閆 英,周中林,袁 明,甘 蜜

（1.西南科技大學(xué) 經(jīng)濟(jì)管理學(xué)院,四川 綿陽(yáng) 621010；2.西南交通大學(xué) 交通運(yùn)輸與物流學(xué)院,成都 610031）

0 引言

在現(xiàn)實(shí)的決策過(guò)程中，由于問(wèn)題的復(fù)雜性、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)的限制和預(yù)測(cè)的不確定性，方案的屬性或決策者偏好有可能表現(xiàn)為隨機(jī)變量，即決策者無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)知未來(lái)的狀態(tài)，但可以預(yù)估各種可能狀態(tài)的概率，這類(lèi)決策問(wèn)題被稱(chēng)為風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題。由于風(fēng)險(xiǎn)型決策廣泛存在于項(xiàng)目投資分析、風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估、新產(chǎn)品研發(fā)評(píng)估等社會(huì)經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，因此近年來(lái)國(guó)內(nèi)外學(xué)者開(kāi)展了較多研究，其中區(qū)間概率信息條件下的風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題受到了較多關(guān)注[1-4]。

區(qū)間概率信息條件下風(fēng)險(xiǎn)型決策的關(guān)鍵是如何將區(qū)間概率合理轉(zhuǎn)化為點(diǎn)概率，從而便于后續(xù)決策。文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[2]均采用C-OWA算子將區(qū)間概率轉(zhuǎn)化為點(diǎn)概率，具有一定的合理性，但基本單位區(qū)間單調(diào)函數(shù)的確定具有較大的主觀隨意性，文中也未指出其確定的原則，因此有可能影響到?jīng)Q策的準(zhǔn)確性；文獻(xiàn)[3]從信息熵的角度出發(fā)，提出了一種基于最大熵準(zhǔn)則的區(qū)間概率估計(jì)方法，通過(guò)求解最優(yōu)規(guī)劃問(wèn)題可以將區(qū)間概率轉(zhuǎn)化為點(diǎn)概率，但該方法存在區(qū)間概率改變時(shí)最優(yōu)解可能不變的問(wèn)題，可能得出有悖于常理的結(jié)論（詳見(jiàn)實(shí)例分析）；文獻(xiàn)[4]提出了一種基于Monte Carlo模擬法的區(qū)間概率轉(zhuǎn)化方法，該方法在其均勻分布假設(shè)下抽樣求得的點(diǎn)概率實(shí)際上逼近于區(qū)間概率的中值，且不能保證轉(zhuǎn)化后的點(diǎn)概率之和等于1。

實(shí)際上，從證據(jù)理論的角度來(lái)看，區(qū)間概率的下界即為信任測(cè)度，它表示對(duì)某狀態(tài)發(fā)生為“真”的信任程度，是一種偏保守的估計(jì)；區(qū)間概率的上界即為似真測(cè)度，它表示對(duì)某狀態(tài)不為“假”的信任程度，是一種偏激進(jìn)的估計(jì)；它們與概率真值之間存在某種聯(lián)系。基于此，本文擬從證據(jù)理論的視角出發(fā)，考慮所有狀態(tài)發(fā)生可能性的信任測(cè)度和似真測(cè)度，從已知信息中推測(cè)概率真值的最可能估計(jì)值，從而較為客觀的將區(qū)間概率條件下的風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)概率下的風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題。

1 證據(jù)理論簡(jiǎn)介

定義1[5]：設(shè) Θ為辨識(shí)框架（The Frame of Discernment），m:2Θ→[0，1]是從冪集到區(qū)間數(shù)[0,1]的一個(gè)映射，即基本概率分配（Basic Probability Assignment，BPA），?X，Y?Θ ，稱(chēng)由定義的函數(shù)Bel:2Θ→[0，1]為 Θ 上的信任函數(shù)（Belief Function）；而由 Pl()X=定義的函數(shù)Pl:2Θ→[0，1]為Θ上的似真函數(shù)（Plausibility Function）；X的信任區(qū)間為 P(X)=[Bel(X)，Pl(X)]。

定義2[6]：設(shè)m是從冪集到區(qū)間數(shù)[0,1]的一個(gè)映射，即m:2Θ→[0，1]，對(duì)于Θ的 n個(gè)子集 Ai(i=1，2，…，n) ，其區(qū)間基本概率分配（Interval Basic Probability Assignment，IBPA）為：

其中0≤ci≤di≤1。若IBPA同時(shí)滿(mǎn)足以下條件：

則稱(chēng)m為有效的IBPA。

定義3[7]：若 m(Ai)=[ci，di]滿(mǎn)足式（2），為有效的IBPA，當(dāng)cj、dj同時(shí)滿(mǎn)足以下條件時(shí)：

稱(chēng)m為歸一化的IBPA。

若m為有效的IBPA但未歸一化，則為了縮小區(qū)間寬度、降低信息冗余，需要按下式進(jìn)行歸一化處理：

2 證據(jù)理論視角下的區(qū)間概率信息轉(zhuǎn)化方法

設(shè)需要在方案 ai(ai∈l，i=1，2，…，n)（l為決策空間）中做出決策，其中l(wèi)有m個(gè)自然狀態(tài)，第j個(gè)狀態(tài)發(fā)生的概率為 Pj=[cj，dj](j=1，2，…，m)，方案 ai在狀態(tài) j情況下的效用（或收益）為uij。根據(jù)EMV準(zhǔn)則各方案的期望效用或收益為：

