關(guān)天民 ,李寧 ,軒亮,王美令

(1.大連交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116028； 2.江漢大學(xué) 機(jī)電與建筑工程學(xué)院，湖北 武漢 430056； 3.大連交通大學(xué) 動(dòng)車運(yùn)用與維護(hù)工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)

0 引言

機(jī)械臂是通過對人類手臂的模仿，創(chuàng)造出的一種能夠?qū)崿F(xiàn)將手爪移動(dòng)到所需位置和承受爪抓取工件的重量，以及手臂本身的重量等目的的機(jī)械裝置[1- 3].本文所設(shè)計(jì)的機(jī)械臂肩關(guān)節(jié)與現(xiàn)有機(jī)械臂肩關(guān)節(jié)相比主要有兩點(diǎn)區(qū)別：第一，所設(shè)計(jì)的肩關(guān)節(jié)初始端不是固定的，現(xiàn)有工業(yè)機(jī)械臂肩部大部分都與地面相對固定，本文設(shè)計(jì)機(jī)械臂始端固定在軀干，與地面相對運(yùn)動(dòng).另外一個(gè)區(qū)別就是定位不同，本文所設(shè)計(jì)的機(jī)械臂肩關(guān)節(jié)通過結(jié)構(gòu)、驅(qū)動(dòng)仿生定位于輔助機(jī)械臂，既可以單獨(dú)作為一款獨(dú)立的機(jī)械臂，又可以穿戴在人體背部或固定于輪椅等設(shè)備上輔助人上肢完成其單獨(dú)完成有難度的任務(wù).

本文主要對機(jī)械臂肩關(guān)節(jié)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析與仿真，通過確定各關(guān)節(jié)與末端的位置、速度關(guān)系可以為后續(xù)的動(dòng)力學(xué)分析、控制等提供基礎(chǔ)理論和數(shù)據(jù)支持.

1 肩關(guān)節(jié)機(jī)構(gòu)模型

根據(jù)人體上肢運(yùn)動(dòng)原理及結(jié)構(gòu)分析得出，肩部運(yùn)動(dòng)可基本分為大臂前屈/后伸、外展/內(nèi)收和旋內(nèi)/旋外三個(gè)動(dòng)作[4]，如圖1所示，據(jù)此確定機(jī)械臂自由度分配.根據(jù)表1各關(guān)節(jié)活動(dòng)范圍參數(shù)，設(shè)計(jì)肩部各關(guān)節(jié)活動(dòng)范圍.

(a)外展/內(nèi)收(b)前屈/后展 (c)水平外展/水平內(nèi)收

圖1 肩關(guān)節(jié)基本動(dòng)作

現(xiàn)有機(jī)械臂結(jié)構(gòu)根據(jù)各自由度連接方式可以分為串聯(lián)和并聯(lián).串聯(lián)機(jī)械臂具有結(jié)構(gòu)簡單、控制簡便、工作空間大等優(yōu)點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于工業(yè)機(jī)械臂和人形機(jī)器人領(lǐng)域，但其也有誤差積累、動(dòng)力學(xué)特性差等缺陷；并聯(lián)機(jī)械臂相對于串聯(lián)結(jié)構(gòu)物誤差積累、動(dòng)力學(xué)特性較好等優(yōu)點(diǎn)，同時(shí)也具有工作空間小、動(dòng)力學(xué)計(jì)算較繁瑣、控制較復(fù)雜等缺陷[5].

根據(jù)串聯(lián)機(jī)械臂具有結(jié)構(gòu)簡單、控制簡單等優(yōu)點(diǎn)，本文設(shè)計(jì)的機(jī)械臂肩關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)選擇串聯(lián)結(jié)構(gòu)，同時(shí)通過采用縮小各自由度距離、結(jié)構(gòu)輕量化等措施彌補(bǔ)其誤差積累等缺陷.因水平外展/內(nèi)收范圍較小，參照人體胸鎖結(jié)構(gòu)，肩關(guān)節(jié)的偏航關(guān)節(jié)采取液壓活塞桿直線驅(qū)動(dòng)，液壓具有響應(yīng)快速，輸出力或力矩較大，而且因?yàn)榱黧w的體積彈性模量，使其具有一定程度的柔順性，柔順性作用不僅可以保護(hù)機(jī)械結(jié)構(gòu)，而且當(dāng)輔助機(jī)械臂與人體上肢干擾時(shí)有一定程度的保護(hù)上肢的作用，結(jié)構(gòu)如圖2所示.

