， ， ，

(南京航空航天大學電子信息工程學院， 江蘇南京 211106)

0 引 言

雷達干擾是指一切破壞和擾亂雷達及相關(guān)設(shè)備正常工作的戰(zhàn)術(shù)和技術(shù)措施的統(tǒng)稱，按照干擾信號的作用機理可分為壓制性干擾和欺騙性干擾。其中，壓制式噪聲干擾是當前雷達干擾系統(tǒng)的一種重要干擾方式，主要以大功率的噪聲淹沒目標回波，大幅度降低雷達的工作性能，甚至使其無法正常工作。

傳統(tǒng)雷達僅僅依靠接收端信號處理技術(shù)，對干擾抑制性能的提升程度有限。認知雷達作為一種新型智能雷達系統(tǒng)，最大優(yōu)勢在于獲得環(huán)境交互信息后自適應(yīng)地改變發(fā)射，因此在信號檢測層面對雷達相關(guān)性能的提升是最有可能的。為提升接收處理的信干比，認知雷達的主要技術(shù)手段包括：1)發(fā)射波形優(yōu)化，即針對雷達干擾設(shè)計有效提升信干比的發(fā)射波形；2)有針對性的接收處理方法，即能夠與發(fā)射波形有效配合抑制干擾的處理方法。

針對認知雷達抗干擾波形優(yōu)化設(shè)計，文獻[1]提出了一種基于自適應(yīng)方法的綜合波形設(shè)計框架，在多個性能目標之間進行不同折中，并對發(fā)射信號譜進行了各種不同的約束，然后將其建模成波形設(shè)計的凸優(yōu)化問題，利用成熟的內(nèi)點法進行全局優(yōu)化。文獻[2-4]將波形自身探測性能要求簡化為與已知且具有良好特征波形之間的相似度約束，好處在于很容易將該約束與其他目標和約束共存，易于求解。但也存在明顯的缺點，如對波形自身特性很難精細把握或精準控制，容易出現(xiàn)非恒模、高峰均比(Peak-to-Average Ratio, PAR)、旁瓣控制不精細等一系列的缺陷。

本文著眼于干擾與旁瓣的抑制性能，從而提高接收處理的動態(tài)范圍，提出一種基于干擾和旁瓣均衡抑制的認知雷達波形設(shè)計方法。在自適應(yīng)架構(gòu)基礎(chǔ)上[5]，引入壓制噪聲干擾模型，通過最小均方誤差(Minimum Mean Square Error，MMSE)準則，引入并構(gòu)造干擾與旁瓣均衡抑制的認知雷達波形優(yōu)化模型，并將其轉(zhuǎn)化為多變量多約束目標函數(shù)模型。然后根據(jù)Lagrange乘子法，推導目標函數(shù)的Lagrange函數(shù)以及對偶原理，同時轉(zhuǎn)化優(yōu)化模型為最優(yōu)化對偶函數(shù)，通過引入輔助變量和KKT(Karush-Kuhn-Tucker)最優(yōu)性進行求解。最后設(shè)計交替迭代法聯(lián)合優(yōu)化發(fā)射波形和濾波器，并評估綜合處理算法帶來的性能提升。

1 認知雷達均衡抑制干擾及旁瓣算法模型

認知雷達抗干擾波形設(shè)計的關(guān)鍵問題在于優(yōu)化發(fā)射波形和接收濾波器，從而最小化目標參數(shù)的估計誤差[6]。

顯然，基帶接收信號：

y=AHa+Uj+Vn

(1)

式中：

a=[a0a1…aN-1a-(N-1)…a-1]T，{ai}為不同距離單元的散射系數(shù)，均值為0；Vn為服從高斯分布的噪聲信號，令Wn為噪聲協(xié)方差矩陣；Uj為干擾信號，令Un為干擾協(xié)方差矩陣，β為雜波平均能量，一般設(shè)為1。

E{VnVnH}=Wn

(2)

E{UjUjH}=Un

(3)

E{|ak|2}=β

(4)

(5)

式中：

(6)

Rn=Vn+Un

(7)

當發(fā)射信號s已知時，求解接收濾波器w，模型如下：

s.t.wHRnw=wHQsw

(8)

wHs=1

同理，交替迭代當接收濾波器w已知時，求解發(fā)射信號s，模型如下：

s.t.sHRns=c(c為常數(shù)，c=wHRnw)

