高慧明

分離（常數(shù)）參數(shù)法是高中數(shù)學(xué)中比較常見的數(shù)學(xué)思想方法，求參數(shù)的范圍常常與分類討論、方程的根與零點(diǎn)等基本思想方法相聯(lián)系，其中與二次函數(shù)相關(guān)的充分體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合及分類思想方法的題目最為常見.與二次函數(shù)有關(guān)的求解參數(shù)的題目，相當(dāng)一部分題目都可以避開二次函數(shù)，使用分離變量，使得做題的正確率大大提高，隨著分離變量的廣泛使用，越來越多的壓軸題都需要使用該思想方法.

一、分離常數(shù)法

分離常數(shù)法在含有兩個(gè)量（一個(gè)常量和一個(gè)變量）的關(guān)系式（不等式或方程）中，要求變量的取值范圍，可以將變量和常量分離（即變量和常量各在式子的一端），從而求出變量的取值范圍.

1. 用分離常數(shù)法求分式函數(shù)的最值

例1. 函數(shù)f（x）=（x≥2）的最大值為_________.

【解析】f（x）=1+≤1+1=2，即最大值為2.

2. 用分離常數(shù)法求函數(shù)的值域

分離常數(shù)法是研究分式函數(shù)的一種代數(shù)變形的常用方法，主要的分式函數(shù)有y=，y=，y=，y= 等，解題的關(guān)鍵是通過恒等變形從分式函數(shù)中分離出常數(shù).

例2. 函數(shù)y=（x>1）的最小值是（ ）

A. 2+2 B. 2-2 C. 2 D. 2

【解析】∵x>1，∴x-1>0.

∴y===

==x-1++2≥2+2.

3. 用分離常數(shù)法判斷分式函數(shù)的單調(diào)性

例3. 已知函數(shù)f（x）=x2+2ax-lnx，若f（x）在區(qū)間[，2]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍______.

【解析】∵f′（x）=x+2a-≥0在[，2]恒成立，即2a≥-x+在[，2]恒成立，

∵（-x+）max=，∴2a≥，即a≥.

二、分離參數(shù)法

分離參數(shù)法是求參數(shù)的取值范圍的一種常用方法，通過分離參數(shù)，用函數(shù)觀點(diǎn)討論主變量的變化情況，由此我們可以確定參數(shù)的變化范圍.這種方法可以避免分類討論的麻煩，從而使問題得以順利解決.分離參數(shù)法在解決有關(guān)不等式恒成立、不等式有解、函數(shù)有零點(diǎn)、函數(shù)單調(diào)性中參數(shù)的取值范圍問題時(shí)經(jīng)常用到. 解題的關(guān)鍵是分離出參數(shù)之后將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域問題.

1. 用分離參數(shù)法解決不等式恒成立問題

例4. 已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=2n+1-2.

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)bn=log2a1+log2a2+…+log2an，求使（n-8）bn≥nk對(duì)任意n∈N？鄢恒成立的實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【解析】（1）因?yàn)镾n=2n+1-2，所以Sn-1=2n-2，（n≥2）

所以當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n+1-2-（2n-2）=2n.

又a1=S1=22-2=2，滿足上式，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=2n（n∈N？鄢）.

（2）bn=log2a1+log2a2+…+log2an=1+2+3+…+n=.

由（n-8）bn≥nk對(duì)任意n∈N？鄢恒成立，即使≥k對(duì)n∈N？鄢恒成立.

設(shè)cn=（n-8）（n+1），則當(dāng)n=3或4時(shí)，cn取得最小值為-10，所以k≤-10.

例5. 若x+1+x-3>k對(duì)任意的x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

【解析】要使得不等式x+1+x-3>k對(duì)任意的x∈R恒成立，需f（x）=x+1+x-3的最小值大于k，問題轉(zhuǎn)化為求f（x）的最小值，首先設(shè)f（x）=x+1+x-3，則有f（x）=-2x+2，x≤-14，-1≤x≤3 2x-2，x≥3當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）有最小值為4，當(dāng)-1≤x≤3時(shí)，f（x）有最小值為4，當(dāng)x≥3時(shí)，f（x）有最小值為4，綜上所述，f（x）有最小值為4，∴k<4，故答案為（-∞，4）.

例6. 已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，首項(xiàng)a1=1，公比q>0，其前n項(xiàng)和為Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差數(shù)列.

（1）求{an}的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列{bn}滿足，Tn為數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和，若Tn >m恒成立，求m的最大值.

