胡 斌，董亞東，陶 征

（鄭州大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，河南 鄭州 450001）

1 引言

超聲電機(jī)具有低速大力矩、響應(yīng)快、分辨率高和抗電磁干擾等優(yōu)點(diǎn)[1]。作為一種全新概念的直接驅(qū)動裝置，超聲電機(jī)在航空航天、機(jī)器人以及微型機(jī)械等領(lǐng)域得到了成功應(yīng)用。作為超聲電機(jī)中的重要一類，桿式多自由度超聲電機(jī)除具有上述一般超聲電機(jī)的特點(diǎn)之外，由于能夠提供兩個或兩個以上自由度的運(yùn)動，以及靈活的結(jié)構(gòu)形式和驅(qū)動方式，從而成為當(dāng)前壓電超聲電機(jī)領(lǐng)域里的一個研究熱點(diǎn)。桿式多自由度超聲電機(jī)利用壓電陶瓷逆壓電效應(yīng)激發(fā)出的縱、彎兩種異形模態(tài)實(shí)現(xiàn)電機(jī)動力輸出[2-4]。然而，根據(jù)振動理論，兩種異形模態(tài)在同一等截面直桿中頻率一般是不相等的。為使縱、彎兩個振動模式能在同一激勵信號作用下達(dá)到共振狀態(tài)，實(shí)現(xiàn)電能對機(jī)械能的最大轉(zhuǎn)換，確保縱、彎兩個工作模態(tài)頻率具有較高的一致性，詳細(xì)闡述了桿式超聲電機(jī)頻率一致性設(shè)計中遇到的三項(xiàng)關(guān)鍵技術(shù)：電機(jī)振子設(shè)計要求及其結(jié)構(gòu)形式的確定；壓電陶瓷片在桿式超聲電機(jī)振子中的最佳安放位置；基于螺栓聯(lián)接非線性系統(tǒng)的桿式超聲電機(jī)精確有限元模型。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證得到了較好的整機(jī)性能。

2 電機(jī)振子設(shè)計要求及結(jié)構(gòu)形式確定

桿式多自由度超聲電機(jī)其工作原理，如圖1所示。三組壓電陶瓷片（PZT）A、B、C用于激發(fā)定子的三個工作模態(tài)：一個一階縱振模態(tài)和兩個二階彎振模態(tài)。通過模態(tài)運(yùn)動的合成，定子端面任一質(zhì)點(diǎn)形成橢圓軌跡運(yùn)動，轉(zhuǎn)子在自重或負(fù)載力矩作用下通過與定子的摩擦接觸實(shí)現(xiàn)繞相應(yīng)軸的轉(zhuǎn)動。

圖1 電機(jī)工作原理Fig.1 The Operating Principle Diagram of the Motor

根據(jù)上述電機(jī)驅(qū)動原理，電機(jī)振子設(shè)計應(yīng)滿足要求：

（1）縱振、彎振頻率要保持良好的一致性；

（2）盡可能使振子頭部有更大的振幅[5-7]。

然而，在等截面圓柱定子中縱、彎兩種振動模態(tài)是很難保持頻率一致性的。等截面梁彎曲自由振動的微分方程和自由振動固有頻率分別為：

又由振動理論，等截面圓柱體直桿縱向自由振動微分方程和自由振動固有頻率為：

由此我們可以看出，為確保電機(jī)工作在兩種工作模態(tài)的諧振下，必須對電機(jī)振子進(jìn)行合理的設(shè)計。研究表明，在桿式超聲電機(jī)定子體開環(huán)形槽，能夠改變定子質(zhì)量以及剛度分布，進(jìn)而保證縱、彎模態(tài)頻率一致性，增大定子頭部振幅。根據(jù)電機(jī)振子邊界條件，設(shè)計電機(jī)振子動力學(xué)有限元模型，該動力學(xué)模型材料屬性，如表1所示。電機(jī)定子、壓電陶瓷片分別選用八節(jié)點(diǎn)SOLID45單元和SOLID5三維耦合場體單元。