(9)

sHw=1

由模型可知，通過優(yōu)化發(fā)射信號s和接收濾波器w，使得濾波器對信號旁瓣和干擾信號有抑制作用,使輸出信號旁瓣和干擾功率最小，R(1)中約束wHRnw=wHQsw和R(2)中約束sHRns=c表示濾波器對兩者的抑制效果均衡；R(1)中約束wHs=1和R(2)中約束sHw=1表示信號通過濾波器后，每個特定方向的信號功率為常數(shù)。

在上述均衡抑制干擾及旁瓣的算法基礎(chǔ)上，可進行拓展研究，更改算法的約束條件，追求對干擾信號抑制能力大于自身處理旁瓣能力，實現(xiàn)動態(tài)抑制干擾性能，加大認知雷達干擾抑制的可控力，從而修改算法模型如下：

當發(fā)射信號s已知時，求解接收濾波器w，模型如下：

s.t.wHRnw=k

(10)

wHs=1

同理，交替迭代，當接收濾波器w已知時，求解發(fā)射信號s，模型如下：

s.t.sHw=1

(11)

由模型可知，目標函數(shù)表示通過優(yōu)化發(fā)射信號s和接收濾波器w，使得濾波器對信號旁瓣和干擾信號有抑制作用,使輸出信號旁瓣和干擾功率最小，C(1)中wHRnw=k表示濾波器對干擾的抑制效果達到10lgkdB，更改k值，便可更改干擾的抑制程度，具有動態(tài)抑制干擾性能；C(1)中wHs=1和C(2)中sHw=1表示信號通過濾波器后，每個特定方向的信號功率為常數(shù)。

2 模型求解方法

2.1 均衡抑制干擾及旁瓣的算法

均衡抑制干擾及旁瓣的算法實現(xiàn)干擾信號抑制和自身處理旁瓣的平衡，并有兩個約束條件，求解優(yōu)化后的發(fā)射信號s與接收濾波器w。因此可采用交替迭代法進行求解模型，可將總體模型分成兩部分：R(1)假設(shè)發(fā)射信號s已知時，求解接收濾波器w；R(2)假設(shè)接收濾波器w已知時，求解發(fā)射信號s。在每一個子模型中，由于優(yōu)化問題本身的復雜度并不高，且去除發(fā)射波形的恒模約束后該問題就是一個凸優(yōu)化問題，因此針對多約束下的凸優(yōu)化問題，可以采用Lagrange對偶的方法進行優(yōu)化求解。首先引入系數(shù)構(gòu)造Lagrange函數(shù)，接著尋找對偶函數(shù)，然后根據(jù)對偶函數(shù)構(gòu)造新的優(yōu)化函數(shù)，最后通過對新優(yōu)化問題的求解實現(xiàn)原優(yōu)化問題的求解。

當發(fā)射信號s已知時，求解濾波器w，子模型如下：

s.t.wHRnw=wHQsw

(12)

wHs=1

目標函數(shù)的Lagrange函數(shù)為

L(w,a1,b1)=wH(Qs+Rn)w+

a1(wHQsw-wHRnw)+

b1(wHs-1)=

wH[Qs+Rn+a1(Qs-Rn)]w+

b1(wHs)-b1

(13)

式中，a1，b1是Lagrange乘子，不為0的常數(shù)。

當式(14)成立時，L(w,a1,b1)取得最小值。

(14)

則目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為

a1(Qs-Rn)]-1s-b1

(15)

等價于

a1(Qs-Rn)]-1s+b1

(16)

利用線搜索法求得a1，b1，將a1，b1，s的表達式代入式(14)，可求得濾波器w。

接著，求解第二個模型。

當濾波器w已知時，求解發(fā)射信號s，子模型如下：

s.t.sHRns=c(c為常數(shù),c=wHRnw)

(17)

sHw=1

Lagrange函數(shù)：

L(s,a2,b2)=sH(Qw+Rn)s+

a2(sHQws-c)+b2(sHw-1)=

sH(Qw+Rn+a2Qw)s+

b2(sHw)-a2c-b2

(18)

式中，c為常數(shù)，c=wHRnw。

(19)

當式(19)成立時，L(s,a2,b2)取得最小值,則目標函數(shù)轉(zhuǎn)化為

a2Qs]-1s-a2c-b2

(20)

等價于，在Qw+Rn+a2Qw>0情況下：

a2Qs]-1s+a2c+b2

(21)

(22)