圖2 肩部偏航關(guān)節(jié)

肩部回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)完成肩關(guān)節(jié)外展內(nèi)收動(dòng)作，采用電機(jī)與帶傳動(dòng)結(jié)合方式，將較重的電機(jī)放在靠近肩關(guān)節(jié)起始端，減少轉(zhuǎn)動(dòng)慣量進(jìn)而減小串聯(lián)機(jī)構(gòu)誤差積累的影響，帶具有彈性，可緩和沖擊.結(jié)構(gòu)如圖3所示.

圖3 肩部回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)

肩部俯仰關(guān)節(jié)完成肩關(guān)節(jié)的前屈后伸動(dòng)作，

圖4 肩部俯仰關(guān)節(jié)

采用電機(jī)直接驅(qū)動(dòng)，放置位置直接放到關(guān)節(jié)處，減少誤差積累，電傳動(dòng)精確度高、控制精密.結(jié)構(gòu)如圖4所示.

本文所設(shè)計(jì)肩關(guān)節(jié)驅(qū)動(dòng)方式采取混合驅(qū)動(dòng)，根據(jù)各關(guān)節(jié)各自由度實(shí)際功能要求選取合適驅(qū)動(dòng)方式，整體結(jié)構(gòu)如圖5所示.這樣配置帶來的優(yōu)點(diǎn)一個(gè)是能源最大化利用，第二個(gè)就是與人體上肢結(jié)構(gòu)更加相似，可以在為人體上肢設(shè)計(jì)的實(shí)際環(huán)境中自由使用.

圖5 肩部整體圖

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)

機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)主要研究在不考慮驅(qū)動(dòng)力時(shí)機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)特性.將機(jī)構(gòu)的空間位移量的解析表示為時(shí)間的函數(shù)就是機(jī)械臂的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，具體研究內(nèi)容包括機(jī)械臂末端位置和機(jī)械臂關(guān)節(jié)變量空間以及姿態(tài)間關(guān)系[6].運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是機(jī)械臂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，既可以確定桿件尺寸與工作空間、軌跡規(guī)劃的關(guān)系，又是之后動(dòng)力學(xué)分析和控制的基礎(chǔ).

為描述肩關(guān)節(jié)相鄰桿件間平移和轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系，采用D-H參數(shù)法.肩關(guān)節(jié)坐標(biāo)系坐標(biāo)原點(diǎn)選擇一個(gè)相對固定位置來進(jìn)行理論計(jì)算，坐標(biāo)系下角標(biāo)1

圖6 肩關(guān)節(jié)坐標(biāo)系示意圖

ai-1αi-1diθi1000θ1(pi/2)20pi/241．6θ2(-pi/2)30-pi/241．6θ3(0)

表示偏航關(guān)節(jié)，2表示回轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)，3表示俯仰關(guān)節(jié)，各關(guān)節(jié)(自由度)坐標(biāo)系如圖6所示，肩關(guān)節(jié)D-H坐標(biāo)系參數(shù)如表2所示.

上表中ai-1表示從zi-1到zi沿xi-1的距離；αi-1表示從zi-1到zi繞xi-1的旋轉(zhuǎn)角度；di表示從xi-1到xi沿zi的距離；θi表示從xi-1到xi繞zi的旋轉(zhuǎn)角度.

2.1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

正運(yùn)動(dòng)學(xué)即已知桿件的幾何參數(shù)，求解相對于參考系的桿件的末端點(diǎn)處的位姿.即已知肩關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)參數(shù)，求出肩關(guān)節(jié)末端位姿.對肩關(guān)節(jié)進(jìn)行正運(yùn)動(dòng)學(xué)分析是整個(gè)肩關(guān)節(jié)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，為后續(xù)的動(dòng)力學(xué)分析及控制提供基礎(chǔ)的關(guān)機(jī)和末端的相互關(guān)系.

(1)

(3)

(4)

如使用[pxpypz]T表示機(jī)械臂肩關(guān)節(jié)最后一個(gè)自由度在基坐標(biāo)系中的位置，[r11r21r31]T表示肩部最后一個(gè)自由度坐標(biāo)系的x3軸在基坐標(biāo)系中的方向矢量，[r12r22r32]T表示肩部最后一個(gè)自由度坐標(biāo)系的y3軸在基坐標(biāo)系中的方向矢量，[r13r23r33]T表示肩部最后一個(gè)自由度坐標(biāo)系的z3軸在基坐標(biāo)系中的方向矢量.肩關(guān)節(jié)末端矩陣又可表示為式.

