江蘇省太倉(cāng)市沙溪實(shí)驗(yàn)中學(xué) 吳存紅

布魯姆認(rèn)為：有效的教學(xué)過(guò)程應(yīng)從準(zhǔn)確地知道希望達(dá)到的目標(biāo)是什么開(kāi)始。初中數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課應(yīng)該從制定復(fù)習(xí)目標(biāo)開(kāi)始，再經(jīng)過(guò)適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)活動(dòng)以及有效的評(píng)價(jià)，這樣才能實(shí)現(xiàn)比較有效的復(fù)習(xí)過(guò)程。而中考復(fù)習(xí)課是站在整個(gè)初中階段的高度，是以中考為目標(biāo)的，它以某一知識(shí)為基準(zhǔn)，不僅要對(duì)知識(shí)和方法的內(nèi)在聯(lián)系進(jìn)行橫向構(gòu)建，而且要對(duì)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想進(jìn)行縱向剖析。那如何在中考復(fù)習(xí)課中既能落實(shí)知識(shí)點(diǎn)、提煉方法，又能上升到數(shù)學(xué)思想呢？下面筆者以《方程的應(yīng)用》為例談?wù)剶?shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)的一些思考。

一、精準(zhǔn)定位，以考綱定復(fù)習(xí)目標(biāo)

中考作為義務(wù)教育階段的終結(jié)性考試，其具有畢業(yè)鑒定與升學(xué)選拔的雙重性任務(wù)。各地區(qū)依據(jù)初中畢業(yè)升學(xué)考試改革的有關(guān)精神以及《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)》），編寫(xiě)了具有本地區(qū)特色的考試綱要。中考復(fù)習(xí)的時(shí)候，教師應(yīng)認(rèn)真研究綱要，并嚴(yán)格根據(jù)綱要和《標(biāo)準(zhǔn)》對(duì)中考復(fù)習(xí)進(jìn)行精準(zhǔn)定位，做到復(fù)習(xí)的時(shí)候目標(biāo)明確、有的放矢。比如，江蘇省蘇州市2017年數(shù)學(xué)中考考試綱要上面對(duì)方程（組）的要求包括：①能夠根據(jù)具體問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列出方程，體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一個(gè)有效的數(shù)學(xué)模型；②經(jīng)歷估計(jì)方程解的過(guò)程；③能解一元一次方程、可化為一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程；④了解解分式方程時(shí)有可能產(chǎn)生增根，并掌握驗(yàn)根的方法；⑤掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組（或由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程所組成的方程組）；⑥理解配方法，能用直接開(kāi)平方法、配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；⑦會(huì)用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實(shí)根和兩個(gè)實(shí)根是否相等；⑧＊能解簡(jiǎn)單的三元一次方程組；⑨＊理解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系。從中可以看到，中考對(duì)方程的考查范圍不僅包括解方程，而且包括一元二次方程根的判別式等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，更重要的是考查方程作為一個(gè)數(shù)學(xué)模型在具體問(wèn)題中的應(yīng)用。

二、精選習(xí)題，以要求定問(wèn)題組鏈

中考對(duì)方程的要求，不僅要會(huì)解方程，而且包含了一些與方程相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)，更是作為一種解決問(wèn)題的模型和工具來(lái)對(duì)待。在設(shè)計(jì)《方程的應(yīng)用》中考復(fù)習(xí)的時(shí)候，我們可以設(shè)計(jì)以下問(wèn)題組鏈，逐層突破（以蘇科版教材為例）：

1.基本要求，解方程

【解析】本題主要考查了分式方程的解法，解分式方程的基本思路是：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，再利用整式方程的解法求解。解題過(guò)程分為三步：（1）去分母，在方程的兩邊同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程；（2）解整式方程；（3）驗(yàn)根，把整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母為0，則整式方程的解不是原分式方程的解，否則這個(gè)解就是原分式方程的解。

2.常規(guī)要求，用方程的解

【解析】本題考查了一元二次方程根的判定，共有三種情況：關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac=0；關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根b2-4ac＞0；關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)沒(méi)有實(shí)數(shù)根b2-4ac＜0。

例3 （2017·江蘇南京，2分）已知關(guān)于x的方程x2+px+q=0的兩根為-3和-1，則p=____ ，q=____ 。

【解析】本題可以利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系來(lái)求解：-3+(-1)=-p，-3×(-1)=q；也可以由方程的根寫(xiě)出一元二次方程進(jìn)行求解：這個(gè)方程可以寫(xiě)為(x+3)(x+1)=0,整理得x2+4x+3=0；還可以把兩個(gè)根代入原方程進(jìn)行求解。

3.能力要求，列方程

例4 （2017·江蘇鹽城，10分）某商店在2014年至2016年期間銷(xiāo)售一種禮盒。2014年，該商店用3500元購(gòu)進(jìn)了這種禮盒并且全部售完；2016年，這種禮盒的進(jìn)價(jià)比2014年下降了11元/盒，該商店用2400元購(gòu)進(jìn)了與2014年相同數(shù)量的禮盒也全部售完，禮盒的售價(jià)均為60元/盒。

（1）2014年這種禮盒的進(jìn)價(jià)是多少元/盒？

（2）若該商店每年銷(xiāo)售這種禮盒所獲利潤(rùn)的年增長(zhǎng)率相同，問(wèn)年增長(zhǎng)率是多少？

【解析】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：利用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題；運(yùn)用一元二次方程解決有關(guān)增長(zhǎng)率的問(wèn)題。

