鐘高偉，陳東生，王明光

0 引 言

無人機掛載攻擊型微小型空地導(dǎo)彈已成現(xiàn)代及未來戰(zhàn)場趨勢，為了進一步提高打擊能力及打擊精度，需將配備捷聯(lián)、框架式導(dǎo)引頭的微小型空地導(dǎo)彈滾轉(zhuǎn)角快速穩(wěn)定控制在零度，否則得到的導(dǎo)引頭輸出探測目標(biāo)信息不精確；另外，彈體滾轉(zhuǎn)穩(wěn)定能減少俯仰、偏航三通道的強耦合，繼而提高制導(dǎo)精度.

導(dǎo)彈滾轉(zhuǎn)控制可視為高不確定性、非線性、快時變，強干擾的控制難題，以往工程所采用的常規(guī)PID控制器或其改進型開始顯得力不從心，尤其是對于彈翼展弦小的氣動軸對稱微小型空地導(dǎo)彈，其結(jié)構(gòu)特性的原因使得基于二回路PI的滾轉(zhuǎn)控制參數(shù)取值小，從而導(dǎo)致系統(tǒng)魯棒及抗擾性差.

近些年來國內(nèi)外針對空地導(dǎo)彈滾轉(zhuǎn)控制研究的文獻主要分為3類，在實用性及理論性上各有優(yōu)缺點.1)為滑模變結(jié)構(gòu)結(jié)合智能算法思想，如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法結(jié)合變結(jié)構(gòu)控制等，不僅能抑制變結(jié)構(gòu)中的抖振現(xiàn)象并優(yōu)化控制器參數(shù)，而且還能穩(wěn)定且快速收斂到平衡點，但是由于其優(yōu)化迭代過程復(fù)雜且需離散計算等缺點限制其工程應(yīng)用；2)為魯棒控制，如模型參考自適應(yīng)、魯棒最優(yōu)控制等，能保證模型在高度不確定性下穩(wěn)定跟蹤指令，具有大范圍飛行包絡(luò)等優(yōu)點，但是其復(fù)雜的控制公式使得計算機軟件編程實現(xiàn)難度大，且系統(tǒng)可靠性不能得以保證；3)為現(xiàn)代控制論，如最優(yōu)控制思想、極點配置及狀態(tài)觀測器等，此類方法具有較好的動態(tài)特性，且設(shè)計過程簡單，但是其方法對模型約束嚴格，面對非線性時變控制對象時難以將其工程化.

因此，為了解決被控對象特性引發(fā)的控制難點以及滿足工程應(yīng)用性能指標(biāo)，本文采用現(xiàn)代控制論中狀態(tài)估計的思想，將控制對象未建模部分、內(nèi)外干擾都歸結(jié)為對象的未知擾動，利用降階ESO[1]技術(shù)對其實時估計并進行前饋補償，對對象進行線性化處理，在簡化的標(biāo)稱模型基礎(chǔ)上利用現(xiàn)代控制論狀態(tài)反饋思想，結(jié)合最優(yōu)控制[2]即LQR方法設(shè)計控制器，形成的復(fù)合控制來完成滾轉(zhuǎn)通道穩(wěn)定及指令跟蹤.另外，傳統(tǒng)的LQR[3]方法依靠人為經(jīng)驗及仿真試湊選擇權(quán)陣會存在很大的隨機性及次優(yōu)解，而且模型狀態(tài)空間中B陣參數(shù)存在的不確定性攝動，導(dǎo)致Raccati方程[3]求解的反饋K陣在某些飛行包絡(luò)狀態(tài)下使得系統(tǒng)響應(yīng)發(fā)散，因此為了使得系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定，且動態(tài)特性較好，采用了具有指定閉環(huán)區(qū)間的LQR最優(yōu)穩(wěn)定度設(shè)計方法，并為了實現(xiàn)無靜差跟蹤控制，在LQR中引入了積分環(huán)節(jié).

1 滾轉(zhuǎn)通道建模

滾轉(zhuǎn)通道彈體姿態(tài)動力學(xué)方程[4]簡化表示為

(1)

式中：Jx、Jy和Jz分別為滾轉(zhuǎn)、偏航和俯仰的轉(zhuǎn)動慣量；ωx、ωy和ωz分別為彈體角速度在彈體坐標(biāo)系中的分量；(Jy-Jz)(ωy-ωz)為慣性交感耦合；q為動壓；Sref為彈體參考面積；Lref為參考長度；mx為滾轉(zhuǎn)力矩系數(shù).

