彭真明 陳穎頻,2 蒲 恬 王雨青 何艷敏
(1. 電子科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院,成都,611731; 2. 閩南師范大學(xué)物理與信息工程學(xué)院,漳州,363000)
噪聲是數(shù)據(jù)采集、傳輸及處理等環(huán)節(jié)不可避免的問題。圖像受到噪聲污染則是引起圖像退化和降質(zhì)的主要因素,它產(chǎn)生于圖像的采集、傳輸、加工、記錄等過程。圖像去噪之所以重要,原因是數(shù)據(jù)噪聲廣泛存在于各類工程實際問題,如采集環(huán)境、采集設(shè)備、測量誤差及記數(shù)誤差等。而且噪聲是一個比較廣泛的概念,有很多類型,都是圖像中不希望出現(xiàn)的部分[1]。噪聲的存在,會影響人們對感興趣內(nèi)容的觀看和接收。因此,圖像去噪在雷達探測、光電探測、地質(zhì)勘探[2-5]、遙感應(yīng)用[6]和醫(yī)療影像分析[7]等領(lǐng)域中均有廣泛的應(yīng)用前景。
由于噪聲源的多樣性,去噪一直是富有挑戰(zhàn)性且十分活躍的研究課題,發(fā)展了多種經(jīng)典去噪方法[8-26],如基于深度學(xué)習(xí)的圖像去噪方法[22],基于信號濾波的算法[27]和基于奇異值分解(Singular value decomposition, SVD)的去噪方法[13, 28, 29]。隨著壓縮感知理論[30, 31]的發(fā)展,基于稀疏表示和約束正則化的圖像去噪成為圖像去噪中的最新發(fā)展方向和一項重要的技術(shù)途徑[23-26]。大部分噪聲具有隨機性,而圖像信號則在某些變換域中或者梯度域中存在明顯的稀疏特性。另外,圖像去噪恢復(fù)本質(zhì)上也是一個典型的反問題求解過程,因此稀疏表示和約束正則化自然成為了圖像去噪、去模糊、修復(fù)及特征融合等諸多反問題求解的重要途徑[3]。對高斯噪聲抑制效果較好的稀疏約束方法有基于三維塊匹配方法的去噪技術(shù)(Block matching 3D, BM3D)[32]、K奇異值分解方法(K-singular value decomposition, K-SVD)[29]和基于全變分(Total variation, TV)[8, 33-35]能量泛函技術(shù)的去噪方法等。值得注意的是,部分去噪方法僅對高斯噪聲有較好的噪聲抑制效果,對于其他類型的噪聲,例如椒鹽噪聲、乘性噪聲則效果一般。
由于圖像存在某些變換域的稀疏性[10],稀疏表示及約束正則化是圖像恢復(fù)與重建的重要技術(shù)途徑。其中較為典型的稀疏約束有:多尺度小波變換域的稀疏約束和全變分域的稀疏約束。多尺度小波變換域通過一組過完備正交基對圖像進行稀疏表示,在變換域中對圖像進行稀疏約束,從而提高圖像的恢復(fù)質(zhì)量。然而,由于變換域中對某些系數(shù)直接通過硬閾值或者軟閾值方法加以收縮,會導(dǎo)致空域中的振鈴效應(yīng)。全變分稀疏約束技術(shù)充分考慮到圖像的梯度稀疏先驗知識,并且能很好地應(yīng)用于各類噪聲的去除中,因此基于全變分能量泛函的去噪技術(shù)是一種重要的圖像去噪方法分支,并且適用于多種類型噪聲的圖像去噪問題。然而,基于全變分恢復(fù)的圖像存在較為嚴重的階梯效應(yīng)[34],因此全變分方法出現(xiàn)許多變種,總結(jié)起來可以分為下列幾類:(1)將差分算子加以推廣,例如將橫豎兩方向的差分算子推廣為多方向差分算子[35, 36],或?qū)⒉罘炙阕油茝V為分數(shù)階差分算子[37, 38];(2)針對稀疏收縮算子加以改進,例如將基于L1范數(shù)的全變分推廣為基于Lp偽范數(shù)[39-41]的全變分,提高對圖像梯度稀疏性的刻畫能力;(3)將一階差分梯度推廣為高階差分梯度,例如廣義全變分正則化[42];(4)將像素級別的梯度信息推廣為交疊組合梯度信息,從而提高圖像平滑區(qū)域與邊緣區(qū)域之間的差異性,并有效抑制全變分的階梯效應(yīng),例如交疊組稀疏全變分技術(shù)[43-45]。
