盧笑蕾，余建波

(同濟(jì)大學(xué) 機(jī)械與能源工程學(xué)院，上海 200000)

0 引言

半導(dǎo)體制造是一個復(fù)雜且耗資巨大的過程。在制造過程中，由于工藝的繁雜與動態(tài)性，半導(dǎo)體晶圓表面容易出現(xiàn)缺陷。通常,晶圓表面的缺陷分為全局缺陷和局部缺陷兩類[1]，全局缺陷常因一些隨機(jī)因素導(dǎo)致(如灰塵)，分布于整個晶圓的表面，而局部缺陷一般由可尋原因?qū)е拢缛藶橐蛩?、設(shè)備故障等。局部缺陷一般以各種簇的形式存在，常見的有線形、曲線形和橢球形。對于工程師而言，缺陷簇的位置、大小和幾何形狀等都可以反映生產(chǎn)過程中的問題[2]，例如晶圓與設(shè)備之間摩擦產(chǎn)生刮痕，容易導(dǎo)致線形缺陷，因此準(zhǔn)確識別局部缺陷簇的形狀，不僅可以避免因大批量晶圓缺陷而造成的成本損失，更重要的是可以根據(jù)缺陷原因找出生產(chǎn)線上存在的故障源，從而進(jìn)行調(diào)整與改進(jìn)，減少晶圓生產(chǎn)中的返工率和廢品率，提高晶圓質(zhì)量和生產(chǎn)效率。

傳統(tǒng)的缺陷檢測往往通過電子掃描顯微鏡完成，因?yàn)樯a(chǎn)數(shù)量龐大，這種人工檢測已經(jīng)不能解決實(shí)際問題[2]，所以越來越多的研究開始集中在缺陷自動檢測領(lǐng)域。Friedman等[3]采用奈A型分布(Neyman type-A distribution)擬合晶圓表面的缺陷，Cunningham等[4]基于晶圓缺陷點(diǎn)的空間位置、形狀等展開量化分析。這些研究僅集中于晶圓缺陷模式的統(tǒng)計(jì)分析，很難進(jìn)一步識別出缺陷模式的具體形狀。Su等[5]研究了一套有監(jiān)督神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)用于晶圓缺陷檢測，包括反向傳播、徑向基函數(shù)和學(xué)習(xí)矢量量化;Chen等[6]采用無監(jiān)督神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，即采用自適應(yīng)共振理論(Adaptive Resonance Theory, ART)識別晶圓表面缺陷。同時也有很多學(xué)者利用有監(jiān)督機(jī)器學(xué)習(xí)，通過收集先驗(yàn)數(shù)據(jù)建立訓(xùn)練庫，從而對線上采集的缺陷模式進(jìn)行分類識別，如K最近鄰[7](K-Nearest Neighbor, KNN)、C4.5決策樹[7]、支持向量機(jī)[8](Support Vector Machine, SVM)。在晶圓表面缺陷檢測中，這些方法都有一定的效果，但仍存在很多不足[2]，例如基于監(jiān)督/無監(jiān)督的方法不能檢測出一個晶圓表面存在的多種缺陷模式，而且對于決策函數(shù)的參數(shù)估計(jì)通常需要大量的訓(xùn)練樣本，計(jì)算量龐大，非常耗時。

近年來，越來越多的學(xué)者集中研究可直接識別晶圓表面缺陷的基于模型聚類的方法。與上述方法相比，基于模型聚類的缺陷檢測有兩個突出的優(yōu)勢[9]：①不需要訓(xùn)練數(shù)據(jù)，可直接在線檢測晶圓表面缺陷，而且可以很好地應(yīng)對線上出現(xiàn)的新缺陷模式；②基于模型聚類的結(jié)果，在檢測出晶圓表面缺陷的同時也能夠識別缺陷模式。在基于模型聚類的方法中，晶圓表面的所有晶粒服從混合分布，其中一個缺陷簇中的點(diǎn)屬于相同分布模型，如多元正態(tài)分布。Hwang等[10]提出兩步聚類法：①采用二元正態(tài)分布對晶圓表面所有缺陷簇進(jìn)行聚類，并采用貝葉斯信息準(zhǔn)則確定簇的數(shù)目；②采用主曲線對所有缺陷簇進(jìn)行聚類。通過比較兩種模型中每個簇的似然概率值，判定該簇是否為曲線形。雖然兩步聚類法在晶圓缺陷檢測上取得了很好的應(yīng)用，但是當(dāng)晶圓表面存在曲線形缺陷模式時，這套算法容易過多地估計(jì)缺陷簇的數(shù)目，因?yàn)樗僭O(shè)晶圓表面所有缺陷服從二元正態(tài)分布。Yuan等[9]對兩步聚類法進(jìn)行改進(jìn)，加入了主曲線模型，可以同時對曲線形、線形和橢球形進(jìn)行建模，并提出分類期望最大化(Classification Expectation Maximization，CEM)算法估計(jì)模型參數(shù)。Yuan提出的模型在仿真案例中具有一定的適用性，但在實(shí)際生產(chǎn)中面對大量的晶圓，其缺陷檢測十分耗時。