【解析】（1）由題意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2），∴S3-S1+S3-S2=a1+a2-2a3，

即4a3=a1，于是=q2=，∵q>0，∴q=. ∵a1=1，∴an=（）n-1.

Tn=1×1+2×2+3×22+…+n·2n-1……① ∴ 2Tn=1×2+2×22+3×23+…+n·2n……②

∴①- ②得：-Tn=1+2+22+…+2n-1-n·2n=-n·2n=（1-n）2n-1，∴Tn=1+（n-1）2n.

∵Tn >m恒成立，只需（Tn）min≥m∵Tn+1-Tn=n·2n+1-（n-1）·2n=（n+1）·2n>0，

∴{Tn}為遞增數(shù)列，∴當(dāng)n=1時(shí)，（Tn）min=1，∴ m≤1，∴ m的最大值為1.

例7. 記max{m，n}表示m，n中的最大值，如max{3，}=. 已知函數(shù)f（x）=max{x2-1，2lnx}，g（x）=max{x+lnx，-x2+（a2-）x+2a2+4a}.

（1）設(shè)h（x）=f（x）-3（x-）（x-1）2，求函數(shù)h（x）在（0，1]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（2）試探討是否存在實(shí)數(shù)a∈（-2，+∞），使得g（x）

【解析】（1）設(shè)F（x）=x2-1-2lnx，F(xiàn) ′（x）=2x-=，令F ′（x）>0，得x>1，F(xiàn)（x）遞增；令F ′（x）<0，得0

∴F（x）min=F（1）=0，∴F（x）≥0，即x2-1≥2lnx，∴f（x）=x2-1.

設(shè)G（x）=3（x-）（x-1）2，結(jié)合f（x）與G（x）在（0，1]上圖像可知，這兩個(gè)函數(shù)的圖像在（0，1]上有兩個(gè)交點(diǎn)，即h（x）在（0，1]上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2.

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)a∈（-2，+∞），使得g（x）

則x+lnx

即lnx-x<4a，（x+2）（x-a2）>0，對(duì)x∈（a+2，+∞）恒成立.

（i）設(shè)H（x）=lnx-x，H′（x）=-=，

令H′（x）>0，得02，H（x）遞減.

∴H（x）max=h（2）=ln2-1.

當(dāng)0ln2-1，∴a>.

∵a<0，∴a∈（，0）.

故當(dāng)a∈（，0）時(shí)，lnx-x<4a對(duì)x∈（a+2，+∞）恒成立.

當(dāng)a+2≥2，即a≥0時(shí)，H（x）在（a+2，+∞）上遞減，∴H（x）

∵（ln（a+2）-a-1）=-≤0，∴H（a+2）≤H（0）=ln2-1<0.

故當(dāng)a≥0時(shí)，lnx-x<4a對(duì)x∈（a+2，+∞）恒成立.

（ii）若（x+2）（x-a2）>0對(duì)x∈（a+2，+∞）恒成立，則a+2≥a2，∴a∈[-1，2].

由（i）及（ii）得，a∈（，2）.

故存在實(shí)數(shù)a∈（-2，+∞），使得g（x）

2. 求定點(diǎn)的坐標(biāo)

例8. 已知直線l： （2m+1）x+（m+1）y-7m-4=0，m∈R，求證：直線l恒過定點(diǎn).

【解析】直線l的方程可化為x+y-4+m（2x+y-7）=0，設(shè)直線l恒過定點(diǎn)M（x，y），由m∈R，得x+y-4=02x+y-7=0？圯M（3，1），∴直線l恒過定點(diǎn)（3，1）.

【點(diǎn)評(píng)】綜合上面的例題，我們可以看到，分離參（常）數(shù)是通過將兩個(gè)變量構(gòu)成的不等式（方程）變形到不等號(hào)（等號(hào)）兩端，使兩端變量各自相同，解決有關(guān)不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中參數(shù)取值范圍的一種方法. 兩個(gè)變量，其中一個(gè)范圍已知，另一個(gè)范圍未知，解決問題的關(guān)鍵是分離變量之后將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值或值域的問題. 分離變量后，對(duì)于不同問題我們有不同的理論依據(jù)需遵循.

例9. 已知拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=2px（p>0），M為拋物線C上一動(dòng)點(diǎn)，A（a，0）（a≠0）為其對(duì)稱軸上一點(diǎn)，直線MA與拋物線C的另一個(gè)交點(diǎn)為N.當(dāng)A為拋物線C的焦點(diǎn)且直線MA與其對(duì)稱軸垂直時(shí)，△MON的面積為18.