本文根據(jù)圖像隨機噪聲的產(chǎn)生機理以及噪聲幅度特點,總結(jié)了圖像噪聲的分類。然后詳細綜述各類基于稀疏表示及正則約束約束的圖像去噪技術(shù),分析各類技術(shù)的去噪機理及其優(yōu)缺點,同時介紹了圖像去噪的評價指標。最后,總結(jié)了各類圖像去噪方法并討論未來圖像去噪技術(shù)的發(fā)展趨勢。
圖像噪聲種類繁多,根據(jù)噪聲幅度的概率密度函數(shù)(Probability density functions,PDF)分布情況可以分為:高斯噪聲(Gaussian noise),瑞利分布噪聲(Rayleigh noise),均勻分布噪聲(Uniform noise),指數(shù)分布噪聲(Exponential noise),椒鹽噪聲(Salt & Pepper noise)和伽馬噪聲(Gamma noise)等。一般情況下,最為常見的是頻譜均勻分布的高斯白噪聲。
按照噪聲與有效信號之間的數(shù)據(jù)依賴關(guān)系,可以將噪聲分類為加性噪聲和乘性噪聲。(1)加性噪聲:每個像素的噪聲不管輸入信號的大小,噪聲總是分別加入到信號中。(2)乘性噪聲:例如光量子噪聲、膠片顆粒噪聲等,噪聲受到信息本身的調(diào)制。為便于分析處理,常將被乘性噪聲污染的信號取自然對數(shù),從而將乘性噪聲轉(zhuǎn)化為加性噪聲處理。
由于不同噪聲特殊的統(tǒng)計特性,在針對不同的噪聲類型時,往往需要進行不同的數(shù)學(xué)建模。例如去除零均值高斯白噪聲時,往往采用L2范數(shù)對數(shù)據(jù)保真項進行建模。在進行椒鹽噪聲建模時,保真項的建模則可采用L1范數(shù)。
假設(shè)噪聲為加性高斯噪聲,則基于各向異性TV(Anisotropic TV, ATV)去噪模型建模如下
(1)
若加性噪聲為椒鹽噪聲,由于椒鹽噪聲具有稀疏統(tǒng)計特性,則數(shù)據(jù)保真項需要用L1范數(shù)來刻畫,數(shù)學(xué)建模需要修改為
(2)
式中RATV(F)定義如下
RATV(F)=‖Kh*F‖1+‖Kv*F‖1
(3)
傳統(tǒng)的全變分模型僅考慮兩方向的梯度信息,而四方向全變分(Quadruple total variation,QTV)模型則更加充分考慮了鄰域梯度信息[35, 36]。下面用圖1來說明四方向全變分的去噪機理,一個點被重噪聲污染的概率遠遠高于周圍4個點都被重噪聲污染的概率,因此考慮4個方向的梯度要比只考慮2個方向的梯度信息獲得的重構(gòu)圖像效果更好。從圖1(a)中可以看到,傳統(tǒng)的二方向全變分模型只能最小化橫向和縱向梯度,從而對橫向和縱向上的圖像噪聲加以抑制,但是對45°方向和135°方向的噪聲則無能為力。而四方向梯度正則項能壓制45°方向和135°方向的噪聲,從而提高圖像復(fù)原的質(zhì)量。四方向全變分模型正則項定義為
RQTV(F)=‖Kh*F‖1+‖Kv*F‖1+‖K45°*F‖1+‖K135°*F‖1
(4)
Wu等人將四方向全變分正則項進一步推廣為四方向分數(shù)階全變分稀疏正則項[38],即充分發(fā)揮了四方向全變分正則項的抗噪能力,又發(fā)揮了分數(shù)階差分算子緩解階梯效應(yīng)的能力,從而獲得更好的去噪效果和更快的收斂速度。
