楊 宇 朱秀云 楊智博 李 亮

（環(huán)境保護(hù)部核與輻射安全中心，北京 100082）

引言

局部不規(guī)則或不均勻場(chǎng)地對(duì)地震波的放大作用是近年來(lái)頗為引人關(guān)注的研究課題之一。破壞性地震的震害調(diào)查結(jié)果讓人們認(rèn)識(shí)到了這一問(wèn)題的存在，強(qiáng)震記錄的分析證實(shí)了場(chǎng)地條件對(duì)地震動(dòng)的影響。我國(guó)從20世紀(jì)60年代開(kāi)始關(guān)注此類(lèi)問(wèn)題的研究（周錫元，1965；胡聿賢等，1980）。1970年通海地震發(fā)生在云南通海、建水、峨山3個(gè)縣交界的山區(qū)，位于局部孤立突出地形上的小山村和平地上同類(lèi)地基的村莊相比，震害一般均較重。1974年云南永善-大關(guān)地震中，坐落于弧突山梁之上的蘆永灣六隊(duì)受地震破壞比較嚴(yán)重，且震害因所處位置地形不同差異明顯：弧突形勢(shì)最明顯的端部破壞最重，烈度高達(dá)Ⅸ度；弧突形勢(shì)不明顯的鞍部破壞較輕，烈度僅為Ⅶ度。1976年唐山地震中也有類(lèi)似的例子，如位于遷西縣景忠山頂部的廟宇式建筑大多嚴(yán)重破壞和倒塌，可評(píng)為Ⅸ度；位于山腳周?chē)?個(gè)村莊的烈度普遍為Ⅵ度，在高差約300m的山頂與山底，烈度可相差3度之多。在2008年汶川地震中，位于自貢西山公園山脊地形上的強(qiáng)震動(dòng)觀測(cè)臺(tái)陣記錄到的數(shù)據(jù)也證明了山脊地形山頂對(duì)地震波的放大效應(yīng)要遠(yuǎn)大于山腳（楊宇等，2011）。

局部地形對(duì)地震動(dòng)影響問(wèn)題的理論分析方法可以分為解析法（Trifunac，1971；Wong等，1974；Todorovska等，1991；Yuan等，1995；梁建文等，2000，2001）和數(shù)值法（Boore等，1971；Dravinski，1983；杜修力等，1992；Sánchez-Sesma等，1993；廖振鵬，2002）。解析法主要有波函數(shù)展開(kāi)法、分離變量法、正交函數(shù)法、傅立葉變換和維納-霍普夫（Wiener-Hopf）方法等；數(shù)值法包括有限元法、有限差分法、邊界元法、有限元-邊界元、有限元-有限差分、離散波速法-有限元-有限差分等混合方法。原則上講，數(shù)值法可解決各種復(fù)雜場(chǎng)地的動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題。但是，解析法在問(wèn)題本質(zhì)的分析方面有著數(shù)值法無(wú)可替代的作用，而且解析法還可用來(lái)檢驗(yàn)數(shù)值方法的精度。

我國(guó)重慶、青島、大連等地有大量建筑座落在山坡、山頂或者近海高岸上，宏觀上，此類(lèi)地形一般可簡(jiǎn)化為楔形或階梯場(chǎng)地。已有的解析法研究一般基于半空間假定，楔形空間同半空間相比有著本質(zhì)的區(qū)別，在問(wèn)題的處理上也更復(fù)雜。目前，對(duì)于楔形空間的研究成果較少，且均針對(duì)SH波入射，如MacDonald（1902）利用貝塞爾（Bessel）函數(shù)的展開(kāi)給出了楔形地形在全空間中解的表達(dá)式；Sánchez-Sesma（1985）利用MacDonald給出的公式研究了SH波在楔形空間中的衍射；Lee等（1996a，1996b）研究了平面SH波在頂點(diǎn)處有圓弧形峽谷的楔形地形中的衍射以及平面SH波在頂點(diǎn)處有圓弧形沉積的楔形地形中的衍射；Dermendjian等（2003a，2003b）采用矩量法研究了楔形空間中任意形狀凹陷地形和剛性基礎(chǔ)對(duì)SH波的散射；史文譜等（2006，2007）則采用復(fù)變函數(shù)法分別求解了楔形空間中（直角情況）固定圓形夾雜和圓孔對(duì)SH波的散射；劉中憲等（2010a，2010b）研究了楔形空間中圓弧形沉積對(duì)平面SH波的散射解析解以及楔形空間中圓弧形凹陷對(duì)平面SH波的散射解析解。

