◎呂小燕

(江蘇省南京市臨江高級中學(xué)，江蘇 南京 211100)

“函數(shù)的表示方法”第一課時，高中數(shù)學(xué)教材蘇教版必修一共介紹了三種表示方法(列表法、圖像法、解析式法)和兩道例題.學(xué)生在初中已經(jīng)接觸過函數(shù)的三種表示方法，那么進入高中，“函數(shù)的表示方法”究竟還有什么可教的呢？怎樣教呢？學(xué)生理解這三種表示方法，會做這兩道例題，并不是難事.但是，如果站在深度學(xué)習(xí)、本質(zhì)理解的角度思考，“簡單的內(nèi)容”教學(xué)并不簡單：函數(shù)還有其他的表示方法嗎?這三種表示方法各有什么優(yōu)缺點?它們之間能相互表示嗎?怎么求函數(shù)的解析式呢？本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)能滲透哪些數(shù)學(xué)思想方法?能培養(yǎng)學(xué)生的哪些數(shù)學(xué)技能？

筆者認(rèn)為，“函數(shù)的表示方法”教學(xué)，應(yīng)著眼于學(xué)生在初中階段與高中階段認(rèn)知上的“落差”，精心設(shè)計典型素材，充分暴露學(xué)生的思維錯誤或障礙，自然激發(fā)學(xué)生的思維沖突，立足于讓學(xué)生親歷嘗試、對比、說理、辨析、領(lǐng)悟的過程，以完善自己對函數(shù)概念的認(rèn)知、提高自己的數(shù)學(xué)能力.現(xiàn)將筆者上課的主要環(huán)節(jié)概述如下：

細節(jié)1 幫助學(xué)生理解函數(shù)表示中定義域的“不可或缺”，從整體上把握函數(shù)的三要素.

例1某種飲料單價是2元/聽，購買x(x∈{1，2，3，4，})聽這種飲料需要y元，你能用初中學(xué)過的方法表示函數(shù)y=f(x)嗎？

從實際情況來看，對于解析法，很多學(xué)生此時并沒有意識到要在表達式y(tǒng)=2x的后面注明定義域；對于圖像法，也有不少學(xué)生很自然地將描出的點連成了直線.對此，筆者并沒有匆忙給出結(jié)論，而是針對不同做法之間的區(qū)別，引導(dǎo)學(xué)生進行他評、自評并說明理由，使學(xué)生領(lǐng)悟到：定義域與對應(yīng)關(guān)系是一個整體，構(gòu)成了函數(shù)的“左膀右臂”，切不可“厚此薄彼”.

接著給出下面兩個變式：

變式1 設(shè)某種食品的單價是2元/千克，買x(x∈(1，4])千克這種食品需要y元，若用上述三種方法表示函數(shù)y=f(x)，結(jié)果有什么不同嗎？為什么？

變式2 設(shè)某種食品的單價是2元/千克，買x千克這種食品需要y元，若用上述三種方法表示函數(shù)y=f(x)，結(jié)果有什么不同嗎？為什么？

這里，仍是由學(xué)生獨立作答，教師組織評價，以進一步強化學(xué)生的“定義域意識”.同時回顧了函數(shù)的三要素，進一步揭示了同一函數(shù)的概念.

細節(jié)2 感受函數(shù)表示中對應(yīng)關(guān)系的“不拘一格”，正確認(rèn)識分段函數(shù).

圖1

例2根據(jù)函數(shù)圖像寫出函數(shù)的解析式.

分段函數(shù)是本節(jié)課的難點，對基礎(chǔ)較差的學(xué)生來說尤為如此.在巡視交流時，教師發(fā)現(xiàn)，絕大多數(shù)學(xué)生對題意理解不成問題，但還是出現(xiàn)了不少錯誤.

基于此，提出了以下問題串：

問題(1)：該圖像對應(yīng)幾個函數(shù)？函數(shù)的定義域是什么？

問題(2)：x取0時相應(yīng)的y值是多少？有幾個？

問題(3)：x在哪個范圍內(nèi)取值時，y=2？

最后總結(jié)得出：“分段函數(shù)，分而治之；合中有分，分中有合”.

細節(jié)3 理解函數(shù)概念，體會抽象函數(shù)解析式的求法.