令滾轉(zhuǎn)力矩為Mx=mxqSrefLref，由導(dǎo)彈的氣動及結(jié)構(gòu)特征可將其具體表示為

(2)

偏航運動對滾轉(zhuǎn)運動帶來的影響可以將其視為內(nèi)部已知干擾項.綜上所述，可將滾轉(zhuǎn)力矩表示成

(3)

其中導(dǎo)彈結(jié)構(gòu)偏差及內(nèi)部擾動都存在于式(3)中的f中,Ma為馬赫數(shù)，H為飛行高度，βx為側(cè)滑角.

由小擾動假設(shè)及姿態(tài)運動學(xué)[3]，滾轉(zhuǎn)角擾動微分方程可簡化表示為

(4)

由于在姿態(tài)控制設(shè)計過程中偏航、滾轉(zhuǎn)運動分開獨立設(shè)計，故對于氣動軸對稱導(dǎo)彈初步設(shè)計時，可將俯仰角?視為足夠小，并去掉小量乘積tan?ωy，這樣處理也能保持好的精確性.因此，結(jié)合(1)、(3)和(4)得到滾轉(zhuǎn)通道二階模型：

(5)

式中，b17為滾轉(zhuǎn)舵效，b11為滾轉(zhuǎn)阻尼.

2 常規(guī)PID控制出現(xiàn)的“問題”

(6)

對于氣動軸對稱的導(dǎo)彈滾轉(zhuǎn)通道控制來說，目前工程上采用的是二回路姿態(tài)控制.內(nèi)回路是角速率反饋的阻尼回路，其反饋系數(shù)為kω；外回路采用基于角位置反饋的控制回路，為了使控制回路具有較充裕的裕度及較好的控制品質(zhì)，控制器采用“比例控制為主，積分控制為輔”的控制策略，即PI控制.

(7)

基于某一特征點令外回路截止頻率ωc為4 rad/s，由設(shè)計原則式(7)計算阻尼回路反饋系數(shù)kω，得到微小型導(dǎo)彈和大型導(dǎo)彈阻尼回路

繼而設(shè)計前向串聯(lián)PI控制器參數(shù)以此滿足階躍響應(yīng)的穩(wěn)定性和快速性要求，得到PI控制參數(shù)，如表1 所示.

表1 PI控制參數(shù)Tab.1 PI control parameters

根據(jù)反饋控制理論，在滿足同樣的頻率及時域指標(biāo)時，內(nèi)回路反饋阻尼系數(shù)kω越大越能抑制被控對象的不確定性和外部擾動對控制品質(zhì)的影響.因此，應(yīng)用二回路姿態(tài)控制方法，常規(guī)型彈和微小型彈在控制品質(zhì)上表現(xiàn)不同，面對同樣的投彈條件、陣風(fēng)干擾及氣動數(shù)據(jù)拉偏，常規(guī)型導(dǎo)彈能保持較好的動態(tài)特性及抗擾能力，而微小型導(dǎo)彈抗擾能力及抑制不確定能力較差，大幅度脫離了控制指令.

由圖1可知，在地面仿真下內(nèi)部強干擾及外界干擾使得滾轉(zhuǎn)角偏離指令響應(yīng)，動態(tài)響應(yīng)效果差，從而影響制導(dǎo)精度.在實際飛行過程中，由實驗得到的氣動數(shù)據(jù)與真實氣動數(shù)據(jù)有差別，彈體受到環(huán)境制約的因素更大，再加上量測機構(gòu)及執(zhí)行機構(gòu)帶來的延時和噪聲會對滾轉(zhuǎn)通道控制帶來更加嚴峻的影響，因而應(yīng)用常規(guī)PID得到的控制品質(zhì)很難滿足工程需求，其魯棒性差且抗干擾作用有限.針對該問題，自抗擾中的擴張狀態(tài)觀測器即ESO提供了很好的解決思路，利用降階ESO估計出被控對象的內(nèi)部擾動及外界擾動即“復(fù)合擾動”，然后進行前饋補償，簡化了被控對象模型，利于后續(xù)控制器設(shè)計.

