周 黎，葉志鋒，肖玲斐

（南京航空航天大學(xué)江蘇省航空動(dòng)力系統(tǒng)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京210016）

0 引言

航空發(fā)動(dòng)機(jī)是1個(gè)強(qiáng)非線性復(fù)雜系統(tǒng)，在范圍寬廣的飛行包線內(nèi)工作時(shí)，其工作狀態(tài)隨外界變化而不斷變化[1]。傳統(tǒng)非線性系統(tǒng)的控制方法為變?cè)鲆婵刂品椒?，其基本思想是?duì)非線性模型中的一些穩(wěn)定設(shè)計(jì)點(diǎn)進(jìn)行線性化以獲得對(duì)應(yīng)各點(diǎn)的線化模型，然后針對(duì)各線化模型分別設(shè)計(jì)控制器，運(yùn)用擬合或切換的方法將各控制器聯(lián)系起來(lái)[2]。在傳統(tǒng)變?cè)鲆婵刂破鞯脑O(shè)計(jì)過(guò)程中，每個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)設(shè)計(jì)的控制器都能滿足控制系統(tǒng)的性能要求，但是難以保證系統(tǒng)的全局控制性能[3]。同時(shí)傳統(tǒng)變?cè)鲆婵刂品椒▽?duì)所選取的設(shè)計(jì)點(diǎn)數(shù)量依賴程度較大，由于所選取的設(shè)計(jì)點(diǎn)數(shù)目越多，控制效果越好，采用這種控制器的設(shè)計(jì)過(guò)程工作量較大。目前，航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制方法的研究成果較多，但在工程實(shí)踐中，應(yīng)用最多的仍是原理簡(jiǎn)單、可靠性高和易于實(shí)現(xiàn)的 PID（Proportion Integration Differentiation）控制[4]。常用的PID控制器的整定方法有經(jīng)驗(yàn)法和響應(yīng)曲線法等，但這些方法僅能使系統(tǒng)在設(shè)計(jì)點(diǎn)具有較好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，無(wú)法保證整個(gè)系統(tǒng)的控制性能。

Saydy等[5]提出的保護(hù)映射理論可分析參數(shù)化矩陣族和多項(xiàng)式的廣義穩(wěn)定性；文獻(xiàn)[6]將保護(hù)映射理論首次用在飛機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，通過(guò)目標(biāo)穩(wěn)定區(qū)域的確定來(lái)表示飛行操縱品質(zhì)指標(biāo)；文獻(xiàn)[7]將保護(hù)映射理論、LQR技術(shù)和遺傳算法三者相結(jié)合，設(shè)計(jì)出1種新的控制方法；文獻(xiàn)[8]將保護(hù)映射理論應(yīng)用在高超聲速飛行器的控制方法設(shè)計(jì)中，使得高超聲速飛行器在大范圍包線內(nèi)工作時(shí)能夠保持穩(wěn)定。

本文將基于保護(hù)映射理論的控制方法應(yīng)用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制中，其無(wú)需在多個(gè)設(shè)計(jì)點(diǎn)分別進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，可通過(guò)初始控制器直接獲得整個(gè)調(diào)度參數(shù)變化范圍內(nèi)的控制器，能夠解決傳統(tǒng)變?cè)鲆婵刂品椒ㄋ嬖诘碾y以保證全局控制性能問題。

1 航空發(fā)動(dòng)機(jī)LPV模型

航空發(fā)動(dòng)機(jī)非線性模型

式中：f（g）和g（g）是連續(xù)可微的，其LPV模型為

式中：狀態(tài)向量x∈Rn；輸出向量y∈Rm；控制向量u∈Rp；調(diào)度參數(shù)向量ρ∈Rj，其值隨時(shí)間變化不斷改變；A（ρ）、B（ρ）、C（ρ）和 D（ρ）為系數(shù)矩陣，其所有元素與ρ存在函數(shù)關(guān)系[9]。