本文提出一套基于混合學(xué)習(xí)模型和流形調(diào)節(jié)的晶圓表面缺陷檢測與識別系統(tǒng)，旨在檢測晶圓表面缺陷的同時準(zhǔn)確地判斷缺陷簇的個數(shù)和識別缺陷簇的形狀。該系統(tǒng)首先利用層次聚類的方法將晶圓表面的局部缺陷劃分為缺陷簇，并提出一種基于輪廓系數(shù)(silhouette coefficient)[11]的標(biāo)準(zhǔn)確定最優(yōu)缺陷簇個數(shù)，準(zhǔn)確判定晶圓表面存在的缺陷簇?cái)?shù)目。針對晶圓表面缺陷模式的分布情況，該系統(tǒng)充分考慮數(shù)據(jù)在空間子流形上的分布，采用基于流形調(diào)節(jié)的局部連續(xù)高斯模型[12](Gaussian Mixture Model with Local Consistency, LCGMM)，很好地描述了晶圓表面線形、橢球形缺陷簇的分布，同時針對曲線形缺陷模式，加入主曲線模型[13](Principal Curve, PC)，實(shí)現(xiàn)了對晶圓表面幾種常見缺陷模式的統(tǒng)計(jì)描述建模。在完成初始建模識別的基礎(chǔ)上，本文提出集成LCGMM和PC的混合模型，并采用CEM(classification-expectation-maximization)算法[1]估計(jì)混合模型參數(shù)。本文提出的晶圓表面缺陷檢測與識別系統(tǒng)的最主要貢獻(xiàn)在于：①提出一種基于輪廓系數(shù)[11]的缺陷簇個數(shù)選擇指標(biāo)，可以有效判斷晶圓表面缺陷簇的個數(shù)；②構(gòu)建基于LCGMM和PC的混合模型，提高了晶圓表面缺陷識別的準(zhǔn)確性。在仿真案例和實(shí)際案例上的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，本文提出的晶圓表面缺陷檢測與識別系統(tǒng)具有很好的適用性。

1 晶圓缺陷檢測與識別系統(tǒng)

本文提出的晶圓表面缺陷檢測和識別系統(tǒng)方案如圖1所示。由于半導(dǎo)體制造過程中多源隨機(jī)因素的影響，晶圓圖通常混雜各種噪聲，系統(tǒng)首先采用中值濾波技術(shù)對晶圓圖進(jìn)行濾噪處理，有效保留晶圓表面的局部缺陷，提高系統(tǒng)檢測與識別的性能。晶圓表面的局部缺陷通常以簇的形式存在，為了準(zhǔn)確劃分缺陷簇并判定其數(shù)目，該系統(tǒng)使用層次聚類法有效地分離晶圓表面的缺陷簇，并采用輪廓系數(shù)指標(biāo)[12]選擇最優(yōu)簇?cái)?shù)目。在缺陷簇形狀識別中，本文在高斯混合模型(Gaussian Mixture Model, GMM)的基礎(chǔ)上引入流形調(diào)節(jié)，采用LCGMM，并加入PC模型，將缺陷識別轉(zhuǎn)化為模型選擇的問題。由于初始聚類僅依賴晶粒之間的距離，在完成初始建模識別的基礎(chǔ)上，系統(tǒng)通過融合LCGMM和主曲線模型構(gòu)建混合模型,對晶圓表面缺陷重新建模識別，來提高缺陷簇劃分和識別的準(zhǔn)確性。