圖1 6DOF仿真微小型導(dǎo)彈指令響應(yīng)Fig.1 6 DOF simulation of command response

3 降階ESO設(shè)計與分析

由文獻[1-2]可知，在某些狀態(tài)量可測的情況下，線性降階ESO更為實用，與非線性ESO相比，結(jié)構(gòu)簡單，其中的參數(shù)與實際工程中的帶寬概念相匹配，有利于參數(shù)的調(diào)試與閉環(huán)控制系統(tǒng)帶寬的匹配.

3.1 降階ESO設(shè)計

考慮到微小型導(dǎo)彈滾轉(zhuǎn)通道滾轉(zhuǎn)角信息由陀螺輸出，其值可測，因而將式(5)改寫為

(8)

式中fωx=fMx+b11ωx+Δb17δx，表示作用為系統(tǒng)的復(fù)合干擾，包括內(nèi)外干擾、彈體自身小阻尼項b11ωx及參數(shù)不確定范圍Δb17δx乘積項.經(jīng)此處理，可將式(8)中的b17可視為標(biāo)稱值.

由文獻[1]可知，滾轉(zhuǎn)通道的降階ESO設(shè)計公式為

(9)

將式(8)～(9)進行拉式變換，化簡可得

(10)

由此可見，降階ESO可視為一階慣性環(huán)節(jié)，其時間常數(shù)β-1可視為觀測器帶寬相關(guān)值，且能得出β與降階ESO實際觀測帶寬具有相關(guān)性.

3.2 簡化后的標(biāo)稱模型與實際模型對比

(11)

其中Δδxc為控制器輸出的理論舵偏量.復(fù)合干擾進行前饋補償后，且忽略執(zhí)行機構(gòu)的影響，被控對象轉(zhuǎn)化為一個積分器，如圖2所示，圖中虛線部分即轉(zhuǎn)化為一個積分器.

對式(9)進行拉氏變換，得到關(guān)于估計干擾的傳遞函數(shù)

(12)

圖2 降階ESO補償干擾控制回路Fig.2 Reduced-order ESO compensation control loop

(13)

由式(13)可知，兩者之間在整個頻率段，幅值及相位存在一定的差別，且ESO參數(shù)β的取值也會給模型帶來差異.代入相關(guān)的數(shù)據(jù)，降階ESO參數(shù)β分別為10、20、30時其開環(huán)傳遞函數(shù)的幅相特性曲線與簡化后線性模型作對比，如圖3所示.

圖3 開環(huán)模型幅相頻域特性對比Fig.3 Open loop model amplitude and phase frequency

通過圖3可知，簡化模型與實際模型在中低頻段幅值特性近似相同，但是相位特性存在較大差別，可以看出在觀測器及執(zhí)行機構(gòu)的作用下在中低頻段給系統(tǒng)帶來了相位滯后，降低了相位裕度，使得系統(tǒng)穩(wěn)定性降低.因此，需進一步考慮ESO及執(zhí)行機構(gòu)的存在給系統(tǒng)帶來的延時，以及系統(tǒng)的實際穩(wěn)定裕度要小于簡化模型等問題.

4 控制器設(shè)計及穩(wěn)定性分析

為了便于分析及設(shè)計，結(jié)合式(8)將式(5)改寫為如下形式：

(14)

(15)

式(15)可視為標(biāo)稱的線性時不變系統(tǒng)，即簡化后的線性二階積分模型，其特性已做出具體分析.采用簡化模型后，才能滿足最優(yōu)控制線性二次型LQR方法設(shè)計控制器的苛刻條件，其次為閉環(huán)系統(tǒng)的可控可觀性、穩(wěn)定性及魯棒性提供更好的分析手段.

4.1 改進型LQR控制算法

針對標(biāo)稱系統(tǒng)(15)而言，采用線性二次型LQR進行控制，設(shè)計出控制舵偏量uc1，使得目標(biāo)函數(shù)J取得最小值.其中矩陣Q和R用來平衡狀態(tài)量和輸入量的權(quán)重，對閉環(huán)系統(tǒng)的動態(tài)性能影響很大.一般Q、R陣取對角陣，目前普遍采用仿真試湊法來選擇Q、R陣，這樣解算出的K陣實際有人為因素的影響，容易陷入局部次優(yōu)解.另外，基于單點調(diào)試下的控制參數(shù)在面對大范圍投彈飛行包絡(luò)容易失效，甚至響應(yīng)發(fā)散.

