嚴(yán) 晗，何英姿

0 引 言

對(duì)于飛行器進(jìn)入大氣層的過程而言，飛行精度雖然隨著導(dǎo)航設(shè)備及算法的不斷發(fā)展而提高，但制導(dǎo)算法還必須可應(yīng)對(duì)大氣密度不確定性、氣動(dòng)系數(shù)不確定性及擾動(dòng)等因素，特別是對(duì)于火星大氣進(jìn)入過程而言，由于我們對(duì)火星的大氣信息掌握較少，所使用的制導(dǎo)律應(yīng)具備更強(qiáng)的魯棒性[1].預(yù)測(cè)-矯正制導(dǎo)方法可實(shí)時(shí)根據(jù)環(huán)境信息更新飛行軌跡，從而提高制導(dǎo)精度.但該方法對(duì)計(jì)算機(jī)性能的要求較高，并且依賴于準(zhǔn)確的大氣密度模型[1-2].相對(duì)于預(yù)測(cè)-矯正制導(dǎo)方法而言，標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)方法具有易于實(shí)現(xiàn)，并對(duì)模型不確定性具有魯棒性的特點(diǎn)[2]，因此許多現(xiàn)代先進(jìn)控制方法被應(yīng)用于這類制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中，如反饋線性化法[3-7]、預(yù)測(cè)控制法[8-10]、萊讓得維普法[11]和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法[12]等.跟蹤阻力加速度的制導(dǎo)方法是一種典型的標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)法，并已成功應(yīng)用于阿波羅計(jì)劃和航天飛機(jī)的再入過程中[13].大多數(shù)阻力加速度跟蹤制導(dǎo)律均需要阻力加速度的導(dǎo)數(shù)作為反饋信息[1,3,8-10,14]，但由于阻力加速度的導(dǎo)數(shù)難以準(zhǔn)確測(cè)量，在航天飛機(jī)的制導(dǎo)律中以高度變化率代替了阻力加速度的導(dǎo)數(shù)作為反饋信息，然而這種做法將帶來一定的誤差[13].為了解決阻力加速度的導(dǎo)數(shù)不可測(cè)量的問題，滑模狀態(tài)擾動(dòng)觀測(cè)器被用于阻力加速度導(dǎo)數(shù)的估計(jì)中[7]，但是該項(xiàng)工作中缺乏對(duì)不確定性的充分分析，或?qū)⒃斐晒烙?jì)不準(zhǔn).自抗擾控制方法也被用于阻力加速度跟蹤制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中[1]，但這種做法需要精確已知所有變量從而計(jì)算阻力加速度的導(dǎo)數(shù).文獻(xiàn)[2]中引入了高增益觀測(cè)器[15-16]，從而獲得了只基于可測(cè)量信息的制導(dǎo)律，穩(wěn)定性分析和數(shù)學(xué)仿真表明當(dāng)觀測(cè)器的增益足夠高時(shí)，帶有高增益觀測(cè)器的制導(dǎo)律可重現(xiàn)狀態(tài)反饋制導(dǎo)律的性能.然而，該工作只能保證閉環(huán)制導(dǎo)系統(tǒng)具有輸入-狀態(tài)穩(wěn)定性(ISS)，即阻力加速度跟蹤誤差只能收斂到零點(diǎn)的小臨域內(nèi).

顯見，文獻(xiàn)[2]中的阻力加速度動(dòng)力學(xué)與[17]中研究的非線性系統(tǒng)具有類似結(jié)構(gòu)，但不同于[17]的是阻力加速度動(dòng)力學(xué)中的不確定性還與狀態(tài)有關(guān)，因此[17]所得結(jié)論和控制律設(shè)計(jì)方法不能直接應(yīng)用于阻力加速度跟蹤制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中.