利用線搜索法求得a2，b2，并將a2，b2，w的表達式代入式(22)，可求得發(fā)射波形s。

最后通過算法的交替迭代，繼續(xù)優(yōu)化濾波器w和發(fā)射信號s，直至求得優(yōu)化發(fā)射信號和濾波器滿足目標函數(shù)和約束要求。

綜上，該算法求解過程利用Lagrange乘子法，通過引入多個輔助變量和KKT最優(yōu)條件性，簡化求解過程的復雜度，使算法易于求解，具有可行性。

該算法采用壓制干擾進行仿真分析，其干擾特性如下：

壓制性噪聲調(diào)幅干擾信號，信號表達式為Uj=[U0+Un(t)]exp[j2πfct+φ0]，U0為射頻信號的幅度，fc為中心頻率，φ0為初始相位，服從[0,2π]均勻分布，調(diào)幅噪聲Un(t)是一個均值為0、方差為1、分布區(qū)間為[-U0,∞]的廣義平穩(wěn)隨機過程。

其步驟如表1所示。

表1 認知雷達均衡抑制干擾及旁瓣算法

2.2 動態(tài)抑制干擾性能算法求解

動態(tài)抑制干擾性能算法加大了認知雷達干擾抑制的可控力，求解方法如下：

1)當發(fā)射信號s已知時，求解接收濾波器w，模型如下：

s.t.wHRnw=k

(23)

wHs=1

其Lagrange函數(shù)為

L(w,a3,b3)=wH(Qs+Rn)w+

a3(wHRnw-k)+b3(wHs-1)=

wH(Qs+Rn+a3Rn)w+

b3(sHw)-a3k-b3

(24)

式中,a3,b3為不為0的常數(shù)。

當式(25)成立時，L(w,a3,b3)取得最小值。

(25)

目標函數(shù)等價于

Qs+a3Rn)-1s-b3

(26)

轉(zhuǎn)化為

Qs+a3Rn)-1s+b3

(27)

2)同理，當接收濾波器w已知時，求解發(fā)射信號s，模型如下:

s.t.sHw=1

(28)

當濾波器已知時，其Lagrange函數(shù)為

L(s,b4)=sH(Qw+Rn)s+b4(sHw-1)=

sH(Qw+Rn)s+b4sHw-b4

(29)

利用對偶原理求式(29)的最小值：

當式(30)成立時，L(w,a4,b4) 取得最小值。

(30)

模型轉(zhuǎn)化為

交替迭代，直至求得優(yōu)化發(fā)射信號和濾波信號。

3 仿真實驗和性能分析

圖1為噪聲調(diào)幅干擾信號功率譜分析。其中圖1(a)為調(diào)幅噪聲Un(t)功率譜，圖1(b)為已調(diào)波噪聲功率譜。從仿真結(jié)果可見噪聲調(diào)幅干擾功率集中在中心頻率fc=35 MHz，幅度為20 dB左右。

(a)調(diào)制噪聲功率譜

(b)已調(diào)波功率譜圖1 噪聲調(diào)幅干擾信號功率譜分析

圖2為發(fā)射信號分別為線性調(diào)頻信號和優(yōu)化碼的處理結(jié)果對比圖。圖2(a)發(fā)射信號s采用線性調(diào)頻信號s=ejπf0t2，并設(shè)濾波器w=s，在接收端，信干比為0 dB左右，信旁瓣比為39 dB。

圖2(b)為采用均衡抑制模型優(yōu)化編碼后，采用碼長N為200的優(yōu)化發(fā)射信號s和濾波器w，在接收端可見，噪聲調(diào)幅干擾及信號旁瓣都被抑制了，且抑制程度相當，信干比與信旁瓣比都為49 dB，而目標所在位置有一個尖峰，達到了算法模型中第二個約束條件。

(a)線性調(diào)頻信號處理結(jié)果

(b)優(yōu)化碼處理結(jié)果圖2 均衡抑制干擾及旁瓣電平優(yōu)化前后對比圖

表2是發(fā)射信號分別為線性調(diào)頻信號及優(yōu)化碼信號，接收端處理分析。

表2 不同信號形式接收端處理結(jié)果

從圖2和表2對干擾及旁瓣抑制能力分析可知，優(yōu)化碼能夠更大力度并均衡抑制干擾信號及旁瓣，提高目標檢測性能。

圖3 均衡抑制干擾及旁瓣迭代效果圖

圖3為均衡抑制干擾及旁瓣迭代效果圖，從每一次優(yōu)化迭代接收端的旁瓣電平和干擾電平，可以看出兩者呈下降趨勢，并逐漸趨于相等，達到了算法模型中第一個約束條件，體現(xiàn)了算法的收斂性和穩(wěn)健性。