因此，為了保證閉環(huán)穩(wěn)定性，并且提高其動態(tài)性能，所以本文選擇一種加權(quán)矩陣的最優(yōu)穩(wěn)定度設(shè)計，在這種策略中，希望所有的閉環(huán)極點均位于s負半平面的s=-α線的左側(cè)，其中α>0，這樣就定義了一個新的指標(biāo)函數(shù)

(16)

其中Q為n×n半正定對稱常數(shù)矩陣，R為r×r型正定時對稱矩陣.引入一個新的狀態(tài)變量φ(t)，使得φ(t)=eαtx(t)，且新的控制量ν(t)=eαtu(t)，代入式(15)，則原系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

(17)

此時指標(biāo)函數(shù)式(16)變?yōu)?/p>

(18)

為了進一步提高系統(tǒng)動態(tài)性能，實現(xiàn)無靜差跟蹤控制，在上述LQR中再引入積分環(huán)節(jié)，其結(jié)構(gòu)如圖4所示.

圖4 帶積分項的LQR控制結(jié)構(gòu)圖(標(biāo)稱系統(tǒng))Fig.4 LQR control loop with integralitem(nominal system)

此時，將式(17)模型進一步擴展為

(19)

指標(biāo)函數(shù)式(18)繼續(xù)變?yōu)?/p>

(20)

(21)

(22)

故得到標(biāo)稱狀態(tài)下簡化模型的控制舵偏量及基于降階ESO的復(fù)合干擾補償量后，閉環(huán)系統(tǒng)復(fù)合控制輸入量為

(23)

4.2 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

容易判斷式(14)中(Ap,Bp，Cp)可控可觀測，根據(jù)文獻[5]，若被控系統(tǒng)可控可觀測，由分離特性原理可知，閉環(huán)系統(tǒng)中狀態(tài)反饋與降階ESO觀測器可以相互獨立分開進行設(shè)計.

引理1.?β>0，且(Ap,Cp)可觀，使得閉環(huán)系統(tǒng)(14)引入降階ESO作為觀測器后系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定.

證明.

(24)

(25)

由線性系統(tǒng)原理即文獻[6]，引入如下定理.

定理1.針對于系統(tǒng)在李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定的充分必要條件是 陣的實部為零的特征值對應(yīng)的若當(dāng)塊為一階塊，其余特征值均具有負實部.

定理2.系統(tǒng)BIBS穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)全體可控模式收斂，系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)全體可控可觀模式收斂.

通常，時不變系統(tǒng)判斷各種意義下的穩(wěn)定性，一般要求出A的特征值，對其可控、可觀性進行研究，再根據(jù)定理作判斷.因為系統(tǒng)的可控性、可觀性與傳函陣零、極點的對消或約去模態(tài)有聯(lián)系，因此可以不去判別各特征值的可控可觀性，直接計算C(sI-A)-1，(sI-A)-1B,C(sI-A)-1B.由計算結(jié)果去判別.首先，考慮新系統(tǒng)式(24)是否可控，即(Apk,Bpc)是否為滿秩。由可控性矩陣

可知，可控性矩陣其秩rank(Uk)=3，即當(dāng)b17≠0時，新系統(tǒng)式(24)可控.

且由

(26)

5 計算與仿真

首先由單個特征點進行整個控制回路初步設(shè)計，得到相應(yīng)的控制參數(shù)，進行合理的優(yōu)化及調(diào)試，能滿足階躍響應(yīng)穩(wěn)定性及快速性要求，且能夠留出足夠的穩(wěn)定裕度及延遲裕度.接著，在給定初始投彈條件下，進行全彈道下仿真，以此來測試設(shè)計完成的控制回路是否滿足戰(zhàn)術(shù)指標(biāo)及控制性能要求.

5.1 基于單特征點的控制回路設(shè)計

表2 氣動、結(jié)構(gòu)參數(shù)Tab.2 Aerodynamic、structured parameters

為了使閉環(huán)極點都在負半平面s=-4的左側(cè)，因此取α=4.將數(shù)據(jù)代入式(19)，固定R=2 000，不斷調(diào)整Q陣，得到一系列控制反饋參數(shù)，經(jīng)過仿真，最后選取一組由較大穩(wěn)定裕度及較好控制品質(zhì)的參數(shù).