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）記t=+，若t值與M點(diǎn)位置無關(guān)，則稱此時(shí)的點(diǎn)A為“穩(wěn)定點(diǎn)”，試求出所有“穩(wěn)定點(diǎn)”，若沒有，請說明理由.

【解析】（Ⅰ）由題意，S△MON=·OA·MN=··2p==18，∴p=6，拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=12x.

（Ⅱ）設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），

設(shè)直線MN的方程為x=my+a，聯(lián)立x=my+a，y2=12x，得y2-12my-12a=0，

∴△=144m2+48a>0，y1+y2=12m，y1y2=-12a .

由對(duì)稱性，不妨設(shè)m>0，

（1）a<0時(shí)，∵y1y2=-12a>0，∴y1，y2同號(hào)，

又t=+=+，

∴t2=·=·=（1-），

不論a取何值，t均與m有關(guān)，即a<0時(shí)，A不是“穩(wěn)定點(diǎn)”；

（ii）a>0時(shí)，∵y1y2=-12a<0，∴y1，y2異號(hào).

又t=+=+，

∴t2=·=·=·=（1+），

∴僅當(dāng)a-1=0，即a=3時(shí)，t與m無關(guān).

題組練習(xí)：

1. 若函數(shù)f（x）=m+log2x（x≥1）存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（ ）

A.（-∞，0] B.[ 0，+∞） C.（-∞，0） D.（0，+∞）

2. 函數(shù)f（x）=loga（2-ax2）在（0，1）上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）

A.[ ，1） B.（1，2） C.（1，2] D.（，1）

3. 定義在R上的函數(shù)f（x）對(duì)任意x1，x2（x1≠x2）都有<0，且函數(shù)y=f（x-1）的圖像關(guān)于（1，0）成中心對(duì)稱，若s，t滿足不等式f（s2-2s）≤-f（2t-t2），則當(dāng)1≤s≤4時(shí)，的取值范圍是（ ）

A. [-3，-） B. [-3，-]

C. [-5，-） D.[-5，-]

4. 1+11+111+…+之和是____________.

5. 設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2，若對(duì)任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，則t實(shí)數(shù)的取值范圍是 .

6. 若不等式x2<│x-1│+a在區(qū)間（-3，3）上恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 .

7. 當(dāng)x∈（-2，-1）時(shí)，不等式x4+mx2+1<0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .

答案簡析：

1. 由題意得：求函數(shù)m=-log2x（x≥1）的值域，由x≥1？圯log2x≥0？圯m≤0，所以選A.

2. 設(shè)u=2-ax2，由題設(shè)知， a>0且a ≠1，所以u(píng)=2-ax2在（0，1）上為減函數(shù)，且u>0在區(qū)間（0，1）上恒成立，所以有 a>1，2-a≥0？圯1

3. 設(shè)x10，即f（x1）>f（x2），所以函數(shù)f（x）為減函數(shù). 因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x-1）的圖像關(guān)于（1，0）成中心對(duì)稱，所以y=f（x）為奇函數(shù)，所以 f（s2-2s）≤-f（2t-t2）=f（t2-2t），所以s2-2s≥t2-2t，即（s-t）（s+t-2）≥0.因?yàn)?1-=1-， 而在條件（s-t）（s+t-2）≥0，1≤s≤4下，易求得∈[-，1]，所以1+∈[，2]，所以∈[，6]，所以1-∈[-5，-]，即∈[-5，-]，故選D.

4. 因?yàn)?×=，所以1+11+111+…+=[（10-1）+（102-1）+（103-1）+…+（10n-1）]=（10+102+103+…+10n）-=×-=.

5. ∵ f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=x2，∴當(dāng)x<0，有-x>0，f（-x）=（-x）2，∴ -f（x）=x2，即f（x）=-x2，∴ f（x）=x2，（x≥0）-x2，（x<0）∴ f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，且滿足2f（x）=f（x），∵不等式f（x+t）≥2f（x）=f（x）在[t，t+2]恒成立，∴ x+t≥x在[t，t+2]恒成立，解得x≤（1+）t在[t，t+2]恒成立，∴ t+2≤（1+）t，解得：t≥，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是[，+∞）.

6. x2<│x-1│+a在區(qū)間（-3，3）恒成立，∴ x2-│x-1│

8. x4+mx2+1<0？圯m<-（x2+），x2∈（1，4），而-（x2+）>-，∴ m≤-.

責(zé)任編輯 徐國堅(jiān)