（1）設(shè)出未知數(shù)以后,本題的等量關(guān)系是“購(gòu)進(jìn)了與2014年相同數(shù)量的禮盒”，并由此列方程；（2）“增長(zhǎng)率相同”的實(shí)際問(wèn)題，呈現(xiàn)數(shù)學(xué)中的“指數(shù)模型”，數(shù)量a以相同的增長(zhǎng)率x連續(xù)增長(zhǎng)n年以后的結(jié)果是a(1+x)2，連續(xù)增長(zhǎng)2年相當(dāng)于n=2。

4.高階要求，方程模型

【解析】本題考查了反比例函數(shù)、平行四邊形、相似三角形等知識(shí)點(diǎn)。題中需要求出未知點(diǎn)C的坐標(biāo)才能求解，聯(lián)想到“BC∥AE”可以得到△ADF∽△CBF，從而可以列出一個(gè)方程求出點(diǎn)C的坐標(biāo)。在這類(lèi)函數(shù)綜合題中，方程模型顯得非常重要，當(dāng)問(wèn)題中存在未知量的時(shí)候，都可以嘗試挖掘問(wèn)題中隱含的等量關(guān)系列出方程進(jìn)行求解。

我們?cè)谶M(jìn)行中考復(fù)習(xí)的時(shí)候，應(yīng)該要打開(kāi)章節(jié)之間的通道，建立知識(shí)點(diǎn)之間的聯(lián)系，層層推進(jìn)。從上面的問(wèn)題鏈中，可以清晰地看到對(duì)方程的要求分為四個(gè)層次：基本要求，解方程；常規(guī)要求，用方程的知識(shí)解決相關(guān)問(wèn)題；能力要求，列方程解決問(wèn)題；高階要求，利用方程模型解決問(wèn)題。這不僅僅是知識(shí)點(diǎn)的四個(gè)層次，也是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法的四個(gè)層次：解方程→用方程→列方程→方程模型，更是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的一次提升：原來(lái)方程真正的價(jià)值在于方程模型，方程可以作為一種解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)工具來(lái)使用。

三、研究教法，以學(xué)生定教學(xué)方式

《標(biāo)準(zhǔn)》強(qiáng)調(diào)“教學(xué)活動(dòng)是師生積極參與、交往互動(dòng)、共同發(fā)展的過(guò)程。有效的教學(xué)活動(dòng)是學(xué)生學(xué)與教師教的統(tǒng)一，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者?！?/p>

有效的中考復(fù)習(xí)同樣不能弱化甚至忽略學(xué)生的學(xué)習(xí)主體地位，更不能老師一講到底，在數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)的時(shí)候，可以在多種教學(xué)形式中切換，以求高效。比如在復(fù)習(xí)《方程的應(yīng)用》的時(shí)候，如果班級(jí)學(xué)生總體水平較好，對(duì)于前面提到的四個(gè)層次中的“解方程、用方程”，我們可以讓學(xué)生采取小組合作學(xué)習(xí)的方式展開(kāi)，這樣更利于學(xué)生有針對(duì)性地查漏補(bǔ)缺；在最后一個(gè)層次“方程模型”的教學(xué)過(guò)程中，又可以鼓勵(lì)學(xué)生充分發(fā)表不同的意見(jiàn)和想法，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)不管采取什么方法求BC的長(zhǎng)，都會(huì)利用列方程解決問(wèn)題。在這樣的對(duì)比中，學(xué)生更容易體會(huì)到方程作為一種解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)工具的價(jià)值所在。

教師也可以多采用講練結(jié)合的教學(xué)方式，比如在前面的問(wèn)題鏈后面穿插相應(yīng)的鞏固練習(xí)，不僅讓學(xué)生及時(shí)得到了鞏固，也能增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)信心。五道例題后面配套的鞏固練習(xí)如下：

【小試身手】

2.（2017·江蘇揚(yáng)州）一元二次方程x2-7x-2=0的實(shí)數(shù)根的情況是（ ）

A.有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B.有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根

C.沒(méi)有實(shí)數(shù)根 D.不能確定

4.（2017·江蘇無(wú)錫）某地新建的一個(gè)企業(yè)，每月將生產(chǎn)1960噸污水，為保護(hù)環(huán)境，該企業(yè)計(jì)劃購(gòu)置污水處理器，并在如下兩個(gè)型號(hào)中選擇：

？

已知商家售出2臺(tái)A型、3臺(tái)B型污水處理器的總價(jià)為44萬(wàn)元，售出1臺(tái)A型、4臺(tái)B型污水處理器的總價(jià)為42萬(wàn)元。求每臺(tái)A型、B型污水處理器的價(jià)格。

數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)也是一個(gè)整體，這個(gè)整體體現(xiàn)在課程標(biāo)準(zhǔn)與考試綱要的統(tǒng)一、落實(shí)基礎(chǔ)與積淀方法的統(tǒng)一、發(fā)展思維與發(fā)展學(xué)習(xí)素養(yǎng)的統(tǒng)一、教與學(xué)的統(tǒng)一。如果我們多關(guān)注這幾個(gè)方面的統(tǒng)一，我們的數(shù)學(xué)中考復(fù)習(xí)一定會(huì)更加有效。