研究對(duì)象為某型雙轉(zhuǎn)子渦扇發(fā)動(dòng)機(jī)。所采用的發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)均為相似歸一化后的相對(duì)參數(shù)，通過(guò)對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)參數(shù)進(jìn)行相似歸一化處理，可以避免因各物理量之間很大的數(shù)量級(jí)差別而導(dǎo)致建模精度降低。航空發(fā)動(dòng)機(jī)為多變量系統(tǒng)，其控制系統(tǒng)存在多個(gè)通道。輸入量?jī)H選擇主燃燒室的供油量增量ΔWf，輸出量為高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速增量Δnh，狀態(tài)變量為低壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速增量Δn1和高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速增量Δnh，建立線化模型，并進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。航空發(fā)動(dòng)機(jī)的主系統(tǒng)加減速仿真主要包括慢車到中間狀態(tài)加減速、85%轉(zhuǎn)速到中間狀態(tài)加減速、中間狀態(tài)到慢車以及到中間狀態(tài)遭遇加速等過(guò)渡過(guò)程[10]。在控制器設(shè)計(jì)時(shí)所考慮的發(fā)動(dòng)機(jī)狀態(tài)過(guò)程為85%轉(zhuǎn)速到中間狀態(tài)。

采用的LPV建模方法為雅克比（Jacobian）線性化建模法[11]，首先，選擇高度H=0 km、馬赫數(shù)Ma=0的工作點(diǎn)為設(shè)計(jì)點(diǎn)，高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速nh為調(diào)度參數(shù)，其變化范圍為[0.85，1.05]，在該區(qū)間采用線性化方法[12]得到不同高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速點(diǎn)的狀態(tài)變量模型；然后，為提高模型的精確度，將調(diào)度參數(shù)nh歸一化到[0，1]的范圍內(nèi)，即∈[0，1]；最后，對(duì)狀態(tài)變量模型的所有系數(shù)矩陣進(jìn)行多項(xiàng)式擬合，擬合后的模型為

式中：x=[Δn1Δnh]T；u=ΔWf；y=Δnh。

通過(guò)大量仿真對(duì)比，并綜合模型對(duì)擬合精度和效率的要求，進(jìn)行3階多項(xiàng)式擬合。j=1,2）擬合后為

擬合曲線分別如圖1、2所示。從圖中可見，擬合存在一定誤差，但由于PI控制的強(qiáng)魯棒性，后續(xù)仿真表明其對(duì)控制效果的影響較小。

圖1 aij的擬合曲線

圖2 bij的擬合曲線

為了對(duì)所建LPV模型進(jìn)行仿真驗(yàn)證，選擇任意2個(gè)轉(zhuǎn)速點(diǎn)nh=0.9019和nh=0.9840，LPV模型和非線性模型在相同階躍輸入下，計(jì)算得到高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線分別如圖3、4所示。

圖3 n h=0.9019時(shí)模型的高壓轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

圖4 n h=0.9840時(shí)模型的高壓轉(zhuǎn)速響應(yīng)曲線

從圖3、4中可見，將LPV模型與非線性模型的轉(zhuǎn)速階躍響應(yīng)進(jìn)行比較，跟蹤效果較好，雖存在一定的穩(wěn)態(tài)誤差，但是穩(wěn)態(tài)誤差較小，可利用控制器消除其對(duì)控制系統(tǒng)的影響。

2 保護(hù)映射理論

矩陣廣義穩(wěn)定性集合S（Ω）定義為

式中：Ω為復(fù)平面內(nèi)的開集；Λ（M）為矩陣M的所有特征值的集合[13]；S（Ω）表示所包含的矩陣在Ω區(qū)域內(nèi)保持穩(wěn)定。

定義1：矩陣Rn×n到復(fù)數(shù)域C的映射表示為v。?S表示集合S的邊界，如果矩陣M∈?S（Ω）的充分必要條件為 v（M）=0，則映射 v是 S（Ω）的保護(hù)映射，其實(shí)質(zhì)為n×n實(shí)矩陣上的標(biāo)量映射[13]。

保護(hù)映射的典型區(qū)域如圖5所示。

圖5 保護(hù)映射的典型區(qū)域

如圖 5（a）所示區(qū)域（即 Re（z）＜α）的保護(hù)映射為

式中：⊙為運(yùn)算Bialternate積。

如圖5（b）所示與虛軸負(fù)半軸夾角為θ的2條射線所組成的區(qū)域的保護(hù)映射為

式中：ξ=cosθ。

如圖5（c）所示半徑為ω的圓形區(qū)域的保護(hù)映射為

其它區(qū)域的保護(hù)映射表達(dá)式可以根據(jù)典型區(qū)域通過(guò)相關(guān)的性質(zhì)獲得，例如：設(shè) S（Ω1），S（Ω2），…，S（Ωh）相應(yīng)的保護(hù)映射為 v1，v2,…，vn，則 S（Ω1∩Ω2…∩Ωh）的保護(hù)映射為 v=v1v2…vn。

