陜西省西安市鐵一中濱河學(xué)校 楊雨晴

高考中在導(dǎo)數(shù)問題上主要考查五個方面，即求切線、研究函數(shù)單調(diào)性、證明含參的恒成立不等式、函數(shù)方程根的個數(shù)與存在性證明、實際優(yōu)化問題中的應(yīng)用。隨著廣大師生對高中階段導(dǎo)數(shù)問題的不斷深入研究，常見的導(dǎo)數(shù)問題當(dāng)中均涉及了y=lnx與y=ex這兩個函數(shù)。這也將必修一當(dāng)中的指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)和選修當(dāng)中的導(dǎo)數(shù)緊密地結(jié)合在了一起。

在學(xué)習(xí)相關(guān)知識的過程中，我們發(fā)現(xiàn)函數(shù)y=lnx與y=ex各存在一條特殊的切線y=x-1與y=x+1，這使得很多問題在求解過程中可以得到化簡，從而提高運算效率。本文首先證明了兩個重要性質(zhì)，其次針對一些高考真題與模考題進行了舉例說明，最后對該方法進行了總結(jié)，并指明了其適用條件。

一、兩個引理

在這一節(jié)當(dāng)中，我們先介紹兩個學(xué)習(xí)過程中發(fā)現(xiàn)的恒成立不等式，不妨?xí)呵曳Q之為“引理”。

1.對數(shù)函數(shù)的引理

對于對數(shù)函數(shù)而言，引理的具體描述如下：

證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx-x+1，并對函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得：-1。

令 f′(x)=0，得到 x=1。

即：f(1)=ln1-1+1≤0，那么：

證畢。

2.指數(shù)函數(shù)的引理

對于指數(shù)函數(shù)而言，引理的具體描述如下：

證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex-x-1，并對函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得：f′(x)=ex-1。

令 f′(x)=0，得到 x=0。

即：ex-x-1≥0，那么：

證畢。

3.兩個引理的幾何解釋

上述兩個引理的實質(zhì)是函數(shù)y=lnx與y=ex分別在x=1、x=0處的切線，如圖1所示。

圖1 兩個引理的幾何意義

掌握這兩個恒成立的不等式，對于我們在實際解題過程中有多大的幫助呢？接下來，我們就通過幾個例題來進行說明。

二、應(yīng)用實例

1.實例一

首先我們來看一道2013年高考新課標Ⅱ卷的真題。

例1 已知函數(shù)f(x)=ex-ln(x+m)。

（1）設(shè)x=0是f(x)的極值點，求m，并討論f(x)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)m≤2時，證明f(x)＞0。

當(dāng)然，我們的重點是第二問，第一問在此不做過多的解釋。

對于函數(shù)中的y=ln(x+m)，可以理解為將函數(shù)y=lnx向左平移m個單位后變換得到的新函數(shù)，且這個平移的距離不超過2。當(dāng)然，m＜0時為向左平移。

由圖1可知，將函數(shù)y=lnx向左平移2個單位后，其切線y=x-1也將隨之向左平移2個單位長度，這時恰好變?yōu)楹瘮?shù)y=x+1，即函數(shù)y=ex的切線。那么，由兩個引理可知，該問題的結(jié)論自然得證。

由引理2可知：ex≥x+1，當(dāng)x=1時，“=”成立。

又因為m≤2，所以x+m-1≤x+2-1=x+1，當(dāng)m=2時，“=”成立。

綜上：ln(x+m)≤x+m-1≤x+1≤ex。

又：上式中3個等號的成立條件依次為：x=1-m、m=2、x=1，這三個等式不能同時成立，即：ln(x+m)＜ex，f(x)＞0。

證畢。

2.實例二

以下是2011年遼寧高考真題。

例2 設(shè)函數(shù)f(x)=x+ax2+blnx，曲線f(x)過點p(1,0)，且在p點處的切線斜率為2。

（1）求a、b的值；

（2）證明：f(x)≤2x-2。

（2）若證f(x)≤2x-2，即證3lnx≤x2+x-2。

由引理1可知，若要上式成立，則只需證明3(x-1)≤x2+x-2。

將該式整理可得：x2-2x+1≥0恒成立，那么：

證畢。

本文中所提到的兩個引理源自指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的兩個特殊切線，這兩條切線的斜率均為“1”，且切點分別位于兩條坐標軸上。其應(yīng)用條件為：一是所給函數(shù)中包含對數(shù)“l(fā)nx”或（和）指數(shù)“ex”項；二是均為證明恒成立的問題。

最后，由于篇幅原因，本文所采用的實例有限，并且未能將參考答案中的方法進行展示和比較。當(dāng)我們能夠同時比較兩種做法時，本文所介紹的方法的優(yōu)勢就能夠體現(xiàn)出來，尤其是在計算量的削減方面。

[1]李昭平.高考對導(dǎo)數(shù)問題考查的五大熱點[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2004（5）：35-37.