1.1 缺陷聚類

半導(dǎo)體晶圓表面的局部缺陷通常以簇的形式存在，準(zhǔn)確劃分缺陷簇對識別缺陷模式具有重要意義，圖2所示為晶圓表面常見的兩種缺陷形狀(曲線形和橢球形)。本文選取層次聚類法劃分晶圓表面的缺陷簇。層次聚類法是根據(jù)給定的簇間距離度量準(zhǔn)則，構(gòu)造和維護(hù)一棵由簇和子簇形成的聚類樹，直至滿足某個終結(jié)條件為止。一般有兩種類型的層次聚類方法[11]：①凝聚層次聚類，將每個對象作為一個簇，合并這些簇直至所有的對象都在一個簇中；②分裂層次聚類，將所有對象置于一個簇中，逐步細(xì)分為越來越小的簇，直至每個對象自成一簇。對于任意兩個簇之間的距離度量，常用的有最小距離(single-link)、最大距離(complete-link)、平均距離(average-link)和最小方差法(ward-link)等。圖3所示為利用4種距離度量方法對一個晶圓表面所有缺陷點(diǎn)聚類的情況。

晶圓表面通常同時存在幾種缺陷模式，利用層次聚類法完成劃分時，如果判定缺陷簇個數(shù)不準(zhǔn)確，則將直接影響后面的缺陷識別。為了確定晶圓表面缺陷簇的個數(shù)，本文采用輪廓系數(shù)[11]指標(biāo)進(jìn)行判斷。輪廓系數(shù)結(jié)合每個樣本與自身所在簇的分離度和與其他簇的凝聚度，其值越大，聚類效果越好。事先確定多個簇?cái)?shù)目，通過計(jì)算每個簇個數(shù)條件下的輪廓系數(shù)，選取輪廓系數(shù)最大所對應(yīng)的簇個數(shù)為最優(yōu)值。圖4所示為4種晶圓缺陷模式(如圖5)下的聚類簇?cái)?shù)目判別情況，所有模式均在K=2時取得最大值，說明每種模式中含有兩個缺陷簇，判定結(jié)果正確。

1.2 缺陷識別

晶圓表面缺陷簇常見的有線形、曲線形和橢球形，每種形狀均可反映半導(dǎo)體生產(chǎn)過程中存在的問題，例如晶圓與設(shè)備之間摩擦產(chǎn)生的刮痕容易導(dǎo)致線形缺陷，因此準(zhǔn)確識別晶圓表面缺陷簇的形狀，可輔助識別與調(diào)整生產(chǎn)線上的故障源。本文將缺陷識別分為兩步進(jìn)行：①應(yīng)用LCGMM和PC模型，針對不同的缺陷簇選用不同的模型分別建模，將缺陷模式的識別視為模型選擇的過程；②初始建模識別完成后，晶圓表面缺陷簇的個數(shù)和形狀已知，通過融合LCGMM和PC模型構(gòu)建一個混合模型，對晶圓表面缺陷簇進(jìn)行識別來提高識別的準(zhǔn)確性。

下面詳細(xì)介紹LCGMM、PC模型和混合模型的各自建模過程。

1.2.1 局部連續(xù)高斯混合模型

針對晶圓表面線形、橢球形缺陷模式，一般采用高斯混合模型[9]對其進(jìn)行建模。通常晶圓表面缺陷數(shù)據(jù)的自由度比實(shí)際維度低很多[14]，高斯混合模型并沒有考慮缺陷數(shù)據(jù)分布在環(huán)繞空間的子流形上，因此在擬合線形、橢球形這些缺陷模式時，高斯混合模型很容易出現(xiàn)過擬合現(xiàn)象[12]。本文采用Liu提出的LCGMM，通過對高斯混合模型的似然函數(shù)引入正則化，充分考慮缺陷數(shù)據(jù)邊緣分布的內(nèi)部幾何信息，從而準(zhǔn)確地?cái)M合缺陷簇分布。高斯混合模型可以很好地對橢圓簇或線形簇[15]進(jìn)行建模，一個d維多元正態(tài)分布(Multivariate Normal Distribution，MVN)為

(1)

高斯混合模型可以看作不同高斯分布的線性疊加，即

(2)

由于觀測值中的樣本各自屬于第幾個高斯分布未知，即p(c|x)為隱變量(c表示第c個高斯分布)，一般通過EM(expectation-maxmization)算法[15]對模型進(jìn)行參數(shù)估計(jì)，E步計(jì)算p(c|x)的期望值，M步通過最大化完全似然概率求取參數(shù)，不斷迭代直至滿足收斂條件。對于一組觀測變量X=(x1,x2,…,xN)，模型的不完全似然概率函數(shù)如式(3)所示，完全似然概率函數(shù)如式(4)所示。

(3)

logN(xi|mm,Sm))。

(4)

LCGMM通過對似然函數(shù)(3)引入正則化，充分考慮了數(shù)據(jù)邊緣分布的內(nèi)部幾何信息。首先構(gòu)建近鄰圖描述非線性流形結(jié)構(gòu)[16]，邊緣權(quán)重矩陣