引理：M（x）=M0+xM1+…+xkMk，表示矩陣多項(xiàng)式，式中：x為未知的參數(shù)；Mi為已知的常數(shù)矩陣。M（x0）相對(duì)Ω區(qū)域穩(wěn)定，vΩ為S（Ω）的保護(hù)映射，則根據(jù)式（9）、（10）可獲得達(dá)到控制要求的x最大范圍為x∈（x-,x+）[14]

3 參數(shù)整定算法

3.1 活動(dòng)區(qū)域定義

不同類型的區(qū)域如圖6所示。

圖6 不同類型的區(qū)域

如圖6（a）所示的穩(wěn)定集合區(qū)域Ω的定義為

式中：ξ（λ）為 λ 的阻尼比。

如圖6（b）所示的不穩(wěn)定集合區(qū)域Ψ的定義為

定義2：矩陣M為Hurwitz穩(wěn)定矩陣，其所有特征值為 Λ={λ1，λ2，…，λn}，區(qū)域 ΩΛ⊙Ω（αΛ，ξΛ，ωΛ），其中αΛ=max{Re（λi）}；ξΛ=min{ξ（λi）}；ωΛ=max{|λi|}。區(qū)域Ωt=Ω（αt，ξt，ωt）為目標(biāo)區(qū)域，則定義區(qū)域Ωu=Ω（αu，ξu，ωu），其中，αu=max{αt，αΛ}；ξu=min{ξt，ξΛ}；ωu=max{ωt，ωΛ}[15]。

定義3：矩陣M為Hurwitz穩(wěn)定矩陣，其所有特征值為 Λ={λ1，λ2，…，λn}，區(qū)域 Ψ⊙Ψ（αΛ，ωΛ），其中αΛ=max{Re（λi）}；ωΛ=max{|λi|}。區(qū)域Ωt=Ω（αt，ξt，ωt）為目標(biāo)區(qū)域，則定義區(qū)域 Ψu=Ψ（αu，ωu），其中，αu=αΛ；ωu=max{ωt，ωΛ}[15]。

3.2 目標(biāo)區(qū)域增益預(yù)置算法

系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能主要取決于系統(tǒng)極點(diǎn)的位置，其不僅決定系統(tǒng)的穩(wěn)定性，還決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。因此，若能通過(guò)控制器設(shè)計(jì)將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置到目標(biāo)位置，則相當(dāng)于使系統(tǒng)具有期望的性能。基于保護(hù)映射理論的目標(biāo)區(qū)域增益預(yù)置算法[16]流程如圖7所示。運(yùn)用該算法可根據(jù)任意選擇的初始控制器增益，計(jì)算得到控制器增益向量K，使控制系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)位于目標(biāo)區(qū)域Ωt=Ω（αt，ξt，ωt）內(nèi)，從而獲得期望的性能。

圖7 增益預(yù)置算法流程

算法的具體步驟為：

（1）設(shè)K=[Kj（]j=1，…，m）表示控制系統(tǒng)的增益向量，K0=[]表示初始增益向量，Ωt=Ω（αt，ξt，ω）t表示目標(biāo)區(qū)域，q=r=0，此時(shí) Kq=Kr=K0；

（2）計(jì)算閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣A（clKq）的特征值Λq={λ1，λ2，…}，若 Λq?Ωt則跳出循環(huán)；

（3）根據(jù)A （clKq）的穩(wěn)定性來(lái)構(gòu)建新的區(qū)域：若穩(wěn)定，則采用第 3.1 節(jié)中的定義 2 構(gòu)建 Ωq=Ωu=Ω（αq，ξq，ωq）；若A（clKq）不穩(wěn)定，則采用第3.1節(jié)中的定義3構(gòu)建 Ωq=Ψu=Ψ（αq，ωq）；

（4）根據(jù)構(gòu)建的新區(qū)域Ωq和Kq，進(jìn)行如下循環(huán)迭代過(guò)程：

當(dāng)||Kr-Kr+1||≤ε（K1+||Kr||）（εK為一較小的正數(shù)）時(shí)，則跳出循環(huán)，令Kq+1=Kr+1；否則，r=r+1，繼續(xù)求解；