綜上所述，目前的研究成果主要針對(duì)SH波的散射問(wèn)題。對(duì)于P、SV這樣的矢量波，由于它們?cè)谶吔缟蠒?huì)出現(xiàn)波形轉(zhuǎn)換，嚴(yán)格滿(mǎn)足楔形空間邊界條件的散射波函數(shù)難以精確構(gòu)造，問(wèn)題比SH波要復(fù)雜的多，因此研究成果較少（楊宇，2005）。本文采用2個(gè)大圓弧面分別模擬楔形空間的2個(gè)表面，使得滿(mǎn)足邊界條件的散射波函數(shù)易于構(gòu)造且邊界條件易于處理，給出了楔形空間中圓弧形沉積對(duì)平面P波的散射解析解，以期填補(bǔ)解析解庫(kù)的空白。

1 模型與求解

圖1所示模型為一楔形空間，斜面與水平面夾角為θ0，在其頂點(diǎn)周?chē)偳秷A弧形沉積河谷，圓弧沉積的圓心在楔形的頂點(diǎn)O，圓弧沉積半徑為a。沉積介質(zhì)和楔形空間介質(zhì)均為彈性、均勻和各向同性，它們的材料性質(zhì)由μv、μs和ρv、ρs、λv、λs確定，μ為介質(zhì)的剪切模量，ρ為介質(zhì)的密度，λ為拉梅常數(shù)，下標(biāo)v代表沉積介質(zhì)，s代表楔形空間。一圓頻率為ω的平面P波以角度θα入射，在直角坐標(biāo)系Oxy中可以用勢(shì)函數(shù)表示：

圖1 模型和波散射示意圖Fig.1 Illustration of the model and scattering of waves

為簡(jiǎn)化書(shū)寫(xiě)，在下面的分析中將時(shí)間因子exp(－iωt)略去，則式（1）可表示為：

入射P波在界面Ⅰ、Ⅱ反射后的反射波既有P波也有SV波，在界面Ⅰ的反射P波和SV波勢(shì)函數(shù)可分別表示為：

其中，θβ為SV波在界面Ⅰ的反射角，θα和θβ滿(mǎn)足

入射P波在界面Ⅱ的反射P波和SV波勢(shì)函數(shù)可分別表示為：

為方便分析，將入射P波和2個(gè)界面上的反射P波表達(dá)式（2）、（3）、（7）轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系（r，θ）下的形式，合并后再進(jìn)一步展成傅立葉-貝塞爾（Fourier-Bessel）級(jí)數(shù)形式：

其中，

將2個(gè)界面上的反射SV波表達(dá)式（4）、（8）轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系（r，θ）下的形式，合并再進(jìn)一步展成Fourier-Bessel級(jí)數(shù)形式：

其中，

當(dāng)n＝0時(shí)，εn＝1；而當(dāng)n≥1時(shí)，εn＝2（下同）。

為了便于坐標(biāo)轉(zhuǎn)換，本文采用2個(gè)半徑非常大的圓?。▓D1）來(lái)模擬楔形空間表面。用圓心在O1、半徑為d的大圓弧模擬界面I，圓心在O2、半徑為d的大圓弧模擬界面Ⅱ，2個(gè)大圓弧的交點(diǎn)為O。

