,設(shè)ABC-A1B1C1是直三棱柱,F(xiàn)是A1B1的中點(diǎn),且AB=2AA1=2a,AC=BC=

        圖1

        圖2

        (1)求證:AF⊥A1C;

        (2)求二面角C-AF-B的大小。

        分析:先來看第(1)問,我們“倒過來”分析。如果已經(jīng)證得AF⊥A1C,則注意到因?yàn)锳B=2AA1=2a,ABC-A1B1C1是直三棱柱,若設(shè)E是AB的中點(diǎn),就有A1E⊥AF,即AF⊥平面A1CE。那么,如果我們能夠先證明AF⊥平面A1CE,就可以證得AF⊥A1C,而這可由CE⊥平面AA1B1B立得。

        再來看第(2)問。為計(jì)算二面角C-AF-B的大小,我們需要找到二面角C-AF-B的平面角。由前面的分析知,CE⊥平面AA1B1B,而A1E⊥AF,所以,若設(shè)G是AF與A1E的中點(diǎn),則∠CGE即為二面角C-AF-B的平面角,再計(jì)算△CGE各邊的長(zhǎng)度,即可求出所求二面角的大小。

        解:(1)如圖 2,設(shè) E 是 AB 的中點(diǎn),連接 CE,EA1。由 ABCA1B1C1是直三棱柱,知AA1⊥平面ABC,而CE在平面ABC上,所以 CE⊥AA1。

        ∵AB=2AA1=2a,∴AA1=a,AA1⊥AE,知 AA1FE 是正方形,從而AF⊥A1E。而A1E是A1C在平面AA1FE上的射影,故AF⊥A1E。

        (2)設(shè)G是AF與A1E的中點(diǎn),連接CG。因?yàn)镃G⊥平面AA1B1B,AF⊥A1E,由三垂線定理,CG⊥AF,所以∠CGE就是二面角 C-AF-B 的平面角.∵AA1FE 是正方形

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