表1 材料參數(shù)Tab.1 The Material Parameters

在電機(jī)振子結(jié)構(gòu)設(shè)計中，利用ANSYS有限元軟件進(jìn)行設(shè)計建模與模態(tài)頻率一致性分析，找到了電機(jī)振子體上合理的開槽位置，反復(fù)計算分析凹槽結(jié)構(gòu)參數(shù)對縱、彎振模態(tài)頻率的影響程度，發(fā)現(xiàn)：（1）環(huán)形槽Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ（參見圖2）均使定子的二階彎頻和一階縱頻降低；（2）振子的內(nèi)徑對二階彎振、一階縱振的影響均不大，槽Ⅰ對二階彎振影響大，槽Ⅱ、Ⅲ對一階縱振影響大；（3）環(huán)形槽的寬度對以上頻率均有一定影響，但三者變化的靈敏度基本相當(dāng)，故不能通過改變環(huán)形槽寬度縮小縱、彎頻率差，而應(yīng)改變環(huán)形槽深度及開設(shè)位置。據(jù)此，經(jīng)多次試算最終確定了滿足要求的電機(jī)動力學(xué)有限元模型，其結(jié)構(gòu)尺寸，如圖2所示。

圖2 電機(jī)振子結(jié)構(gòu)尺寸Fig.2 The Structural Parameters of the Motor Vibrator

3 壓電陶瓷片在振子中最佳安放位置

壓電材料作為桿式超聲電機(jī)中的關(guān)鍵元件之一，是將壓電陶瓷的電能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能的核心部分，其安放位置的選擇直接決定整個超聲電機(jī)的動力輸出性能。桿式多自由度超聲電機(jī)的激勵二階彎振和一階縱振的三組壓電陶瓷片安裝布局，如圖3所示。其中每組三片，兩片工作片，一片檢測片（或電極片）；二階彎振陶瓷片組A、B每一片壓電陶瓷分為二個極性相反的區(qū)，通以高頻交流電后，一區(qū)伸長，另一區(qū)收縮，同理當(dāng)施加高頻交流電正負(fù)號改變，其變形正好相反；一階縱振陶瓷片組C每一片壓電陶瓷極性相同。壓電元件的最佳安放位置是各自所激發(fā)出振型的節(jié)平面處[8-9]。這樣可以使壓電元件的振動能量最有效地傳遞給振子。對于桿式多自由度超聲電機(jī)來說，其采用一階縱振、二階彎振模態(tài)的工作模態(tài)頻率，在有限元分析中，筆者發(fā)現(xiàn)，基于上述結(jié)構(gòu)設(shè)計的振子有限元模型，對于其一階縱振模態(tài)，應(yīng)變最大位于其節(jié)點(diǎn)位置；對于其二階彎振模態(tài)，應(yīng)變最大處于其波峰（或波谷）位置。由此，在振子動力學(xué)設(shè)計時，得到了基于上述結(jié)構(gòu)形式（圖2）的振子壓電陶瓷片安放位置，即在縱振模態(tài)的節(jié)點(diǎn)和彎振模態(tài)的波峰（或波谷）處應(yīng)分別安放縱振、彎振壓電陶瓷片。有限元模型各階振型，如圖4所示?；谏鲜稣褡釉O(shè)計結(jié)構(gòu)尺寸加工、制造的樣機(jī)振子工作模態(tài)頻率，如表2、圖5所示。

圖3 壓電陶瓷片安裝布局圖Fig.3 The Installation Layout Diagram of Piezoelectric Ceramics

圖4 有限元模型各階振型圖Fig.4 The Vibration Modes Diagram of the Contact Model

表2 樣機(jī)振子工作模態(tài)頻率（Hz）Tab.2 The Working Mode Frequency of the Prototype Motor Vibrator（Hz）

