陳衛(wèi)忠

(蘇州市職業(yè)大學(xué) 數(shù)理部，江蘇 蘇州 215104)

1 問題提出

鉛酸電池作為電源被廣泛用于工業(yè)、軍事、日常生活中。在鉛酸電池以恒定電流強(qiáng)度放電過程中，電壓隨放電時間單調(diào)下降，直到額定的最低保護(hù)電壓(Um，一般為9 V)。從充滿電開始放電，電壓隨時間變化的關(guān)系稱為放電曲線。電池在當(dāng)前負(fù)荷下還能供電多長時間(即以當(dāng)前電流強(qiáng)度放電到Um的剩余放電時間)是使用中必須回答的問題。電池通過較長時間使用或放置，充滿電后的荷電狀態(tài)會發(fā)生衰減[1]。

本研究參照2016高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽C題，利用題目中給出兩組數(shù)據(jù)：同一生產(chǎn)批次電池出廠時以不同電流強(qiáng)度放電測試的完整放電曲線的采樣數(shù)據(jù)；同一電池在不同衰減狀態(tài)下以同一電流強(qiáng)度從充滿電開始放電的記錄數(shù)據(jù)，提出3個問題。問題1：用初等函數(shù)表示各放電曲線，并分別給出各放電曲線的平均相對誤差MRE；問題2：建立在20 A到100 A之間任一恒定電流強(qiáng)度放電時的放電曲線的數(shù)學(xué)模型，并用MRE評估模型的精度；問題3：預(yù)測電池某一衰減狀態(tài)下的剩余放電時間[1]。

2 問題分析和模型假設(shè)

為解決以上3個問題，通過對所列數(shù)據(jù)的分析，對3個問題分別作分析和模型假設(shè)。

對問題1，根據(jù)放電曲線的定義，對不同的電流強(qiáng)度下的采樣數(shù)據(jù)進(jìn)行多項式擬合得到放電曲線函數(shù)。根據(jù)給定的平均相對誤差MRE的定義，在每組數(shù)據(jù)中以不超過0.005 V電壓間隔分別取出231個電壓樣本點(diǎn)，可以給出各放電曲線的MRE。

對問題2，將20 A到100 A之間的電流強(qiáng)度分割為無數(shù)個電流強(qiáng)度間距趨于無窮小的連續(xù)的電流強(qiáng)度，通過多項式擬合得到連續(xù)的放電曲線，最終建立放電曲面模型，對整個曲面進(jìn)行MRE值計算。

對問題3，對鉛酸電池在4種不同的衰減狀態(tài)下的數(shù)據(jù)進(jìn)行曲線擬合，進(jìn)一步擬合出曲面模型，將電池某一衰減狀態(tài)下的電壓數(shù)據(jù)代入就可以得到對應(yīng)的剩余放電時間。

3 模型的建立和求解

3.1 問題1模型的建立和求解

根據(jù)出廠時相同批次鉛酸電池在不同電流強(qiáng)度下的放電數(shù)據(jù)，采用多項式擬合對數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到鉛酸電池在不同電流強(qiáng)度下的放電曲線函數(shù)，計算平均相對誤差MRE，得到電池剩余放電時間[2]。

當(dāng)電流強(qiáng)度為20 A時，將不同的電壓與放電時間的數(shù)據(jù)用Mathematica擬合出放電曲線，如圖1所示，得到放電曲線函數(shù)y =- 1 03 638 + 2 4 015. 5 U -1 342. 0 7 U2

圖1 擬合的放電曲線

進(jìn)一步，由于放電曲線預(yù)測電池剩余容量/放電時間的精度取決于放電曲線在低電壓段的質(zhì)量，并且放電曲線等時間間隔采樣在低電壓段的采樣點(diǎn)相對稀疏。因此，從最低保護(hù)電壓9 V開始，以0.005 V為最大間隔區(qū)間抽取電壓樣本點(diǎn)，抽取電壓樣本點(diǎn)所在的區(qū)間內(nèi)可采樣數(shù)據(jù)越少，那么電壓樣本點(diǎn)越精確。為此在每組數(shù)據(jù)中分別提取出231個電壓樣本點(diǎn)。在某一電流強(qiáng)度下，以放電時間的預(yù)測值與采樣值的平均相對誤差來定義MRE，即