（5）當(dāng) ||Kq-Kq+1||≤ε（K1+||Kq||）時(shí)，循環(huán)結(jié)束，否則，q=q+1，返回到（2）繼續(xù)運(yùn)行。

3.3 單參數(shù)模型控制過(guò)程

設(shè)計(jì)滿足控制性能要求并與調(diào)度參數(shù)ρ∈[ρmin，ρmax]相關(guān)的全局控制器是LPV模型控制器設(shè)計(jì)的關(guān)鍵?；诒Ｗo(hù)映射理論的單參數(shù)LPV模型的全局控制器設(shè)計(jì)流程[17]如圖8所示。

圖8 單參數(shù)模型控制流程

算法的具體步驟為：

（1）設(shè)Ac（lρ，K）為閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，K=[Kj（]j=1，…，m）為控制系統(tǒng)增益向量。設(shè) ρ＝ρ0=ρmin，則控制對(duì)象變?yōu)楣潭▍?shù)的模型；

（2）利用第3.2節(jié)中的算法求得滿足控制要求的增益向量Ki；

（3）令K=Ki，此時(shí)A （clρ，K）中的變量?jī)H為調(diào)度參數(shù)ρ，根據(jù)引理，可計(jì)算得此時(shí)Ki對(duì)應(yīng)的滿足控制要求的最大調(diào)度參數(shù)的范圍為

4 控制器設(shè)計(jì)與仿真

4.1 控制器設(shè)計(jì)過(guò)程

本文選擇PI控制器結(jié)構(gòu)，因?yàn)槠淠苁瓜到y(tǒng)性能滿足零穩(wěn)態(tài)誤差的要求并具有良好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖9所示。

圖9 控制器結(jié)構(gòu)

PI控制器的傳遞函數(shù)為

本文運(yùn)用上述基于保護(hù)映射理論的算法進(jìn)行控制器K（s）設(shè)計(jì)，使LPV系統(tǒng)在整個(gè)調(diào)度參數(shù)的變化范圍內(nèi)達(dá)到控制要求。

在航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)過(guò)程中，最重要的是所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)應(yīng)滿足性能指標(biāo)要求。本文的控制器設(shè)計(jì)指標(biāo)考慮衰減系數(shù)α、阻尼比ξ和自然頻率ω，該設(shè)計(jì)指標(biāo)可對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)和動(dòng)態(tài)性能進(jìn)行表征。為保證系統(tǒng)具有良好的性能，本文根據(jù)航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制的目標(biāo)要求，確定3個(gè)設(shè)計(jì)指標(biāo)的取值分別為 α≤-1.7，ω≤8，ξ≥0.85，通過(guò)式（11）構(gòu)建目標(biāo)區(qū)域。根據(jù)保護(hù)映射性質(zhì)，目標(biāo)區(qū)域保護(hù)映射為

對(duì)已建立的H=0 km，Ma=0點(diǎn)LPV模型進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，首先，令=0，任意選取PI控制器的初始值為Kp=Ki=1，通過(guò)第3.2節(jié)的算法可以得到控制器參數(shù)Kp=6.9735，Ki=15.5318，該控制器參數(shù)可將閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)限制在目標(biāo)區(qū)域內(nèi)，從而獲得期望的性能。其次，通過(guò)第2章中的引理可以得到該控制器參數(shù)能夠使系統(tǒng)關(guān)于 Ωt穩(wěn)定的最大區(qū)間為[-0.0154，0.1308]，在該調(diào)度參數(shù)變化區(qū)間內(nèi)，閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)均位于目標(biāo)區(qū)域中。再次，取上限值=0.1308，根據(jù)第3.3節(jié)中方法獲得新的PI控制器參數(shù)值，以及與之對(duì)應(yīng)的穩(wěn)定區(qū)間，按照這樣的流程進(jìn)行循環(huán)計(jì)算，直到∈[0,1]中所有的均有與之對(duì)應(yīng)的控制器。控制器設(shè)計(jì)的迭代運(yùn)算結(jié)果見表1。從表中可見，每次計(jì)算出的穩(wěn)定區(qū)間存在一定的重合，為了保證系統(tǒng)在整個(gè)調(diào)度參數(shù)變化范圍內(nèi)均相對(duì)于穩(wěn)定區(qū)域穩(wěn)定和控制器的控制效率，本文選擇在重合區(qū)間的中點(diǎn)進(jìn)行控制器的切換，切換過(guò)程如圖10所示。