值得注意的是,四方向全變分稀疏正則項還可以和交疊組稀疏正則、Lp偽范數(shù)收縮算子結(jié)合,組合形成新的稀疏正則約束。
圖1 兩方向和四方向全變分正則項示意圖Fig.1 Diagrammatic sketch of two-dimensional and quadruple total variation regular terms
近年來,Selesnick和Chen提出了交疊組稀疏正則項(Overlapping group sparse total variation,OGSTV)[43-45]。該正則項是一種非分離正則項,能更好地保持目標函數(shù)的稀疏性[46]。交疊組稀疏正則項不僅僅考慮到圖像差分域的稀疏性,還挖掘了每個點的鄰域差分信息,從而挖掘了圖像梯度的結(jié)構(gòu)化稀疏特性。通過交疊組合梯度可以提高平滑區(qū)域與邊界區(qū)域的差異,從而抑制TV模型的階梯效應(yīng)。Liu等借鑒Selesnick和Chen的工作,將一維交疊組稀疏正則項推廣為二維交疊組稀疏正則項,并將其引入各向異性全變分模型,用于椒鹽噪聲的去噪和解卷積問題中[47]。Liu等將交疊組稀疏正則項用于Speckle噪聲的去除[48]。交疊組稀疏全變分正則項定義如下[43-45]
ROGSTV(F)=φ(Kh*F)+φ(Kv*F)
(5)
(6)
圖2 二維交疊組稀疏示意圖Fig.2 Diagrammatic sketch of two-dimensional overlapping group sparsity
圖3 RApTV(F)的可行域Fig.3 Feasible domain of RApTV(F)
綜上考慮,學(xué)者們將基于L1范數(shù)的各向異性全變分推廣為如式(7)所示[40],并將參數(shù)p的范圍限定為0
(7)
式中RApTV(F)表示基于Lp偽范數(shù)的各向異性總變分稀疏正則項。
前面討論的各類全變分正則約束都是基于一階梯度信息的稀疏約束,都一定程度受到階梯效應(yīng)的影響。為抑制階梯效應(yīng)和提高TV模型的去噪效果,Bredies, Kunisch和Pock提出廣義全變分模型(Total generalized variation, TGV)[42]。二階廣義全變分稀疏正則約束,定義如下
RTGV2(F)=[α0(‖Kh*F-Vx‖1+‖Kv*F-Vy‖1)+
α1(‖Kh*Vx‖1+‖Kv*Vy‖1+‖Kv*Vx+Kh*Vy‖1)]
(8)
式中:RTGV2(F)表示二階廣義全變分正則項,Vx,Vy∈RN×N;α0和α1是控制一階梯度和二階梯度的平衡參數(shù)。
TGV模型考慮了二階甚至高階的梯度信息,能有效抑制階梯效應(yīng)。它同時約束了圖像的一階梯度與二階梯度,從而有效緩解了全變分模型的階梯效應(yīng)。該模型是全變分模型的推廣,具有凸性、下半連續(xù)性、旋轉(zhuǎn)不變性等眾多優(yōu)秀的數(shù)學(xué)性質(zhì),并能逼近任意多項式[22],引起學(xué)者們的廣泛關(guān)注,并將TGV正則項應(yīng)用于眾多領(lǐng)域。例如,Knoll, Bredies等將廣義全變分模型用于核磁共振成像,取得較好的應(yīng)用效果[52]。因此,TGV稀疏正則化技術(shù)逐漸成為圖像與信號處理領(lǐng)域的新熱點。