有仿真結(jié)果可知，Q陣中對角線q1、q2數(shù)值的增加意味著對指令誤差項約束增強，求解所對應(yīng)的K陣中k1、k2數(shù)值也會變大，此時控制帶寬增加，穩(wěn)定裕度有所下降，而q3數(shù)值增加意味著對角速度約束增強，放寬角度約束，所解k3數(shù)值增加，此時控制帶寬下降，穩(wěn)定裕度有所增加.

綜合考慮，遵循Q陣選取影響系統(tǒng)時域及頻域指標(biāo)的定性分析，經(jīng)過多次調(diào)試，確定最終合適的加權(quán)陣后，經(jīng)過式(18)黎卡提方程迭代計算后，得到控制反饋參數(shù)

圖5 不同Q陣下的單位階躍響應(yīng)Fig.5 Step response with different Q matrix

由此進一步計算出狀態(tài)反饋后被控對象的主導(dǎo)極點為p1,2=-9.689 9±i2.705 0.從時域角度來說，響應(yīng)快速性和穩(wěn)定性都得以保證；從頻率角度來說，相位裕度71.8°，幅值裕度18.6 dB，穩(wěn)定裕度滿足設(shè)計要求.繼而計算出閉環(huán)回路帶寬為1.150 4 Hz.

對于降階ESO參數(shù)β的取值應(yīng)遵循觀測器響應(yīng)速度比狀態(tài)反饋系統(tǒng)的響應(yīng)速度快的原則，且線性ESO中β與觀測帶寬有直接聯(lián)系.降階ESO觀測器估計帶寬配置在8.301 6較為合適，便可由計算及仿真求得ESO參數(shù)β為10.5.

式(8)中內(nèi)部總和干擾為ds=300sint，并在5～10 s內(nèi)加入一個近似1°的外部滾轉(zhuǎn)干擾力矩.另外，仿真時給系統(tǒng)加入30ms的延遲，以此測試控制回路抗延時特性，并與常規(guī)PID控制方法作對比.仿真結(jié)果如圖6～8所示.

由圖6和8可知，應(yīng)用二回路PI控制法魯棒性及抗干擾能力弱，擾動出現(xiàn)后，控制舵偏量小，易脫離響應(yīng)指令，而基于降階ESO的LQR控制在出現(xiàn)擾動后能迅速跟蹤上響應(yīng)指令，且能抑制內(nèi)部出現(xiàn)的不確定性.圖7中降階ESO能快速估計出復(fù)合干擾量，收斂快，且誤差小.

圖7 降階ESO估計干擾及估計誤差Fig.7 Estimated interference and error of reduced-order ESO

圖8 控制舵偏量Fig.8 Control rudder deviation

5.2 6DOF全彈道仿真驗證

掛載在某無人機上進行投彈，其投彈條件為：投放速度90 m/s，投放高度5 000 m，微小彈距離目標(biāo)6 000 m時投放.約束條件：存在順風(fēng)40 m/s，其所用氣動參數(shù)均由風(fēng)洞試驗得到，仿真時對各氣動及結(jié)構(gòu)參數(shù)進行拉偏，得到的控制模型為偏差模型，且在不同風(fēng)行高度加入側(cè)向常值風(fēng)干擾.

圖9 降階ESO估計干擾量Fig.9 Reduced-order ESO estimated interference

圖10 滾轉(zhuǎn)角響應(yīng)Fig.10 Roll angle response

圖11 控制舵偏量Fig.11 Control rudder deviation

具體數(shù)值為：初始姿態(tài)角?0=5°,γ0=6°,ψ0=4°；舵效力矩系數(shù)拉偏30%；靜穩(wěn)定性拉偏-10%；動導(dǎo)數(shù)拉偏30%；常值拉偏-0.005；力系數(shù)拉偏10%；質(zhì)心拉偏-15 mm、5 mm、5 mm；轉(zhuǎn)動慣量分別拉偏-20%、-10%、-10%，并考慮量測器件和執(zhí)行機構(gòu)的延遲50 ms.