下面首先分析楔形空間中的散射波，楔形空間中存在著因沉積介質(zhì)與楔形空間交界面而產(chǎn)生的散射P波φs3(r,θ)和SV波ψs3(r,θ)，因楔形地形及大圓弧近似假定而產(chǎn)生的散射P波φs1(r1,θ1)、φs2(r2,θ2)和SV波ψs1(r1,θ1)、ψs2(r2,θ2)，它們的Fourier-Bessel形式分別表示為：

其次，沉積介質(zhì)中存在著因沉積介質(zhì)與楔形空間交界面而產(chǎn)生的散射P波和SV波ψv3(r,θ)，因楔形地形及大圓弧近似假定而產(chǎn)生的散射P波φv1(r1,θ1)、φv2(r2,θ2)和SV波ψv1(r1,θ1)、ψv2(r2,θ2)，它們的Fourier-Bessel形式分別表示為：

其中，kvα＝ω/αv、kvβ＝ω/βv分別表示P波和SV波在沉積介質(zhì)中的波數(shù)。

因此，楔形空間中存在的所有P波和SV波的波勢(shì)函數(shù)可表示為：

沉積介質(zhì)中存在的所有P波和SV波的波勢(shì)函數(shù)可表示為：

利用邊界條件求解表達(dá)式（27）—（30）中的系數(shù)。問(wèn)題的邊界條件為楔形空間和沉積表面零應(yīng)力邊界條件及沉積與楔形空間交界面連續(xù)條件。

零應(yīng)力邊界條件有：

界面連續(xù)條件分為位移連續(xù)條件和應(yīng)力連續(xù)條件，其方程為：

本文引入大圓弧模擬楔形空間表面，因此結(jié)果為近似解析解，邊界條件公式（31）、（32）可轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)下的形式：

在平面P波入射情況下，平面應(yīng)變問(wèn)題的位移和應(yīng)力表達(dá)式分別為：

由于上述波函數(shù)分別在不同坐標(biāo)系給出，在引入邊界條件前，需要采用Graf加法公式進(jìn)行坐標(biāo)變換，由于篇幅有限，坐標(biāo)變換步驟從略。將楔形空間和沉積介質(zhì)中的波函數(shù)表達(dá)式代入邊界條件，求解方程組可得到所有波函數(shù)表達(dá)式的待定系數(shù)，將求得的待定系數(shù)代入位移表達(dá)式即可得到地表位移：

當(dāng)r≤a時(shí)（沉積介質(zhì)）：

當(dāng)r＞a時(shí)（楔形空間）：

至此，完成了問(wèn)題求解的理論推導(dǎo)，得到的公式（41）、（42）為楔形空間和圓弧形沉積中各個(gè)位置的位移。

2 結(jié)果分析

圖2—6給出了不同地形角度（即斜面與水平面夾角分別為0°、60°和90°）的楔形空間在介質(zhì)參數(shù)分別為剪切波速比βv：βs＝200：400、密度比ρv：ρs＝1.8：1.8以及入射角0°、30°、60°和90°情況下，水平x和垂直y方向的位移幅值。圖中橫坐標(biāo)為地面位置坐標(biāo)x與沉積河谷半徑a之間的比值。在結(jié)果分析中引入無(wú)量綱頻率η，其定義為沉積谷地寬度與入射波波長(zhǎng)（λ＝βsT）之間的比值，即圖2—6分別為參數(shù)η等于0.5、1、2、5和10的結(jié)果。

