◎陳 繼

(曲靖工商職業(yè)技術(shù)學(xué)校，云南 曲靖 655000)

數(shù)列屬于高中數(shù)學(xué)非常重要的組成部分，其在培養(yǎng)學(xué)生思維能力和邏輯推理能力，有著不可替代的作用.同時(shí)，在歷年的數(shù)學(xué)高考中，數(shù)列求和是?？嫉念}型.數(shù)列求和試題不僅僅是考查數(shù)列綜合知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也考查學(xué)生的知識(shí)融會(huì)貫通能力和綜合分析能力，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)要求非常高.因此，在實(shí)踐教學(xué)過程中，教師必須對(duì)數(shù)列求和問題引起重視，引導(dǎo)學(xué)生掌握各種求和方法，能做到熟練靈活地運(yùn)用.

一、拆項(xiàng)法

在面對(duì)有些數(shù)列求和的問題時(shí)，如果題目中的數(shù)列可以進(jìn)行拆分，如拆成等差數(shù)列或者是等比數(shù)列的和，則可以采取拆項(xiàng)法進(jìn)行求解，只需利用等比或等差數(shù)列的求和公式，將原數(shù)列中的n次方項(xiàng)當(dāng)成一個(gè)整體.

二、裂項(xiàng)相消法

把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，即把數(shù)列的每一項(xiàng)都按同一種方法拆成兩項(xiàng)的差，使得求和時(shí)，一些正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)組能互相“抵消”為零.這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用，裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)，就是將數(shù)列中的每項(xiàng)(通項(xiàng))分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的.

三、分組轉(zhuǎn)化法

把數(shù)列的每一項(xiàng)分解成兩(多)項(xiàng)，或者把數(shù)列的項(xiàng)重新組合，使其轉(zhuǎn)化成兩(多)個(gè)等比數(shù)列或者等差數(shù)列的和，即對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行分解或組合，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化成若干個(gè)容易求和的數(shù)列.

四、錯(cuò)位相減法

錯(cuò)位相減法，主要是用于有一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積所構(gòu)成的數(shù)列求和問題中.錯(cuò)位相減法的解題方法非常重要，在最近幾年的高考試題中，均出現(xiàn)了此方面內(nèi)容.因此，學(xué)生必須對(duì)此種解題方法做到心中有數(shù)，熟練運(yùn)用.在進(jìn)行等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式推導(dǎo)中，也常會(huì)運(yùn)用此種方法.

比如，在如下例題中：Sn=1+3x+5x2+7x3+…+(2n-1)xn-1.

①

解答由題可知，{(2n-1)xn-1}的通項(xiàng)是等差數(shù)列{2n-1}的通項(xiàng)與等比數(shù)列{xn-1}的通項(xiàng)之積，設(shè)xSn=x+3x2+5x3+7x4+…+(2n-1)xn.

②

通過將①-②相減可以得出(1-x)Sn=1+2x+2x2+2x3+2x4+…+2xn-1-(2n-1)xn.

再利用等比數(shù)列的求和公式，可以得出：

由此可以得出，

五、合并法求和

針對(duì)一些特殊的數(shù)列，將某些項(xiàng)合并在一起就具有某種特殊的性質(zhì)，因此，在求數(shù)列的和時(shí)，可將這些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求Sn.

比如，如下例題，在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a5a6=9，求log3a1+log3a2+…+log3a10的值.

解設(shè)Sn=log3a1+log3a2+…+log3a10.

Sn=(log3a1+log3a10)+(log3a2+log3a9)+…+(log3a5+log3a6)

=(log3a1·a10)+(log3a2·a9)+…+(log3a5·a6)

=log39+log39+…+log39=10.

六、奇偶數(shù)討論方法

有的數(shù)列求和，不僅需要考慮分段，同時(shí)還應(yīng)當(dāng)注意到奇數(shù)和偶數(shù)時(shí)的情況；然后再將所有的情況綜合起來的最終結(jié)果.遇到此種類型的題目，務(wù)必加以細(xì)心考慮.如果題目與奇數(shù)有關(guān)，通常情況下冪為n-1或者是n+1，這是當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，冪就是奇數(shù)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，冪就是偶數(shù).

七、猜想法

一些數(shù)列求和問題，需要學(xué)生結(jié)合所掌握的知識(shí)和數(shù)學(xué)思想，大膽猜想和假設(shè).尤其是遇到難度較大的數(shù)列求和問題時(shí)，更需要認(rèn)真審題，仔細(xì)推敲，思考其內(nèi)在的規(guī)律.首先，需要將S1，S2，S3，S4，S5等明確地計(jì)算出來，發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律；然后再利用歸納法進(jìn)行證明.對(duì)于數(shù)列前n項(xiàng)和的計(jì)算方法有很多，比如，遞推法、常數(shù)列法以及綜合法，等等.

八、總 結(jié)

總而言之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)列求和屬于數(shù)列教學(xué)重要的組成部分，數(shù)列求和對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)綜合能力要求較高，尤其是邏輯推理能力、歸納猜想能力以及運(yùn)算轉(zhuǎn)化能力，等等.在具體的數(shù)列求和解題過程中，教師應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)各種方法做到靈活運(yùn)用，從而不斷提高解題正確率.

[1]呂茂林.數(shù)列求和方法探討[J].讀與寫：教育教學(xué)刊，2013(6)：112.

[2]吳琪.淺談數(shù)列求和的類型及解題方法分析[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014(11)：100-101.

[3]黃雪.數(shù)列求和的常用方法與技巧[J].西部素質(zhì)教育，2016(4)：183.

[4]黎東輝.高考試題中幾種常見的數(shù)列求和方法[J].赤子(上中旬)，2015(17)：279-280.