◎程 瑩
(浙江省麗水市慶元縣慶元中學(xué),浙江 麗水 323800)
解三角形是高中數(shù)學(xué)中很基礎(chǔ)卻又很重要的知識,主要考查正弦定理和余弦定理的正確使用,屬于歷年考試必考的題目,但從考試結(jié)果來看,這部分得分不理想.根據(jù)“錯誤”是一種可再生教學(xué)資源的教學(xué)理念,首先,教師正視學(xué)生的錯誤,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤,發(fā)現(xiàn)錯誤之時,就是開始降低出錯率的最佳時機;其次,要引導(dǎo)學(xué)生主動去糾正錯誤,找出錯誤的根源;再次,培養(yǎng)學(xué)生及時反思,對錯誤分類整理,落實糾錯并進行針對練習(xí)的好習(xí)慣.筆者在解三角形知識點的復(fù)習(xí)教學(xué)中,搜集整理了學(xué)生在下述三方面的典型錯誤,引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)錯誤——糾正錯誤——評析錯誤——發(fā)展思維的過程,學(xué)生方面反饋效果很好.
例1(2016·浙江卷理)在△ABC中,角A,B,C對的邊記為a,b,c,已知b+c=2acosB.
(1)證明:A=2B;
錯解(1)由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,
故sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,
移項運算,得sinB=sin(A-B),
所以B=A-B,得證A=2B.
師:上述解法中錯誤不止一處,試一試,你能找出幾處?
生:在(1)中,由sinB=sin(A-B),角A,B∈(0,π),故0 評析本題很值得作為典例,是學(xué)生經(jīng)常出錯的類型.根源在于由三角函數(shù)值相等不能準確判斷兩角之間的關(guān)系.解三角形需要三角函數(shù)作為基礎(chǔ)知識,需要多練習(xí). 例2在銳角△ABC中,角A、B、C的對邊分別為a,b,c,b·cosC=(2a-c)·cosB. (Ⅱ)已知邊b=1,求a+c的范圍. 評析解法1中,首先未考慮到基本不等式的缺點,即只能計算最大值或者最小值,那么該解法如何修正能得到正確范圍呢? 評析解法2中,使用函數(shù)思想解題是該解法的優(yōu)點,但是角A的范圍錯誤,如何修正該解法,從而得到正確結(jié)果呢?(學(xué)生分組討論、交流) 生:銳角三角形應(yīng)該保證每一個角為銳角. 小結(jié)上述兩種解法,經(jīng)過糾錯環(huán)節(jié),都成為正確的解法,但是方法2的函數(shù)思想更優(yōu)越,符合求范圍題型的內(nèi)在要求.若本題僅要求解最大值,或者三角形未限定為銳角三角形,則可以采用基本不等式.此外,本道題中銳角三角形是關(guān)鍵信息,審題時要重點標記. 例3在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c. 評析本道題有2個小問,雖然結(jié)果都是正確的,但是思維有很大漏洞. 對于(1)在三角形中,sinA≠0是肯定的,所以可以認為正確. 但在(2)中,cosA=0是可以出現(xiàn)的,故需要分類討論. 評析本題是反定式思維的一個典例,主要考查sinA和cosA在化簡中的不同作用.從做過很多題目來看,95%情況是約掉一個角的正弦值,于是,學(xué)生形成定式思維,對cosA≠0也當作默認的,直接約掉導(dǎo)致出現(xiàn)隱形錯誤,這種失分很值得關(guān)注. 收集典型錯誤,建立錯題集是解決學(xué)生反復(fù)犯同一種錯誤的最好方法.但對教師來說,也應(yīng)該是一種好方法,有助于課堂的針對性,提高課堂效率,集中學(xué)生注意力,讓學(xué)生經(jīng)歷從錯誤中走出來的親身體驗,對于后續(xù)降低解三角形這類題目的出錯率有利無弊.二、數(shù)學(xué)思想欠缺
三、定式思維,運算不細心
四、反 思