影響地表位移的因素包括地形角度（θ0）、入射波的頻率（η）以及入射角（θα）。由圖可以看出，當(dāng)給定地形角度和入射頻率，變化入射角度時(shí)，當(dāng)入射波以地形的對(duì)角線(xiàn)角度入射時(shí)，得到的位移曲線(xiàn)是正對(duì)稱(chēng)的，地形為180°，波垂直入射得到了正對(duì)稱(chēng)地表位移曲線(xiàn)（圖2中的實(shí)線(xiàn)和圖5（a））。另外，還能得到一些反對(duì)稱(chēng)的曲線(xiàn)，當(dāng)?shù)匦螢?0°時(shí)，水平入射的x方向位移曲線(xiàn)與垂直入射的y方向位移曲線(xiàn)、水平入射的y方向位移曲線(xiàn)與垂直入射的x方向位移曲線(xiàn)是反對(duì)稱(chēng)的（圖6（a）、（d））；30°入射的x方向位移曲線(xiàn)與60°入射的y方向位移曲線(xiàn)、30°入射的y方向位移曲線(xiàn)與60°入射的x方向位移曲線(xiàn)也都是反對(duì)稱(chēng)的（圖6（b）、（c））。從地形對(duì)稱(chēng)軸方向入射，沿地表方向及垂直于地表方向的位移也應(yīng)該是對(duì)稱(chēng)的，這也可以作為驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果是否正確的1個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。

當(dāng)給定地形角度和入射角度，變化入射頻率時(shí)（圖2—5），隨著入射頻率增大，位移幅值曲線(xiàn)的波動(dòng)也相應(yīng)地變得復(fù)雜。尤其圖5、6對(duì)應(yīng)的入射頻率是高頻η＝5.0和η＝10.0，可從圖中看到曲線(xiàn)的波動(dòng)非常大。

圖2 沉積附近地表位移幅值（θ0＝0°）Fig.2 Surface displacement amplitude around the alluvial valley (θ0＝0°)

從圖2—6的結(jié)果看，位移幅值的放大隨著入射角度、地形角度和入射頻率的不同而發(fā)生變化。雖然最大值并不一定發(fā)生在楔形地形頂點(diǎn)處，但是幾乎都發(fā)生在x/a＝［－1，1］區(qū)間，這一區(qū)段地表點(diǎn)的位移幅值放大也都大于其它位置地表點(diǎn)，這也從理論上論證了發(fā)生在山脊附近的地震，其頂部的震害破壞比較大。

圖3 沉積附近地表位移幅值（θ0＝60°）Fig.3 Surface displacement amplitude around the alluvial valley (θ0＝60°)

圖4 沉積附近地表位移幅值（θ0＝90°）Fig.4 Surface displacement amplitude around the alluvial valley (θ0＝90°)

圖5 沉積附近地表位移幅值（θ0＝0°，η＝5.0）Fig.5 Surface displacement amplitude around the alluvial valley (θ0＝0°, η＝5.0)

圖6 沉積附近地表位移幅值（θ0＝90°，η＝10.0）Fig.6 Surface displacement amplitude around the alluvial valley (θ0＝90°, η＝10.0)

3 結(jié)論

本文利用大圓弧假定和傅立葉-貝塞爾（Fourier-Bessel）級(jí)數(shù)波函數(shù)展開(kāi)法，給出頂點(diǎn)有1層圓弧形沉積的楔形場(chǎng)地對(duì)平面P波散射問(wèn)題的解析解。分析了地形角度、入射波的頻率和入射角度等因素對(duì)地表位移放大作用的影響，得出以下結(jié)論：

（1）含圓弧形沉積的楔形空間對(duì)彈性波的散射同半空間情況有根本的不同，需同時(shí)考慮地形和地質(zhì)不均勻性對(duì)地震動(dòng)的復(fù)合影響；楔形夾角、波入射角度、無(wú)量綱頻率以及沉積內(nèi)、外介質(zhì)特性是影響地表位移幅值的主要因素。

（2）當(dāng)入射波的波長(zhǎng)比圓弧沉積半徑小很多（即η值較大）時(shí)，地表位移看上去更復(fù)雜，變化更劇烈，空間分布也更不均勻。

（3）由于楔形地形本身就有不同的角度，對(duì)于不同入射角度的P波來(lái)說(shuō)，地表位移最大值出現(xiàn)的地點(diǎn)是不同的，但幾乎都出現(xiàn)在x/a＝［－1，1］區(qū)域內(nèi)的楔形頂點(diǎn)附近，說(shuō)明含圓弧沉積的楔形地形頂點(diǎn)附近對(duì)地震波的放大作用比較大。