由上述仿真結(jié)果可以看出，在全彈道6DOF下基于降階ESO的改進型LQR相較于二回路PI有很好的控制效果，其抑制不確定性及抗擾能力較之前都有提升，具有實際的工程價值.

6 結(jié) 論

本文針對小展弦比彈翼的軸對稱微小型空地導(dǎo)彈滾轉(zhuǎn)姿態(tài)控制問題，其結(jié)構(gòu)特性如轉(zhuǎn)動慣量較小等因素帶來的常規(guī)PID控制應(yīng)用的局限性，如魯棒性差、抗干擾能力弱等缺點，設(shè)計了一種基于降階ESO的滾轉(zhuǎn)通道改進線性二次型復(fù)合控制方法.仿真結(jié)果表明，降階ESO能很好的估計出系統(tǒng)的復(fù)合干擾并將其實時補償?shù)?，針對簡化的?biāo)稱系統(tǒng)來設(shè)計改進線性二次型的最優(yōu)控制器，使得系統(tǒng)既能穩(wěn)定且快速的跟蹤指令響應(yīng)，也能具有強魯棒性及抗干擾能力，克服了常規(guī)PID控制的缺陷，且能應(yīng)對不同飛行包絡(luò)及多變環(huán)境下的不利影響.

[1] 薛文超. 自抗擾控制的理論研究[D]. 北京：中國科學(xué)院研究生院，2012.

[2] 王青，陳宇，張穎昕，等. 最優(yōu)控制理論、方法與應(yīng)用[M]. 北京：高等教育出版社，2010.

[3] 韓京清. 自抗擾控制技術(shù)[M]. 北京：國防工業(yè)出版社，2013.

[4] 錢杏芳，林瑞熊，趙亞男. 導(dǎo)彈飛行力學(xué)[M]. 北京：北京理工大學(xué)出版社，2012.

[5] 胡壽松. 自動控制原理[M]. 北京：科學(xué)出版社，2005.

[6] D’AZZOJ J，HOUPIS C H. Linear control system analysis and design[M]. Beijing：Tsinghua University Press,1975.

[7] 武俊峰，張繼段. 兩輪自平衡機器人的LQR改進控制[J]. 哈爾濱理工大學(xué)學(xué)報，2012(12)：1-5.

WU J F，ZHANG J D. Improved control based on two-wheeled self-balancing robot LQR control[J]. Harbin University of Science and Technology，2012(12)：1-5.

[8] 崔平遠，鄭建華，楊滌. 具有頻域指標(biāo)約束的BTT導(dǎo)彈自動駕駛儀二次型設(shè)計[J]. 宇航學(xué)報， 1995(2)：6-12.

CUI P Y，ZHENG J H，YANG D. The design of linear quadratic of BTT missile autopilot with frequency domain index constraint[J]. Journal of Astronautics， 1995(2)：6-12.

[9] 喻鐵軍，戴冠中. 指定閉環(huán)特征值的最優(yōu)控制系統(tǒng)參數(shù)化設(shè)計[J]. 控制與決策, 1989(4)：18-22.

YU T J，DAI G Z. Parametric design of optimal control system for specified closed-loop eigenvalues[J]. Control and Decision, 1989(4)：18-22.

[10] 喻鐵軍，戴冠中. 指定閉環(huán)極點區(qū)域的魯棒控制器設(shè)計[J]. 控制與決策, 1991(3):173-177.

YU T J，DAI G Z. The robust controller design of the specified closed-loop poles region[J]. Control and Decision , 1991(3)：173-177.

[11] 袁延奇，胡峻嶺，張三寶，等. 具有指定閉環(huán)極點的最優(yōu)控制系統(tǒng)魯棒穩(wěn)定攝動界[J]. 航空學(xué)報,2000(5)：414-416.

YUAN Y Q，HU J L，ZHANG S B，et al. Robust stable perturbation bounds of optimal control systems with design closed-loop poles[J]. Journal of Aeronautics, 2000(5)：414-416.

[12] KUMAREANN，BALASUBRAMANIAM P. Optimal control for stochastic linear quadratic singular system using neural networks[J]. Journal of Process Control, 2009,19(7)：482-488.

[13] TROTTEMANTE J，SCHERER C W，WEISS M，et al. Robust missile feedback control strategies[J]. Journal of Guidance，and Dynamics, 2010,33(6)：1837-1846.