對(duì)于一組區(qū)間概率信息 Pj=[cj，dj](j=1，2，…，m)，從概率論的角度來(lái)說(shuō)有數(shù)學(xué)期望E(∑ )Pj=1；從決策者的角度來(lái)說(shuō)希望Belj無(wú)限逼近Plj，這樣區(qū)間概率就精確化為點(diǎn)概率，便于決策。然而，∑Belj≤1，因此1-∑Belj反映了已知區(qū)間概率信息對(duì)真實(shí)概率Pj低估的部分，稱(chēng)為下偏離度；∑Plj≤1，因此∑Plj-1反映了已知區(qū)間概率信息對(duì)真實(shí)概率Pj高估的部分，稱(chēng)為上偏離度。記：

則若α>β，即下偏離度大于上偏離度，說(shuō)明相對(duì)似真函數(shù)，區(qū)間概率信息對(duì)信任函數(shù)的賦值過(guò)于保守，因此其點(diǎn)概率估計(jì)值應(yīng)朝Plj的方向調(diào)整；反之，若α＜β，則說(shuō)明相對(duì)似真函數(shù)，區(qū)間概率信息對(duì)信任函數(shù)的賦值過(guò)于冒進(jìn)，因此其點(diǎn)概率估計(jì)值應(yīng)朝偏向Belj的方向調(diào)整。

基于以上思想，提出區(qū)間概率信息向點(diǎn)概率轉(zhuǎn)化的公式如下：

式（7）具有以下性質(zhì)：

證明：

證明：當(dāng)α=0時(shí)，有∑Belj=1，根據(jù)式（3）有 Belj≤Plj，同時(shí)根據(jù)式（2）有Belj≤Plj，兩式聯(lián)立求解有Belj=Plj。

當(dāng)β=0時(shí)證明過(guò)程類(lèi)似，在此不再贅述。

3 區(qū)間概率信息條件下的風(fēng)險(xiǎn)型決策

區(qū)間概率信息條件下的風(fēng)險(xiǎn)型決策步驟如下：

步驟1：根據(jù)式（2）檢驗(yàn)區(qū)間概率信息是否為有效的IBPA。若無(wú)效，則需組織相關(guān)專(zhuān)家、進(jìn)一步調(diào)研和評(píng)估后重新給出區(qū)間概率的預(yù)測(cè)值；

步驟2：若區(qū)間概率信息為有效的IBPA，則根據(jù)式（3）檢驗(yàn)區(qū)間概率是否為歸一化的IBPA，若不是，則按式（4）進(jìn)行歸一化處理；

步驟3：根據(jù)式（6）計(jì)算上、下偏離度α、β；

步驟4：根據(jù)式（7）將區(qū)間概率信息轉(zhuǎn)化為點(diǎn)概率信息；

步驟5：根據(jù)EMV準(zhǔn)則選出期望效用或收益最大的方案：

4 實(shí)例分析

例1：為便于比較，引用文獻(xiàn)[3]中的例1進(jìn)行分析。某廠決定生產(chǎn)一種新產(chǎn)品，有以下3個(gè)方案供決策：建立新車(chē)間大量生產(chǎn)(α1)；改造原有車(chē)間達(dá)到中等產(chǎn)量(α2)；利用原有車(chē)間設(shè)備小批試產(chǎn)()α3。市場(chǎng)對(duì)該產(chǎn)品的需求情況存在暢銷(xiāo)、需求偏好、需求稍差和滯銷(xiāo)4種自然狀態(tài)，3種方案4種自然狀態(tài)下的每月利潤(rùn)如下頁(yè)表1所示。

根據(jù)市場(chǎng)調(diào)研、專(zhuān)家分析等綜合研究，預(yù)測(cè)產(chǎn)品“暢銷(xiāo)”的可能性為10%～25%，“需求偏好”的可能性為30%～60%，“需求稍差”的可能性為15%～35%，“滯銷(xiāo)”的可能性為5%～15%?，F(xiàn)需根據(jù)以上信息確定最優(yōu)方案。

解：

步驟1：經(jīng)檢驗(yàn)，區(qū)間概率信息滿(mǎn)足式（2），為有效的IBPA；

步驟2：根據(jù)式（3），驗(yàn)證區(qū)間概率信息為歸一化的IBPA，因此無(wú)須再進(jìn)行歸一化處理；

表1 各方案每月利潤(rùn)表

步驟3：根據(jù)式（6）計(jì)算 α、β，結(jié)果為 α =0.4，β=0.55；

步驟4：根據(jù)式（7）將區(qū)間概率信息轉(zhuǎn)化為點(diǎn)概率，結(jié)果如表2所示。表2中同時(shí)列出了本文方法和文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[3]法得到的點(diǎn)概率估計(jì)值。