圖4(a)為發(fā)射信號為線性調(diào)頻信號時的輸入/輸出信干比對比圖，隨著輸入干信比的增大，輸出信干比逐漸減小，而旁瓣電平維持在固定值39 dB不變。圖4(b)為均衡抑制算法中干擾及旁瓣電平輸入輸出信干比對比圖，隨著輸入干信比在-3～14 dB范圍內(nèi)變化，輸出信干比和主旁瓣比均在49 dB左右。從整體實驗結(jié)果分析，驗證了該算法的可行性，利用拉格朗日法求解算法模型，能夠均衡抑制旁瓣電平和干擾電平，提高了信號的檢測性能。

(a)線性調(diào)頻信號

(b)均衡抑制算法圖4 干擾及旁瓣電平輸入輸出信干比

通過類似方法的求解算法，求解修改后的算法模型，實現(xiàn)動態(tài)抑制干擾性能，并對該模型進行Matlab仿真。發(fā)射信號s碼長N為200，干擾信號為噪聲調(diào)幅干擾，采取圖1干擾形式，干擾抑制能力k=10-6，表示認知雷達接收端約束干擾抑制能力達到-60 dB。圖5為修改后模型接收端處理結(jié)果，可見信干比為58 dB，信旁瓣比為30 dB，驗證了該算法擴展的可行性。圖6為動態(tài)抑制干擾迭代效果圖，可以看出該算法趨于收斂，干擾電平在-60 dB左右。

相比較于均衡抑制算法，固定電平抑制干擾能夠在動態(tài)輸入信干比情況下，更加穩(wěn)定輸出信干比。在實際應(yīng)用中，更改算法中的干擾抑制能力k值，能夠動態(tài)處理干擾抑制范圍，增強了實用性。

圖5 動態(tài)抑制干擾化后處理結(jié)果

圖6 動態(tài)抑制干擾迭代效果圖

4 結(jié)束語

認知雷達采用有效的反饋機制，把接收處理系統(tǒng)“感知”到的目標、場景特征信息反饋到發(fā)射端，指導天線系統(tǒng)采用與之“匹配”的發(fā)射方式。本文旨在認知雷達自適應(yīng)波形設(shè)計，在自身主瓣比約束下抑制干擾的同時，能夠提高對特征目標的檢測性能。針對多約束下的凸優(yōu)化問題，可以采用Lagrange對偶的方法進行優(yōu)化求解。首先引入系數(shù)構(gòu)造Lagrange函數(shù)，接著尋找對偶函數(shù)，然后根據(jù)對偶函數(shù)構(gòu)造新的優(yōu)化函數(shù)，通過對新優(yōu)化問題的求解實現(xiàn)原優(yōu)化問題的求解，最后通過交替迭代，優(yōu)化出發(fā)射信號s和接收濾波器w。仿真結(jié)果表明，該算法能夠均衡抑制干擾及旁瓣電平，并且易于求解，具有可行性。

[1] HAYKIN S, XUE Y, DAVIDSON T N. Optimal Waveform Design for Cognitive Radar[C]∥42nd Asilomar Conference on Signals, Systems and Computers, Pacific Grove, CA: IEEE, 2008:3-7.

[2] AUBRY A, MAIO A D, NAGHSH M M. Optimizing Radar Waveform and Doppler Filter Bank via Generalized Fractional Programming[J]. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, 2015, 9(8):1387-1399.

[3] AUBRY A, DE MAIO A D, JIANG B, et al. Ambiguity Function Shaping for Cognitive Radar via Complex Quartic Optimization[J]. IEEE Trans on Signal Processing, 2013, 61(22):5603-5619.

[4] CUI G, LI H, RANGASWAMY M. MIMO Radar Waveform Design with Constant Modulus and Similarity Constraints[J]. IEEE Trans on Signal Processing, 2014, 62(2):343-353.

[5] LESHEM A, NAPARSTEK O, NEHORAI A. Information Theoretic Adaptive Radar Waveform Design for Multiple Extended Targets[J]. IEEE Journal of Selected Topics in Signal Processing, 2017, 1(1):42-55.

[6] SOLTANALIM M, TANG B, LI J, et al. Joint Design of the Receive Filter and Transmit Sequence for Active Sensing[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2013, 20(5):423-426.