變換域去噪技術(shù)是一種非常常見的去噪技術(shù),這類技術(shù)充分考慮到噪聲的隨機性,從變換域中降低噪聲的隨機干擾。例如基于小波變換的硬閾值、軟閾值技術(shù),先將圖像從空域映射到小波域,再對小波系數(shù)進行稀疏化操作,最終恢復(fù)空域圖像。小波變換的小波基函數(shù)缺少多尺度、多角度的基函數(shù),對圖像細節(jié)的刻畫能力有限。近年來,超小波的出現(xiàn)逐步彌補了小波變換的缺陷,基于曲波變換(Curvelet transform)[53]、輪廓波變換(Contourlet transform)[54]、剪切波變換(Shearlet transform)[55-57]等超小波的稀疏變換域去噪技術(shù)相繼出現(xiàn)。圖4展示了超小波基函數(shù)與哈爾小波基函數(shù)之間的區(qū)別。顯然,小波基函數(shù)對曲線的稀疏表示能力遠遠低于超小波。
圖4 小波基函數(shù)與超小波函數(shù)示意圖Fig.4 Diagrammatic sketch of wavelet basic function and beyond wavelet basic function
Dabov等提出BM3D算法[32],是一種典型的稀疏變換域去噪方法,這種方法主要有兩個階段操作:(1)搜索圖像中不同位置的相似塊,如圖5中的“R”方塊,將相似塊組合成三維塊矩陣,然后進行三維稀疏變換,在小波變換域中進行硬閾值濾波[58],完成圖像基本估計;(2)在第一階段基本估計的基礎(chǔ)上,再重新進行塊匹配,獲得新的三維矩陣,然后結(jié)合第一階段中的三維塊矩陣進行小波變換域的協(xié)同維納濾波,最終將三維矩陣進行三維小波逆變換,逐塊估計并利用維納濾波的結(jié)果進行加權(quán)聚合估計,最后將圖像恢復(fù)。BM3D的實現(xiàn)框圖詳見圖5。圖5中,紅色實線表示輸入的信號為含噪聲圖像,紅色虛線表示由含噪聲圖像得到的三維塊矩陣。藍色實線表示輸入的信號為基本估計圖像,藍色虛線表示由基本估計圖像得到的三維塊矩陣。
圖5 BM3D去噪示意圖Fig.5 Diagrammatic sketch of BM3D denoising
近年來提出的重加權(quán)最小核范數(shù)(Weighted nuclear norm minimization, WNNM)方法[59]和基于自適應(yīng)簇字典的雙向低秩表示去噪方法[60]將圖像進行奇異值分解,在變換域中進行奇異值閾值收縮,從而實現(xiàn)圖像的去噪,本質(zhì)上也屬于基于稀疏變換的去噪方法。
前面討論的各類稀疏約束圖像去噪技術(shù),尤其是基于變換域的稀疏約束方法,其稀疏表示字典往往是固定的?;谧值鋵W(xué)習(xí)的稀疏約束圖像去噪方法突破了字典固定的局限性。在對圖像稀疏表示后,固定稀疏表示系數(shù),然后更新字典,并自適應(yīng)地學(xué)習(xí)字典,使得字典對圖像的稀疏表示能力得以提高。圖6給出3種字典,其中圖6(a,b)是離散余弦變換(Discrete cosine transform, DCT)字典和哈爾小波字典,而圖6(c)則是通過K-SVD方法獲得的學(xué)習(xí)字典。通過數(shù)據(jù)驅(qū)動得到的字典能更好地表征圖像細節(jié),從而獲得更好的稀疏表示結(jié)果。
圖6 固定字典與學(xué)習(xí)字典Fig.6 Fixed dictionaries and learning dictionaries