表2 不同方法點(diǎn)概率估計(jì)值(例2)

步驟5：根據(jù)式（8）計(jì)算期望收益，結(jié)果如表3所示。表3還給出了文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[3]的計(jì)算結(jié)果，可見(jiàn)本文方法和文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[3]對(duì)決策方案的排序相同，即α1>α2>α3，最優(yōu)方案為α1，表明了本文方法的正確性。

表3 不同方法EVM值計(jì)算結(jié)果(例1)

例2：若在例1中，通過(guò)分析預(yù)測(cè)產(chǎn)品“需求稍差”的可能性為15%～60%，其他已知條件不變，現(xiàn)需根據(jù)以上信息重新確定最優(yōu)方案。

解：

步驟1：經(jīng)檢驗(yàn)，區(qū)間概率信息滿(mǎn)足式（2），為有效的IBPA；

步驟2：經(jīng)檢驗(yàn)，區(qū)間概率[0.15,0.6]不滿(mǎn)足式（3），因此需要按式（4）進(jìn)行歸一化處理，結(jié)果為[0.15,0.55]；

步驟3：根據(jù)式（6）計(jì)算 α、β，結(jié)果為 α=0.4，β=0.35；

步驟4：根據(jù)式（7）將區(qū)間概率信息轉(zhuǎn)化為點(diǎn)概率，結(jié)果如表4所示。表4中同時(shí)列出了本文方法和文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[3]、文獻(xiàn)[4]方法得到的點(diǎn)概率估計(jì)值。

表4 不同方法點(diǎn)概率估計(jì)值(例2)

步驟5：根據(jù)EMV準(zhǔn)則計(jì)算期望收益，結(jié)果如表5所示。表5還給出了采用文獻(xiàn)[1]、文獻(xiàn)[3]、文獻(xiàn)[4]方法的計(jì)算結(jié)果。

從表5可見(jiàn)，本文方法和C-OWA算子法得出的結(jié)果極為相近，本文方法、C-OWA算子法、Monte Carlo法得出的決策方案排序均相同，即α1>α2>α3，最優(yōu)方案為α2；而熵極大化法的排序結(jié)果卻是α1>α2>α3，和其他3種方法得出的結(jié)論相矛盾。仔細(xì)對(duì)比表2與表4可發(fā)現(xiàn)，產(chǎn)品“需求稍差”的可能性由例1中的15%～35%變?yōu)槔?中的15%～60%，從直觀的分析來(lái)看，轉(zhuǎn)化后的點(diǎn)概率應(yīng)有所增加，本文方法和C-OWA算子法、Monte Carlo法獲得的點(diǎn)概率估計(jì)值均和直觀分析相符；而熵極大化法在例1、例2兩種不同條件下得到的點(diǎn)概率估計(jì)值竟然完全相同，顯然和客觀信息不符，因此才會(huì)最終得到與其他方法相悖的排序結(jié)果。從熵極大化法建立的最優(yōu)化問(wèn)題來(lái)看，當(dāng)區(qū)間概率發(fā)生改變時(shí)，最優(yōu)化問(wèn)題改變的僅僅是解得可行域，實(shí)際上，在一個(gè)較為寬泛的區(qū)間內(nèi)，最優(yōu)解是相同的，這就是區(qū)間概率信息改變而轉(zhuǎn)化后的點(diǎn)概率不變的根本原因。雖然Monte Carlo法對(duì)決策方案的排序與本文方法相同，但從表4可知轉(zhuǎn)化后的點(diǎn)概率不滿(mǎn)足，因此對(duì)EMV值的評(píng)價(jià)是不準(zhǔn)確的。

表5 不同方法EVM值計(jì)算結(jié)果(例2)

5 結(jié)束語(yǔ)

區(qū)間概率信息條件下的風(fēng)險(xiǎn)型決策是決策領(lǐng)域的一類(lèi)特殊問(wèn)題，本文從證據(jù)理論的視角，充分挖掘已知區(qū)間概率中隱含的信息，基于信任測(cè)度和似然測(cè)度提出了一種新方法。與已有幾種方法的對(duì)比表明，新方法簡(jiǎn)單明了，具有較好的概率統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，且解釋性較好，為區(qū)間概率信息條件下的風(fēng)險(xiǎn)型決策問(wèn)題提供一種新的解決途徑，具有較強(qiáng)的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。

[1]陳春芳,朱傳喜.區(qū)間概率信息條件下的風(fēng)險(xiǎn)型決策方法[J].統(tǒng)計(jì)與決策,2009，(8).

[2]劉培德,張新,金芳.區(qū)間概率條件下屬性值為不確定語(yǔ)言變量的風(fēng)險(xiǎn)型多屬性決策研究[J].管理評(píng)論,2012,24(4).

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