江蘇省蘇州市立達(dá)中學(xué)校 趙莉娟

生活中處處充滿著數(shù)學(xué)，我們所知道的一些常識(shí)性的簡單事實(shí)往往蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)原理。例如，三個(gè)蘋果放在兩個(gè)抽屜里，必有一個(gè)抽屜里至少放了兩個(gè)蘋果；五個(gè)蘋果放在兩個(gè)抽屜里，必有一個(gè)抽屜里至少放了三個(gè)蘋果；八個(gè)蘋果放在三個(gè)抽屜里，必有一個(gè)抽屜里至少放了三個(gè)蘋果。這都是很通俗易懂的道理，數(shù)學(xué)里稱之為抽屜原理。正是這個(gè)簡單的道理，可以幫助我們解決不少復(fù)雜的、趣味的、富有挑戰(zhàn)性的初中競賽題。下面就給大家簡單介紹一下抽屜原理的應(yīng)用。

一、抽屜原理在代數(shù)中的應(yīng)用

抽屜原理在代數(shù)中的應(yīng)用常表現(xiàn)為以下幾個(gè)類型：對整數(shù)集合分類造抽屜、使用數(shù)偶造抽屜以及利用數(shù)字的特殊性質(zhì)造抽屜。

例1 求證在任意的1997個(gè)自然數(shù)a1,a2,...,a1997中，總可以找到其中若干個(gè)數(shù)，使它們的和是1997的倍數(shù)。

【評析】我們常用對模n同余分類法造成n個(gè)抽屜，如：以2為模，將全體整數(shù)分為“余0類”（偶數(shù)）和“余1類”（奇數(shù)）兩個(gè)“抽屜”；以3為模，將全體整數(shù)分為“余0類”“余1類”“余2類”三個(gè)“抽屜”……以n為模，可以將全體整數(shù)分為“余0類”“余1類”…“余（n-1）類”共n個(gè)抽屜。

例2 求證在坐標(biāo)平面上，任取五個(gè)整點(diǎn)，其中一定存在兩個(gè)整點(diǎn)，它們的連線中點(diǎn)仍是整點(diǎn)。

證明：平面上整點(diǎn)的坐標(biāo)是有序整數(shù)對（x，y），對其按整數(shù)奇偶性分類，一共有四類，即（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），這樣就造成了四個(gè)“抽屜”，五個(gè)整點(diǎn)的坐標(biāo)與這四個(gè)抽屜對照，至少有兩點(diǎn)坐標(biāo)奇偶性相同。不妨設(shè)這兩個(gè)整點(diǎn)是由于x1與x2,y1與y2的奇偶性相同，所以均為整數(shù)。即線段A1,A2的中點(diǎn)是一個(gè)整點(diǎn)。

【評析】本題的關(guān)鍵是要從“任取五個(gè)整點(diǎn)”想到應(yīng)該造4個(gè)抽屜，并從“在坐標(biāo)平面上”想到這四個(gè)抽屜應(yīng)該由數(shù)對構(gòu)成，只要想到這兩點(diǎn)問題就迎刃而解了。

例3 某地參加數(shù)學(xué)邀請賽的82名選手中總能選出10名選手，他們要么來自同一所學(xué)校，要么來自10所不同的學(xué)校。請你證明這個(gè)結(jié)論。

證明：82名選手所在的學(xué)校只有兩種情形：他們來自不少于10所學(xué)校或他們至多來自9所學(xué)校。

（1）如果82名選手來自不少于10所學(xué)校，那么從其中10所學(xué)校中的每校各擇一名選手，即符合“10名選手來自10所不同學(xué)?！钡囊蟆?/p>

（2）如果82名選手至多來自9所學(xué)校，把9所學(xué)?？闯?個(gè)“抽屜”，82名選手看成82個(gè)“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，可知必存在一個(gè)抽屜中不少于個(gè)“蘋果”，即至少有10名選手來自同一所學(xué)校。（①[a]表示不超過a的最大整數(shù)）