字典學(xué)習(xí)也是稀疏描述方法的一個核心問題,字典由一些典型的模式或者基本元素組成。在稀疏方法中,為一個圖像重建問題學(xué)習(xí)合適的字典將會獲得比固定字典更好的效果。目前,字典學(xué)習(xí)已經(jīng)在圖像去噪、圖像超分辨率重建和圖像修復(fù)等領(lǐng)域得到很好的應(yīng)用。字典學(xué)習(xí)問題簡單介紹如下,記P=[p1,p2,…,pM]∈Rm×M,是一個M個列向量組成的數(shù)據(jù)集。D=[d1,d2,…,dK]∈Rm×K是一個含K個元素的字典。每個數(shù)據(jù)向量pi(表示原圖中第i個圖像塊)可以由字典中少量原子進行稀疏表示,即pi=Dαi,其中αi∈RK×1。令矩陣G=[α1,α2,…,αN]∈RK×M。稀疏建模的目的是學(xué)習(xí)字典D,使得X≈DG,同時要保證對于絕大部分圖像塊,其線性表示系數(shù)αi是稀疏的。在固定字典D時,對系數(shù)矩陣G的計算稱為稀疏編碼階段。反過來,固定稀疏矩陣G時,更新字典D的過程就是字典學(xué)習(xí)階段。因此,字典學(xué)習(xí)本質(zhì)上是稀疏編碼和字典更新的交替迭代過程。本文將字典學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)建??偨Y(jié)為
(9)
式中‖·‖0為L0范數(shù),具體表示矩陣或向量中非零元素的個數(shù)?;谄娈愔捣纸饧夹g(shù)的K-SVD[29]方法是字典學(xué)習(xí)的經(jīng)典方法之一,目前已經(jīng)廣泛應(yīng)用于圖像去噪、超分辨率圖像重建等領(lǐng)域。
數(shù)據(jù)去噪算法的性能評價方法和量化指標很多,依據(jù)不同應(yīng)用領(lǐng)域強調(diào)的評價模型和指標各異。其中,最常用的評價指標有峰值信噪比(Peak signal to noise ratio, PSNR),結(jié)構(gòu)相似性(Structural similarity, SSIM),相對誤差(Relative error, RE)及實時性等[61]。PSNR,SSIM及RE如式(10~12)所示。
(10)
式中:X是原圖;Y是重建圖像。
(11)
(12)
實際應(yīng)用中采用哪一種評價方式,則取決于具體需求。
針對圖像中的隨機噪聲,本文重點論述了基于稀疏表示和正則化約束去噪的原理和關(guān)鍵技術(shù)。最后給出各種去噪方法的去噪評價指標。
基于稀疏表示的不同去噪方法從不同角度加以考慮。例如四方向全變分域稀疏去噪技術(shù)主要考慮了像素相鄰4點同時受到重噪聲污染的概率較小,以此為出發(fā)點來進行去噪?;贚p偽范數(shù)的全變分稀疏約束的圖像去噪技術(shù)則從梯度的稀疏性角度增強了對圖像梯度信息的刻畫能力。而廣義全變分稀疏約束方法則對一階梯度進行稀疏約束的同時,再進行了二階甚至高階梯度的稀疏約束。交疊組稀疏正則約束則充分考慮了鄰域組合梯度,提高平滑區(qū)域與邊緣區(qū)域的差異性。BM3D充分考慮圖像的非局部相似信息,進行二階段的三維協(xié)同濾波。從上述討論可以看到,各種方法的研究出發(fā)點不同,其優(yōu)勢也有所不同,甚至可以互補。例如廣義全變分正則項就沒有考慮到利用Lp偽范數(shù)來刻畫一階、二階梯度信息,因此完全可以考慮將廣義全變分正則項與Lp偽范數(shù)收縮算子結(jié)合起來,形成一種新的正則約束項。Zhang等將這種基于Lp偽范數(shù)的新型廣義全變分應(yīng)用于醫(yī)學(xué)層析成像中[62]。BM3D方法在小波域中進行了硬閾值濾波的操作,不可避免地出現(xiàn)局部的振鈴效應(yīng),超小波域稀疏約束去噪方法也存在類似問題。而利用各類全變分技術(shù)則能夠有效壓制由硬閾值濾波引起的振鈴效應(yīng),所以將全變分稀疏約束引入到BM3D或者超小波稀疏約束中也是一種非常好的去噪思路。因此,綜合多種稀疏約束方法來進行去噪,效果會更明顯。
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