式中：yi表示放電時間的預(yù)測值；y?i表示放電時間的采樣值，i=1，2，…，231。當(dāng)鉛酸電池放電電流為20 A，平均相對誤差MRE=0.42%。

當(dāng)電池在不同電流強(qiáng)度下使用時，盡管放電曲線有差異，但可以統(tǒng)一定義某一電壓下電池剩余放電時間T為最低保護(hù)電壓所對應(yīng)的時間預(yù)測值y(Um)減去各個電壓下所對應(yīng)的時間預(yù)測值y(U)，即T=y(Um)-y(U)[3]。當(dāng)電流強(qiáng)度分別為30 A、40 A、50 A、60 A、70 A時，用同樣的方法可以擬合出鉛酸電池在不同電流強(qiáng)度下的放電曲線，建立放電曲線函數(shù)，計算對應(yīng)的MRE，得到電池剩余放電時間(見表1)。

表1 電池剩余放電時間

3.2 問題2模型的建立和求解

為了得到任一恒定電流強(qiáng)度下的鉛酸電池放電曲線，可以將20 A到100 A之間的電流強(qiáng)度分割為無數(shù)個電流強(qiáng)度間距趨于無窮小的連續(xù)的電流強(qiáng)度，通過多項式擬合得到連續(xù)的放電曲線，最終得到一個放電曲面，如圖2所示。得到放電曲面函數(shù)

將電壓從最低保護(hù)電壓9 V開始以0.005 V為最大間隔分別提取出231個電壓樣本點(diǎn)。在n類電流強(qiáng)度下，通過放電時間的預(yù)測值與采樣值的平均相對誤差來計算出相對應(yīng)的MRE，即

3.3 對問題3模型的建立和求解

觀察同一鉛酸電池在不同衰減狀態(tài)下以相同的電流強(qiáng)度從充滿電開始放電的記錄數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)由于鉛酸電池在衰減狀態(tài)3的情況下數(shù)據(jù)不完整，因此僅僅用衰減狀態(tài)3下的數(shù)據(jù)擬合出的放電曲線精度較低。因此采用問題2的方法，利用其他數(shù)據(jù)比較完整的衰減狀態(tài)下的數(shù)據(jù)進(jìn)行多項式擬合，得到不同衰減狀態(tài)下的放電曲線。進(jìn)一步，將幾種不同衰減狀態(tài)下的放電曲線放入同一曲面中進(jìn)行擬合，得出放電曲面模型，如圖3所示，得到放電曲面函數(shù)

圖2 放電曲面

取L=3，得出衰減狀態(tài)3的放電曲線，如圖4所示，獲得放電曲面函數(shù)

因此衰減狀態(tài)3的情況下電池剩余放電時間T為最低保護(hù)電壓所對應(yīng)的時間預(yù)測值y(Um)減去各個電壓下所對應(yīng)的時間預(yù)測值y(Um)，即T=y(Um)-y(U)。

圖3 不同衰減狀態(tài)下的放電曲面模型

圖4 衰減狀態(tài)3的放電曲線

4 結(jié)論

本研究以精度較高的多項式函數(shù)擬合了鉛酸電池的放電曲線，得到放電曲線函數(shù)，并分別給出各放電曲線的平均相對誤差MRE。為了得到任一恒定電流強(qiáng)度以及不同電池衰減狀態(tài)下的放電曲線，擬合出放電曲面模型，較好地解決了鉛酸電池在當(dāng)前狀態(tài)下剩余放電時間問題，有著實際的應(yīng)用意義。

[1]教育部高等教育司，中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會.中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽[EB/OL].(2016-09-09)[2017-07-05].http：//www.mcm.edu.cn/html cn/a l ffc4c5587c8a6f96eacefb8dbcc34e.html.

[2]李勃，劉云峰，鄭益.蓄電池剩余放電時間綜合分析模型研究[J].煤炭技術(shù)，2011，30(12) ：51-53.

[3]劉霞，鄒彥艷，金梅，等.鋰電池電量的動態(tài)預(yù)測[J].大慶石油學(xué)院學(xué)報，2004，28(2) ：81-83.