圖5 樣機(jī)振子掃頻及定頻測試結(jié)果Fig．5 Frequency Reponses From Laser Vibrometer

4 螺栓聯(lián)接非線性有限元模型

桿式多自由度超聲電機(jī)振子采用蘭杰文振子結(jié)構(gòu)形式，由螺栓將金屬彈性體頭部、下部、尾部、三組壓電陶瓷片緊固為一體。有螺栓聯(lián)接必然存在聯(lián)接面的接觸[10]。螺栓聯(lián)接結(jié)構(gòu)非線性問題主要源于聯(lián)接面接觸、摩擦等。接觸是螺栓聯(lián)接的基本特征，而接觸剛度作為結(jié)構(gòu)整體剛度重要組成部分對其動力學(xué)特性影響很大，故在有限元動態(tài)建模過程中需考慮這一非線性本質(zhì)問題；其次，螺栓聯(lián)接結(jié)構(gòu)往往需要施加預(yù)緊力/力矩，其值大小直接決定聯(lián)接面接觸狀態(tài)。在預(yù)緊力/力矩載荷作用下，電機(jī)振子各元件之間通過聯(lián)接面接觸和摩擦傳遞力/力矩，因此，預(yù)緊力和摩擦系數(shù)的影響必須考慮在內(nèi)。有上述分析，建立的基于螺栓聯(lián)接非線性系統(tǒng)的電機(jī)振子有限元模型，共有35727個單元，50380個節(jié)點(diǎn)。其中，采用預(yù)緊力單元PRETS179施加預(yù)應(yīng)力3000N；采用目標(biāo)單元TARGE170模擬剛性目標(biāo)面，接觸單元CONTA174模擬柔性接觸面，依次建立金屬彈性體與壓電陶瓷片、螺栓之間的接觸行為；法向接觸剛度設(shè)置 8．56（介于 0．01～10），摩擦系數(shù)設(shè)置為0．14；螺栓單元類型SOLID45，材質(zhì)為45#；邊界條件兩端自由。首先在考慮接觸特性及預(yù)緊力的情況下，完成靜態(tài)非線性分析進(jìn)而把獲得的應(yīng)力以附加剛度的形式疊加到電機(jī)振子整體結(jié)構(gòu)之上，然后對帶有附加剛度的電機(jī)振子進(jìn)行模態(tài)分析，得到各階工作模態(tài)頻率，如表3所示。由表3可知，考慮接觸和螺栓預(yù)緊力的電機(jī)振子有限元模型計算結(jié)果與試驗(yàn)結(jié)果基本一致，ANSYS計算的二階彎振頻率（I、II）、一階縱振頻率與試驗(yàn)結(jié)果誤差分別為3．8%、4．4%、4．9%。理想的結(jié)果也驗(yàn)證了我們的接觸問題分析和建立的接觸模型是正確合理的。

表3 基于螺栓聯(lián)接有限元模型的工作模態(tài)頻率（Hz）Tab.3 The Working Mode Frequency of the Finite Element Model Based on Bolt-Joint（Hz）

5 結(jié)論

從實(shí)現(xiàn)該種電機(jī)的運(yùn)動和提高其輸出性能的角度出發(fā)，首先根據(jù)電機(jī)結(jié)構(gòu)和工作原理對振子進(jìn)行動力學(xué)設(shè)計及確定其結(jié)構(gòu)形式以及壓電陶瓷片在桿式超聲電機(jī)振子中的最佳安放位置；其次，在基于螺栓聯(lián)接非線性系統(tǒng)的桿式超聲電機(jī)精確有限元建模中考慮了接觸和螺栓預(yù)緊力，建立了準(zhǔn)確反映電機(jī)實(shí)際結(jié)構(gòu)特性的精確有限元模型。實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證表明，電機(jī)輸出性能得到很大改善，對桿式超聲電機(jī)設(shè)計及動力學(xué)分析具有一定的參考價值。

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