(5)

2.2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)

如果給定一個(gè)末端位置，要求肩關(guān)節(jié)到達(dá)此位置，各關(guān)節(jié)需要轉(zhuǎn)動(dòng)多少角度，這就是逆運(yùn)動(dòng)學(xué)需要解決的問題，也是機(jī)械臂控制的重要基礎(chǔ).其沒有通用的解法，主要分析方法包括幾何方法、數(shù)值方法解析方法等.下面利用代數(shù)法求解：

末端位置矩陣為

(6)

(7)

令矩陣方程兩端元素(2,3)對應(yīng)相等，得r23c1-r13s1=0

(8)

令矩陣方程兩端元素(3,3)對應(yīng)相等，得c2=r33

θ2=arccosr33

(9)

令矩陣方程兩端元素(3,2)對應(yīng)相等，得-s2s3=r32

(10)

2.3 關(guān)節(jié)速度與加速度計(jì)算

為完成設(shè)計(jì)工作任務(wù)，機(jī)械臂末端執(zhí)行機(jī)構(gòu)不僅要有一定位姿軌跡，還要有一定的速度，研究操作空間速度與關(guān)節(jié)空間速度之間的線性映射關(guān)系——雅可比矩陣[7].雅可比不僅用來表示操作空間與關(guān)節(jié)空間之間速度線性映射關(guān)系，同時(shí)也用來表示兩空間之間力的傳遞關(guān)系.相當(dāng)于是某一特定時(shí)間的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)學(xué).

機(jī)械臂肩關(guān)節(jié)的雅可比矩陣定義為它的操作速度與關(guān)節(jié)速度的線性變換，可以看成是從關(guān)節(jié)空間向操作空間運(yùn)動(dòng)速度的傳動(dòng)比.運(yùn)動(dòng)方程

x=x(q)

(11)

代表操作空間x與關(guān)節(jié)空間q之間的位移關(guān)系.速度是位置對時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，即將式兩邊對時(shí)間t求導(dǎo)，即得出q與x之間的微分關(guān)系

(12)

(13)

式中,i=1,2,…,6；j=1，2,…,n.

(14)

式(14)中第一行第一列，表示第一個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)某一角度時(shí)，執(zhí)行機(jī)構(gòu)相應(yīng)的在x1方向轉(zhuǎn)動(dòng)某個(gè)角度.

利用機(jī)器人工具箱可以快速計(jì)算出任意位置雅可比矩陣，命令為

J=r·jacob0([θ1θ2θ3])

2.4 工作空間

機(jī)械臂的工作空間是評價(jià)其完成任務(wù)能力的一個(gè)重要運(yùn)動(dòng)學(xué)指標(biāo)，其研究方法主要有數(shù)值法、圖解法和代解析法三種[8].肩、肘、腕三個(gè)關(guān)節(jié)綜合作用確定了末端執(zhí)行機(jī)構(gòu)所能到達(dá)的位置與運(yùn)動(dòng)能力.其中肩關(guān)節(jié)因其是機(jī)械臂的結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)，如果能做到其工作空間是封閉近似球體，有助于確定機(jī)械臂最終工作空間也是封閉近似球體，也就是說明從結(jié)構(gòu)上來看機(jī)械臂有完成任務(wù)的基本能力.采用蒙特卡洛法進(jìn)行計(jì)算，當(dāng)各自由度在規(guī)定活動(dòng)范圍隨機(jī)取值時(shí)，通過確定末端執(zhí)行機(jī)構(gòu)的所有隨機(jī)值集合，就得到了機(jī)械臂的工作空間.基本步驟如下：

(1)求解機(jī)械臂肩關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)學(xué)正解，并根據(jù)正解求出末端位姿矩陣;

(2)基于Matlab中隨機(jī)函數(shù)Rand產(chǎn)生n個(gè)[0,1]間的隨機(jī)值;

(3)生成隨機(jī)關(guān)步長(θimax-θimin)*rand(n,1);

(4)將N個(gè)關(guān)節(jié)變量隨機(jī)值代入運(yùn)動(dòng)學(xué)方程中，求得末端N個(gè)位姿矩陣，矩陣集合即為工作空間.

3 運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

Robotics toolbox工具箱提供了機(jī)器人研究所涉及的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)、軌跡規(guī)劃等重要的函數(shù)[9].該工具箱可以對機(jī)器人進(jìn)行圖形仿真，能再現(xiàn)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律或過程，并可以分析實(shí)際控制時(shí)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)[10].