表1 控制器設(shè)計(jì)結(jié)果

圖10 控制器參數(shù)K隨n?h的變化規(guī)律

根據(jù)所設(shè)計(jì)的控制器計(jì)算不同轉(zhuǎn)速下的閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)，其分布如圖11所示。從圖中可見，閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)均位于目標(biāo)區(qū)域內(nèi)，達(dá)到了預(yù)期設(shè)計(jì)目標(biāo)。

圖11 閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)分布

4.2 仿真結(jié)果分析

為了避免航空發(fā)動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速大范圍變化時(shí)，系統(tǒng)產(chǎn)生較大的超調(diào)量，本文采用積分分離控制[18]，即：在e＞0.6（rt-r0）（e 為閉環(huán)系統(tǒng)偏差值；rt為閉環(huán)系統(tǒng)目標(biāo)值；r0為閉環(huán)系統(tǒng)初始值）時(shí)忽略積分控制，僅采用比例控制。選取傳統(tǒng)變?cè)鲆鍼I控制器作為比較對(duì)象，其設(shè)計(jì)方法為：在相對(duì)高壓轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化區(qū)間內(nèi)等間距的10個(gè)點(diǎn)處，通過(guò)遺傳算法整定PI參數(shù)值[19]，最后擬合出PI參數(shù)的多項(xiàng)式。在H=0 km、Ma=0點(diǎn)的階躍仿真結(jié)果如圖12、13所示。在H=3.5 km、Ma=0.5點(diǎn)采用相同的方法設(shè)計(jì)控制器并進(jìn)行階躍仿真，其仿真結(jié)果如圖14、15所示。

圖12 在H=0 km、Ma=0時(shí)高壓轉(zhuǎn)速仿真結(jié)果

圖13 在H=0 km、Ma=0時(shí)高壓轉(zhuǎn)速大范圍變化仿真結(jié)果

圖14 在H=3.5 km、Ma=0.5時(shí)高壓轉(zhuǎn)速仿真結(jié)果

圖15 在H=3.5 km、Ma=0.5時(shí)高壓轉(zhuǎn)速大范圍變化仿真結(jié)果

從圖12～15中可見，在基于保護(hù)映射理論設(shè)計(jì)的PI控制器控制下，系統(tǒng)響應(yīng)曲線的調(diào)節(jié)時(shí)間小于2 s，超調(diào)量小于0.8%，穩(wěn)態(tài)誤差為0。在傳統(tǒng)變?cè)鲆婵刂品椒ㄔO(shè)計(jì)的PI控制器控制下，系統(tǒng)響應(yīng)曲線的調(diào)節(jié)時(shí)間和超調(diào)量均較差，其調(diào)節(jié)時(shí)間小于3 s，超調(diào)量高達(dá)7%。由仿真分析可知，基于保護(hù)映射理論設(shè)計(jì)的PI控制器的控制效果比傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)的PI控制器的控制效果具有更好的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，在超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間等性能上均有明顯改善。

5 結(jié)論

（1）本文將基于保護(hù)映射理論的控制方法用于航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，在航空發(fā)動(dòng)機(jī)非線性模型上的仿真結(jié)果表明，系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的調(diào)節(jié)時(shí)間小于2 s，超調(diào)量小于0.8%，穩(wěn)態(tài)誤差為0，具有良好的控制效果；

（2）本文將保護(hù)映射理論及其相關(guān)算法進(jìn)行了詳細(xì)說(shuō)明，并將其運(yùn)用在航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，采用PI控制器，具有工程易用性；

在后續(xù)研究中，可針對(duì)航空發(fā)動(dòng)機(jī)更多變量，采用基于保護(hù)映射理論的方法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，進(jìn)一步驗(yàn)證該方法在航空發(fā)動(dòng)機(jī)控制中的有效性。同時(shí)，在控制器參數(shù)切換過(guò)程中，可采用加權(quán)法等進(jìn)行重合區(qū)域控制器的切換，并進(jìn)行控制系統(tǒng)性能分析。