黃如炎

福建省閩清縣教師進(jìn)修學(xué)校 (350800)

題目已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x．

(1)討論f(x)的單調(diào)性．

(2)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．

(2017年高考全國(I)卷理科壓軸題)

1.試題賞析

本題以函數(shù)零點(diǎn)為載體考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性等知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想、有限與無限思想、數(shù)形結(jié)合思想，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)關(guān)鍵能力、學(xué)科素養(yǎng)和核心價(jià)值的把關(guān)試題．不可求的函數(shù)零點(diǎn)問題，是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，學(xué)生解題思路茫然.高考命題組給出的參考解答具有嚴(yán)謹(jǐn)、精煉、規(guī)范的特點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的理性思維，頗有數(shù)學(xué)味.但由于沒有給出零點(diǎn)探求的思維過程(連圖形都沒有)，使師生很難領(lǐng)悟命題組的參考解答，對直接給出的結(jié)論，學(xué)生感到突如其來，百思不得其解[1].

2.解題分析

“數(shù)學(xué)是自然的，數(shù)學(xué)是清楚的”[2]，因此數(shù)學(xué)解題應(yīng)是清析明理的.解決不可求函數(shù)零點(diǎn)問題要順應(yīng)學(xué)生形象思維到抽象思維的認(rèn)知過程，通過求導(dǎo)作圖，特值驗(yàn)證，放縮化歸等有效手段，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)、數(shù)學(xué)創(chuàng)造的思維歷程，揭示蘊(yùn)含在知識背后的核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)本質(zhì)和思想方法，讓解題思維從學(xué)生頭腦里自然地流淌出來．以下給出該壓軸題的幾種原創(chuàng)自然解法，供同行教學(xué)參考.

解析1：(1)f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1).

①若a≤0，則f′(x)<0，f(x)在(—∞，+∞)單調(diào)遞減；

②若a>0，當(dāng)x∈(-∞,-lna)時(shí)，f′(x)<0，當(dāng)x∈(-lna,+∞)時(shí),f′(x)>0，所以f(x)在(-∞,-lna)單調(diào)遞減，在(-lna,+∞)單調(diào)遞增．

(2)①若a≤0，由(1)知，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)；

圖1

②若a>0，由(1)知

還可用以下解析2、解析3探求n．

解析2：(1)同解析1.

綜上：a∈(0,1)時(shí),f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

解析3：(1)同解析1.

綜上：a∈(0,1)時(shí),f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．

圖2

故a∈(0,1)時(shí),f(x)有兩個(gè)零點(diǎn).

3.歸納總結(jié)

探求連續(xù)函數(shù)f(x)不可求零點(diǎn)的存在區(qū)間，可運(yùn)用以下有效方法：

(1)求導(dǎo)，確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)作圖，作出函數(shù)f(x)圖像判斷零點(diǎn)的情況；

(3)探值，在零點(diǎn)兩側(cè)分別探求實(shí)數(shù)m、n(可以是一個(gè)具體的數(shù)式或區(qū)間)，使f(n)f(m)<0．

①特值驗(yàn)證：根據(jù)函數(shù)式的特征，取特殊自變量m，驗(yàn)證是否滿足f(m)>0(或f(m)<0)．

②解不等式：當(dāng)不等式f(x)>0(或f(x)<0)可解時(shí)，可直接通過解不等式求出滿足f(m)>0(或f(m)<0)的實(shí)數(shù)m．

③放縮化歸：當(dāng)f(x)較復(fù)雜時(shí)，可將f(x)放縮為簡單的函數(shù)g(x)，使f(x)>g(x)(或f(x)0(或g(m)<0)，則f(m)>g(m)>0(或f(m)

由于零點(diǎn)問題基本以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等基本初等函數(shù)為載體，為熟練放縮，要求學(xué)生掌握重要不等式ex≥x+1，lnx≤x-1，sinx≥0(x≥0)．

圖3

4.變式引申

(原創(chuàng)題)已知f(x)=(x-1)ex-kx2+2，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，f(x)<0，探求f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

解析1:f′(x)=x(ex-2k)，由f(1)<0，得k>2，∴l(xiāng)n2k>1，所以f(x)在(-∞，0)和(ln2k，+∞)單調(diào)遞增，在(0，ln2k)單調(diào)遞減．易取x=0，x=1，得f(0)=1>0，f(1)=2-k<0.當(dāng)x→-∞時(shí)，f(x)→-∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，f(x)→+∞，知f(x)圖像如圖3所示且有三個(gè)零點(diǎn)．f(-1)=-2e-1-k+2<0，f(ln2k)0．

由于ln2k=ln2+lnk≤ln2+k-12，所以g′(k)=ek-3>0，g(k)>g(2)>0，從而f′(k)>0，f(k)>f(2)=e2-6>0．

解析2:當(dāng)x>ln2k時(shí)，因?yàn)閑x>x2，x>ln2k>1，所以f(x)=(x-1)ex-kx2+2>(x-1)x2-kx2+2=(x-1-k)x2+2，令g(x)=(x-1-k)x2+2，為消去x項(xiàng)，取x=1+k，則g(k+1)=2>0，所以f(k+1)>0，故f(x)在(ln2k，k+1)上有一個(gè)零點(diǎn)．

評注：本例的難度在于尋找一個(gè)大于ln2k的數(shù)使其函數(shù)值大于零．解決的智慧一是利用重要不等式lnx≤x-1找到大于ln2k的數(shù)k，二是把f(x)放縮為簡單的函數(shù)g(x)=(x-1-k)x2+2，再取特值x=1+k，使f(k+1)>g(k+1)>0．

[1]教育部考試中心．2017年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試試題、參考答案[M]．福州：福建省教育考試院，2017．

[2]劉紹學(xué)．普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書﹒數(shù)學(xué)1-5必修[M]．北京：人民教育出版社，2007．