本文提出了一種具有有限時(shí)間收斂特性的阻力加速度跟蹤制導(dǎo)律.首先，將再入動(dòng)力學(xué)方程抽象為一類帶有不確定性及擾動(dòng)的非線性系統(tǒng)，并針對(duì)該類系統(tǒng)提出了一種基于滑模控制的有限時(shí)間魯棒控制律.相比于[17]的結(jié)論，本文所研究的系統(tǒng)更具有普適性.之后，將所提出的控制律設(shè)計(jì)方法應(yīng)用于阻力加速度跟蹤的制導(dǎo)律設(shè)計(jì)中，為了獲得跟蹤誤差的有限時(shí)間收斂特性，設(shè)計(jì)過程中需要獲得不確定性的上界，可根據(jù)大氣密度偏差及氣動(dòng)特性偏差預(yù)先估計(jì).蒙特卡洛方法驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的有限性和先進(jìn)性.

1 基于滑模方法的有限時(shí)間控制律設(shè)計(jì)

本小節(jié)將針對(duì)一類帶有不確定性和擾動(dòng)的非線性系統(tǒng)給出一種基于滑?？刂品椒ǖ聂敯粲邢迺r(shí)間控制律設(shè)計(jì)方法.

首先給出如下引理：

考慮如下二階系統(tǒng)

(1)

其中x=[x1,x2]T為系統(tǒng)的狀態(tài)，u為控制輸入，g(x,t)≠0，h(x,t)=[h1(x,t),…,hn(x,t)]，Δ=[Δ1,…,Δn]T為不確定性和擾動(dòng).假設(shè)存在正常數(shù)Mi使得|Δi|≤Mi(i=1,2,…,n).

選取滑模面為

(2)

(3)

(4)

則有如下定理成立：

定理2.考慮由系統(tǒng)(1)及控制律(3)組成的閉環(huán)系統(tǒng). 系統(tǒng)狀態(tài)可在時(shí)間

(5)

證明.s沿系統(tǒng)(1)軌線的導(dǎo)數(shù)為

(6)

當(dāng)x1≠0時(shí)，將(1)和(3)代入(6)可得

(7)

=-ksp2/q2+1

(8)

(9)

內(nèi)收斂到零，其中t0為初始時(shí)刻.當(dāng)s=0時(shí)，有

(10)

(11)

(12)

內(nèi)收斂到零.因此，顯見x1和x2亦可在有限時(shí)間tr內(nèi)收斂到零.

注1.文獻(xiàn)[17]中考慮的非線性系統(tǒng)可視為本文所考慮的系統(tǒng)(1)的特殊形式，亦即當(dāng)h(x,t)=1,Δ∈R1時(shí)由(1)組成非線性系統(tǒng)將變?yōu)槲墨I(xiàn)[17]中的形式. 下節(jié)中我們將見到阻力加速度制導(dǎo)動(dòng)力學(xué)模型恰恰為系統(tǒng)(1)的形式，因此定理1的結(jié)論可直接應(yīng)用于阻力加速度跟蹤制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中.

2 動(dòng)力學(xué)模型

忽略地球自轉(zhuǎn)角速度及地球扁率等影響，無動(dòng)力再/進(jìn)入飛行器運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為[7,11,13-14,17-18]

(13)

其中，r為地心距，φ為經(jīng)度，θ為緯度，v為速度，γ為航跡傾角，χ為方向角，L為升力加速度，D為阻力加速度，g為重力加速度.根據(jù)式可計(jì)算航程

(14)

其中r0為參考半徑(如地球半徑).L和D可由以下兩式計(jì)算得出：

(15)

(16)

(17)

其中h=r-r0為海拔，ρ0為海平面大氣密度，Δρ為大氣不確定性，hs為特征常數(shù).假設(shè)重力加速度滿足

(18)

μ為重力加速度常數(shù).

由式(16)可有

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

其中

u=cosσ

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

3 基于滑?？刂频挠邢迺r(shí)間收斂制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

本小節(jié)將把第1節(jié)給出的有限時(shí)間控制律設(shè)計(jì)方法用于阻力加速度跟蹤制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中.

(31)

(32)

由定理1的結(jié)論知，由(30)和(31)組成的閉環(huán)系統(tǒng)具有有限時(shí)間收斂性，收斂時(shí)間為

(33)

注2.由于符號(hào)函數(shù)將造成抖振現(xiàn)象，這在控制系統(tǒng)中是不利的，因此我們利用飽和函數(shù)sat(x)代替制導(dǎo)律(31)符號(hào)函數(shù)sgn(x)從而消除抖振現(xiàn)象.取sat(x)函數(shù)為

(34)

(35)

4 仿真算例

為驗(yàn)證所提出方法的有效性，本節(jié)將針對(duì)火星進(jìn)入過程給出仿真算例.