【評析】本題是利用數(shù)字的特殊性質(zhì)構(gòu)造抽屜。問題的關(guān)鍵是要先將82名選手所在的學(xué)校情形分為兩種。

從以上的3例中可知運(yùn)用抽屜原理解題，首先要搞清需要對哪些元素（對象）進(jìn)行分類（分成若干個(gè)集合），其次要找出分類規(guī)則（俗稱“構(gòu)造抽屜”），最后運(yùn)用抽屜原則得出結(jié)論。這里的關(guān)鍵步驟是構(gòu)造抽屜，因此要掌握構(gòu)造抽屜的基本技巧和方法。

二、抽屜原理在幾何中的應(yīng)用

例4 在3×4的矩形中放置6個(gè)點(diǎn)。求證：總可以找到兩個(gè)點(diǎn)，它們的距離不大于

分析：容易想到應(yīng)將3×4的矩形分成五個(gè)“抽屜”，每個(gè)“抽屜”的“尺寸”——兩點(diǎn)中的最大距離不超過。容易想到是邊長分別為1和2的小矩形的對角線的長。但用邊長分別為1和2的小矩形當(dāng)“抽屜”（如圖1）可以造出6個(gè)“抽屜”，不符合使用抽屜原則的條件。因此應(yīng)適當(dāng)改變抽屜的形狀，造出5個(gè)抽屜，并使得每個(gè)抽屜中兩點(diǎn)間的最大距離均不超過

圖1

證明：將3×4的矩形分成5個(gè)“抽屜”，在矩形中任意放置6個(gè)點(diǎn)。由抽屜原理，至少有兩個(gè)點(diǎn)屬于同一個(gè)抽屜。由這5個(gè)抽屜的構(gòu)造得，這兩點(diǎn)的距離不大于原命題得證。

【評析】請大家要注意，利用抽屜原理構(gòu)造的抽屜并不要求彼此大小形狀相同，只要都滿足題目中的條件即可，如該題中都滿足抽屜中兩點(diǎn)間最大距離不超過的要求。

例5 圍著一張可轉(zhuǎn)動(dòng)的圓桌，均勻地放10把椅子，在桌上對著椅子放有10人的名片。當(dāng)10人隨意入座后，發(fā)現(xiàn)誰都沒有對著自己的名片。求證：適當(dāng)?shù)剞D(zhuǎn)動(dòng)桌子，至少能使兩人對上自己的名片。

證明：將桌子按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)36°就得到一種名片與人對應(yīng)的狀態(tài)，總計(jì)有10種不同狀態(tài)（開始的狀態(tài)與轉(zhuǎn)一周后的狀態(tài)完全相同）。在這10種狀態(tài)中，每人都恰有一次機(jī)會(huì)對著自己的名片，即人與自己的名片共有10次對號(hào)。由于最初的狀態(tài)里，誰都沒有與自己的名片對上號(hào)，即人與自己名片對上10次是分布在9個(gè)狀態(tài)里。根據(jù)抽屜原理，必有一個(gè)狀態(tài)里，人與自己名片至少對上兩次，即至少有兩人對上自己的名片。

【評析】本例中所構(gòu)造的抽屜是對象的狀態(tài)，它不像對圖形分割那樣直觀，也不像對整數(shù)分類或利用數(shù)對那樣具體，因此有很大難度。

應(yīng)用抽屜原理證明問題，關(guān)鍵在于“構(gòu)造抽屜”，即找出合乎題目條件的分類方法。雖然我們例析了一些構(gòu)造抽屜的方法，但最本質(zhì)的是根據(jù)對象特點(diǎn)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)姆诸悂順?gòu)造抽屜，要具體問題具體對待，切忌生搬硬套。抽屜造得好，造得巧，不但可以證得十分漂亮的結(jié)果，給人以數(shù)學(xué)美的享受，而且也是對解題者數(shù)學(xué)能力與素質(zhì)的很好度量。