(5)

式中Np(xi)表示xi的p最近鄰。

通過KL散度(KL-divergence)衡量兩種分布Pi(c)和Pj(c)之間的相似度，即

(6)

為了保證對稱，可寫作

(7)

令Pi(c)=P(c|xi)，根據(jù)上述近鄰圖的權(quán)重矩陣，通過式(8)描述近鄰圖中P(c|x)的平滑度：

Pj(c))+D(Pj(c)‖Pi(c)))Wij。

(8)

式中R越小，P(c|x)在圖中越平滑。通過整合R和GMM的似然概率函數(shù)，得出目標(biāo)函數(shù)如下：

總體來說，在水利工程的施工建設(shè)過程中，導(dǎo)致出現(xiàn)堤壩滲漏問題的直接因素與間接因素很多，雖然長期以來這些問題一直存在，但卻需要我們慎重對待，不僅要對防滲漏問題予以高度的重視，而且還應(yīng)加大力度改進(jìn)加固技術(shù)。在施工過程中，還要注重結(jié)合工程具體情況，使其既能制定出具有針對性的解決方案，同時還能確保方案的有效落實(shí)與執(zhí)行，務(wù)必在保證施工質(zhì)量得以全面優(yōu)化控制下，使水利工程堤壩防滲加固工作得以切實(shí)有效地開展。

=L-λR

(D(Pi(c)‖Pj(c))+D(Pj(c)‖Pi(c))))Wij。

(9)

式中:Pi(c)為P(c|xi)的縮寫，λ為正則化系數(shù)?？赏ㄟ^EM算法對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行參數(shù)估計(jì)。

1.2.2 主曲線模型

對于曲線形缺陷簇，LCGMM不能很好地描述其特性，而PC可以有效地對曲線的缺陷模式進(jìn)行建模。Standford等[17]假設(shè)曲線上的特征點(diǎn)服從正態(tài)分布，均值為0，方差為sj，PC的概率密度函數(shù)為

(10)

1.2.3 基于LCGMM和PC的混合學(xué)習(xí)模型

本文設(shè)計(jì)的系統(tǒng)利用層次聚類法劃分晶圓表面的局部缺陷簇，由于初始聚類僅依賴晶粒之間的距離，對缺陷簇邊界的晶粒很容易出現(xiàn)誤分的情況，從而影響后續(xù)的缺陷模式識別。本文在完成初始聚類識別后，構(gòu)建基于LCGMM和PC的混合模型，該模型可對晶圓表面的缺陷簇進(jìn)行建模識別，修正缺陷簇邊界晶粒誤分情況，提高缺陷模式識別的準(zhǔn)確性。混合模型的目標(biāo)函數(shù)為

(11)

(1)求期望

(13)

i=1,…,n,j=0,…,N。

(14)

(2)分類

(3)最大化

(15)

(16)

(17)

不斷重復(fù)步驟1)～3)，直至滿足收斂條件

(18)

2 實(shí)驗(yàn)與結(jié)果分析

為了驗(yàn)證本文提出的晶圓表面缺陷檢測與識別系統(tǒng)的有效性，分別通過仿真案例和工業(yè)案例進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析。在仿真案例中，通過事先確定的缺陷簇形狀，根據(jù)聚類和識別的準(zhǔn)確性測試系統(tǒng)的性能，工業(yè)案例中則選取幾種常見的晶圓缺陷模式測試系統(tǒng)的性能。

2.1 仿真案例分析

首先采用仿真缺陷模式驗(yàn)證所提方法的有效性。實(shí)驗(yàn)中，仿真產(chǎn)生曲線形、橢圓形、圓形3種常見的缺陷模式，并通過組合的方式使其呈現(xiàn)在晶圓表面，例如圖5a和圖5b為分離模式，圖5c為交叉模式，圖5d為鄰接模式。橢圓形和圓形均通過對二元正態(tài)分布隨機(jī)采樣獲得，曲線形是截取圓形的一段。圖6所示為利用層次聚類法進(jìn)行晶圓表面缺陷聚類的結(jié)果。