本文使用文獻(xiàn)[14]中的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真.火星進(jìn)入飛行器最大橫截面積為16 m2，升阻比為0.18，彈道系數(shù)為115 kg/m2.初始及終點(diǎn)狀態(tài)見表1.通過再入點(diǎn)和開傘點(diǎn)處的經(jīng)緯度可計(jì)算得出理想的總航程為723.32 km.仿真中，制導(dǎo)指令設(shè)定滿足0°≤σ≤180°.

首先，選取制導(dǎo)參數(shù)為a=1.982、b=3、ε0=5，仿真結(jié)果如圖1～6所示.可見，在所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的作用下，飛行器的阻力加速度可較好的跟蹤參考剖面.在進(jìn)入大氣層初期，由于大氣較稀薄，使得g0(D,t)較小，因此需要較大的控制能量使飛行器跟蹤參考剖面，因此仿真初期控制量出現(xiàn)飽和.

表1 狀態(tài)參數(shù)Tab.1 State variables

圖1 阻力加速度曲線Fig.1 Drag acceleration

為驗(yàn)證所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律的魯棒性，考慮表3中所示偏差進(jìn)行了1 000次蒙特卡洛仿真，選取參數(shù)為a=1.982、b=3、l1=2l2=2、ε0=3、ε=0.432.仿真結(jié)果如圖7～8所示. 可見，航程誤差可控制在-1～20 km，高度誤差在-0.1～2.5 km.為對(duì)比，表3統(tǒng)計(jì)了本文制導(dǎo)律蒙特卡洛仿真結(jié)果和文獻(xiàn)[14]中的蒙特卡洛仿真結(jié)果(表3給出的是高度誤差及航程誤差絕對(duì)值的統(tǒng)計(jì)結(jié)果，而文獻(xiàn)[14]在統(tǒng)計(jì)時(shí)并未取絕對(duì)值，因此表3所列數(shù)據(jù)與文獻(xiàn)[14]中的數(shù)據(jù)有所不同.)，可見由于本文所設(shè)計(jì)制導(dǎo)律使閉環(huán)系統(tǒng)具有有限時(shí)間收斂特性，本文制導(dǎo)律在高度控制和航程控制方面均具有一定的優(yōu)勢(shì).

圖2 速度曲線Fig.2 Velocity

圖3 航程誤差曲線Fig.3 Downrange error

圖5 傾側(cè)角曲線Fig.5 Bank angle

圖6 航跡角曲線Fig.6 Flight path angle

圖7 高度誤差散布Fig.7 Altitude error distribution

圖8 航程誤差散布Fig.8 Downrange error distribution

參數(shù)散布情況3σ/[Δ-,Δ+]質(zhì)量偏差均勻[-5%,5%]大氣密度偏差均勻[-30%,30%]升力系數(shù)CL偏差均勻[-30%,30%]阻力系數(shù)CD偏差均勻[-30%,30%]

表3 蒙特卡洛仿真航程和高度偏差數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)Tab.3 Statistical results of Monte Carlo study

5 結(jié) 論

本文針對(duì)地球或火星的大氣層進(jìn)入過程提出了一種具有有限時(shí)間收斂性質(zhì)的阻力加速度跟蹤魯棒制導(dǎo)律.首先，受已有工作的啟發(fā)，針對(duì)一種具有不確定性和擾動(dòng)的非線性系統(tǒng)提出了一種具有有限時(shí)間收斂特性的滑?？刂坡稍O(shè)計(jì)方法.之后，將這種設(shè)計(jì)方法應(yīng)用于阻力加速度跟蹤制導(dǎo)律的設(shè)計(jì)中.理論分析和數(shù)學(xué)仿真表明，本文所設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律可有效地應(yīng)用于大氣層進(jìn)入過程的制導(dǎo)中.

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