首先需要在matlab環(huán)境中構(gòu)建機(jī)械臂三維模型，在各自由度D-H參數(shù)基礎(chǔ)上，使用Link函數(shù)構(gòu)建模型，使用’modified’口令，表明這是改進(jìn)型D-H參數(shù)法，輸入dirvebot(r)口令生成模型，自動(dòng)生成運(yùn)動(dòng)學(xué)模型界面，肩關(guān)節(jié)的三個(gè)關(guān)節(jié)轉(zhuǎn)動(dòng)角可以在此界面任意調(diào)整，相應(yīng)的肩關(guān)節(jié)模型也會(huì)相應(yīng)的變化，如圖7所示.

圖7 工具箱界面

3.1 正運(yùn)動(dòng)學(xué)驗(yàn)證

使用Robotics Toolbox中fkine函數(shù)對給定一組關(guān)節(jié)值q=[-pi/6 -pi/4pi/8]，求解，得到肩關(guān)節(jié)末端矩陣如下所示：

ans=

將同樣關(guān)節(jié)值代入采用D-H參數(shù)得到的末端矩陣計(jì)算，結(jié)果如下

T=

兩種不同方法得出的肩關(guān)節(jié)末端矩陣一致，證明了理論算法和采用matlab仿真驗(yàn)證的結(jié)果都是正確的.

3.2 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)驗(yàn)證

使用上節(jié)的末端矩陣T，代入ikine函數(shù)，在matalb中運(yùn)算結(jié)果是

qi=[-0.5236 -0.7854 0.3927]

將矩陣T中的數(shù)值代入上章的逆運(yùn)動(dòng)學(xué)解中計(jì)算，可以得到同樣一組解，證明該機(jī)械臂逆運(yùn)動(dòng)學(xué)方程求解正確.

3.3 工作空間

基于蒙特卡羅法仿真，隨機(jī)值取50 000，各個(gè)關(guān)節(jié)角度范圍參照表1.生成肩關(guān)節(jié)工作空間如圖8所示.

圖8 肩關(guān)節(jié)工作空間

如圖8所示，坐標(biāo)原點(diǎn)O表示肩關(guān)節(jié)起始端所在位置，肩關(guān)節(jié)可達(dá)空間是一個(gè)封閉的近似球體，可以到達(dá)此范圍內(nèi)的任意位置，從結(jié)構(gòu)上來看，具有完成任務(wù)的基本能力.

3.4 速度與加速度仿真

用jtraj函數(shù)規(guī)劃肩關(guān)節(jié)空間中各關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)軌跡，得出肩部各關(guān)節(jié)肩部末端位置、角位移、角速度和角加速度隨時(shí)間變化，分別如圖9～圖12所示.

圖9 肩部末端位置隨時(shí)間變化圖

圖10 各關(guān)節(jié)角位移隨時(shí)間變化圖

圖11 各關(guān)節(jié)角速度度隨時(shí)間變化

圖12 各關(guān)節(jié)角加速度隨時(shí)間變化圖

由以上四圖可得，肩關(guān)節(jié)末端位置變化曲線光滑，無拐點(diǎn).偏航關(guān)節(jié)速度等變化最為平穩(wěn)，而在實(shí)際生活中，人體上肢完成水平外展/內(nèi)收運(yùn)動(dòng)相比其他兩個(gè)動(dòng)作頻率較低，所設(shè)計(jì)的肩關(guān)節(jié)能更好的輔助上肢完成類似活動(dòng).

4 結(jié)論

本文根據(jù)人體肩關(guān)節(jié)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)仿生肩部結(jié)構(gòu)，并根據(jù)各小關(guān)節(jié)實(shí)際運(yùn)動(dòng)形式選擇合適的驅(qū)動(dòng)，完成模型.后進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)分析，針對運(yùn)動(dòng)學(xué)推導(dǎo)過程較復(fù)雜且難以驗(yàn)證的問題，運(yùn)用matlab 機(jī)器人工具箱進(jìn)行仿真驗(yàn)證，證明正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算的正確性并進(jìn)行了軌跡規(guī)劃和工作空間確定.經(jīng)驗(yàn)證，本文所設(shè)計(jì)機(jī)械臂肩關(guān)節(jié)工作空間完整，各關(guān)節(jié)角速度變化平穩(wěn)，曲線光滑，滿足肩關(guān)節(jié)運(yùn)動(dòng)要求.完整的運(yùn)動(dòng)學(xué)計(jì)算與仿真為后續(xù)動(dòng)力學(xué)及控制提供了良好的基礎(chǔ).

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