為了測試層次聚類法和基于LCGMM與PC的混合模型聚類法的性能，本文選取典型的K-means和模糊C聚類[18]進(jìn)行對比，因?yàn)檫@兩種方法已應(yīng)用于晶圓表面缺陷識別[19]。K-means對大規(guī)模數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類時效率較高，屬于基于劃分的聚類方法，該方法通過初試隨機(jī)劃分K個簇，采用平方誤差準(zhǔn)則不斷重復(fù)迭代直至其最??；不同于K-means為代表的硬聚類方法，模糊C聚類采用隸屬度確定每個數(shù)據(jù)點(diǎn)屬于某個簇的程度，通過構(gòu)建隸屬矩陣實(shí)現(xiàn)模糊C劃分。表1所示為幾種方法的聚類性能，可以看出，這幾種聚類方法都可以很好地區(qū)分分離模式1和模式2，但是混合模型在識別交叉模式和分離模式時顯著好于其他方法，該結(jié)果進(jìn)一步證明了所提方法的有效性。

表1 晶圓缺陷識別率 %

注：抓取率=正確分類缺陷數(shù)/總?cè)毕輸?shù)。

當(dāng)系統(tǒng)完成晶圓表面缺陷簇的分割后，便通過LCGMM模型和PC模型分別對每個缺陷簇進(jìn)行建模識別。表2所示為各個簇在每種模型中的似然概率值，PC模型和LCGMM模型能夠很好地區(qū)分曲線形和橢圓形。例如圖5a中，對于曲線形，PC的似然概率值大于LCGMM的似然概率值，而橢圓形則相反。LCGMM模型識別出的簇，可根據(jù)協(xié)方差的特征值進(jìn)一步判別簇的形狀，例如圖6d中，空心圓簇的特征值之比為0.75，接近1，可判定為圓形；圓心簇的特征值之比為0.103 2，遠(yuǎn)小于1，則判定為橢圓。當(dāng)晶圓表面缺陷簇的個數(shù)和形狀已知時，通過構(gòu)建混合模型重新對缺陷簇進(jìn)行建模識別，結(jié)果如圖7所示。表1同時列出了基于混合模型的缺陷簇劃分正確率，例如圖6c中，交叉模式的準(zhǔn)確率提升了4.32%，鄰接模式的準(zhǔn)確率也提了2.25%，可以看出通過混合模型重新建模識別的方法顯著提高了晶圓表面缺陷簇劃分的準(zhǔn)確性。

表2 晶圓缺陷模式建模比較

2.2 工業(yè)案例分析

本文采用實(shí)際半導(dǎo)體制造過程中采集的晶圓圖像數(shù)據(jù)(稱為WM-811K數(shù)據(jù))驗(yàn)證所提晶圓缺陷探測與識別方法的有效性。該數(shù)據(jù)集為工業(yè)現(xiàn)場采集的晶圓數(shù)據(jù)，包括811 457張晶圓圖，所有晶圓圖數(shù)據(jù)都已通過專家分析標(biāo)定其缺陷模式，有關(guān)WM-811K數(shù)據(jù)更多的信息及數(shù)據(jù)獲取方式可參考文獻(xiàn)[20]。本文從WM-811K數(shù)據(jù)集中選取兩種缺陷模式(Center和Scratch)，各取兩個樣本進(jìn)行分析。圖8和圖9所示分別為兩種晶圓缺陷模式的濾噪和聚類結(jié)果。完成聚類后，在識別過程中，LCGMM模型能夠識別出Center模式，其中兩個缺陷晶圓的特征值之比分別為0.765 4和0.768 0，接近1，可識別為圓形，即Center缺陷。對于圖8中的Scratch模式，PC模型能夠很好地識別出曲線形。

3 結(jié)束語

本文提出一套基于混合學(xué)習(xí)模型與流形調(diào)節(jié)的晶圓缺陷檢測與模式識別系統(tǒng)，該系統(tǒng)使用輪廓系數(shù)準(zhǔn)確判斷晶圓表面的缺陷簇個數(shù)。然后提出基于LCGMM和PC模型的混合模型，實(shí)現(xiàn)了對晶圓表面局部缺陷模式分布的統(tǒng)計(jì)描述建模，從而可以有效識別晶圓表面缺陷簇的形狀，如常見的線形、曲線形和橢球形缺陷模式。在仿真案例中，本文設(shè)計(jì)的系統(tǒng)在抓取率和形狀識別的準(zhǔn)確性上都取得了很好的結(jié)果，而且在實(shí)際案例的測試中也能夠很好地識別出晶圓表面的各種缺陷模式。線上實(shí)時識別晶圓缺陷模式將加速確定缺陷產(chǎn)生的故障源，減少晶圓生產(chǎn)中的返工率和廢品率，顯著提高晶圓質(zhì)量和生產(chǎn)效率。

后續(xù)工作將集中研究晶圓表面缺陷簇更多形狀的統(tǒng)計(jì)建模，并應(yīng)用到實(shí)際晶圓生產(chǎn)過程中的缺陷模式探測與識別。

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