本環(huán)節(jié)設(shè)置了兩道練習(xí)：

(1)已知f(x)=2x+1，求f(3x+1)；

(2)已知f(3x+1)=6x，求f(x).

從課堂觀察來看，第一問學(xué)生回答得較為順利并總結(jié)出方法代入.但是當(dāng)把第二問呈現(xiàn)出來時，則遇到了一些“障礙”，學(xué)生感到很困惑，教室里甚至出現(xiàn)了一些爭執(zhí)的聲音.從這里也可以看出學(xué)生的第一問也只是會而不懂.

圖2

教師繪制了圖2，引導(dǎo)學(xué)生分別指出第一問的輸入值，對應(yīng)法則，輸出值.學(xué)生理解了第一問的題意，即已知輸入值和對應(yīng)法則，求輸出值.從而學(xué)生類比得出第二問是已知輸入值3x+1，輸出值6x，反過來求對應(yīng)法則.

基于本節(jié)課的教學(xué)，不禁反思如何抓住課堂細節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生深化理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)，提升思維品質(zhì).

一、捕捉課堂教學(xué)契機，巧妙引導(dǎo)

其實民主的課堂經(jīng)常會出現(xiàn)學(xué)生提出問題的現(xiàn)象，那是由于他們在學(xué)習(xí)中產(chǎn)生了新舊經(jīng)驗間的矛盾沖突，這反映出學(xué)生正在積極思考.尤其是學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、合作討論、互動對話后提出的問題更反映出其由表及里、由淺入深的學(xué)習(xí)狀態(tài).這時產(chǎn)生的問題往往更具動態(tài)性、深刻性和創(chuàng)新性，是非常珍貴的課堂動態(tài)資源.面對這樣意外的細節(jié)我們要敏銳地發(fā)現(xiàn)其中蘊含的教學(xué)價值，接住學(xué)生拋來的球，隨機調(diào)整思路并積極引導(dǎo)學(xué)生展開探究，再把球拋給學(xué)生，創(chuàng)設(shè)激發(fā)學(xué)生求知欲的境界，挖掘出絕妙的教學(xué)契機，從而生成新的教學(xué)過程.

二、捕捉學(xué)生意外錯誤，提煉頓悟

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中發(fā)生的種種錯誤教師是難以一一預(yù)測的.教師不能為執(zhí)行教案而按部就班，必須對學(xué)生這些認(rèn)知錯誤現(xiàn)場做出價值判斷并決定如何進行糾錯，生成有效的教學(xué)資源.新課程背景下的學(xué)生無疑是學(xué)習(xí)和發(fā)展的主體，激發(fā)他們的主動意識和進取精神顯得尤為重要.教師不再是課堂的主角、控制者，而是課堂資源的重組者、動態(tài)生成的推進者.因此，當(dāng)學(xué)生答問錯誤時，教師既不能奉送“真理”也不能聽之任之，而應(yīng)該利用學(xué)生錯誤中的可利用因素或追問暗示，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)錯誤及時糾正，即以學(xué)生錯誤答案為前提，推衍出荒謬的結(jié)論，讓學(xué)生在前因后果的矛盾中頓悟，那么即使是錯誤也變得異常美麗.

三、及時調(diào)整教學(xué)思路，突破常規(guī)

學(xué)生已有的知識也是阻礙學(xué)生思維發(fā)展的一個因素，因為學(xué)生覺得自己已經(jīng)掌握但是是否真的懂了呢.古語云：“學(xué)起于思，思源于疑”.教學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的實際情況，有計劃有針對性地提出有一定思考量的問題，誘發(fā)學(xué)生思考的熱情，激發(fā)學(xué)生旺盛的求知欲望，啟迪學(xué)生的思維，使學(xué)生主動地分析問題、解決問題，讓學(xué)生的思維更加深刻，形成他們新的能力！

課堂教學(xué)中的細節(jié)時刻都在發(fā)生、發(fā)展和變化著，如果在細節(jié)發(fā)生的瞬間，教師能敏銳地捕捉并發(fā)現(xiàn)它們的價值，巧妙點撥，適當(dāng)鼓勵，合理引申，便能窺見本質(zhì)，從而提升學(xué)生的思維品質(zhì).