北京市中關(guān)村中學(xué) 張譯方

一、研究背景

由自己出生時(shí)體重與父親出生時(shí)體重相近而產(chǎn)生好奇，經(jīng)向同學(xué)隨機(jī)提問(wèn)，作出猜想——父代新生兒體重與子代新生兒體重呈正相關(guān)關(guān)系。

二、知識(shí)背景

1.回歸分析是數(shù)據(jù)分析中常用的一種方法，它可以提供變量間的回歸方程，并判斷所建立回歸方程的有效性。在方程有效性的前提下，可以用方程做預(yù)測(cè)和控制，并了解預(yù)測(cè)和控制的精度。多元回歸分析預(yù)測(cè)法，是指通過(guò)對(duì)兩個(gè)或兩個(gè)以上的自變量與一個(gè)因變量的相關(guān)分析，建立預(yù)測(cè)模型進(jìn)行預(yù)測(cè)的方法。當(dāng)自變量與因變量呈線(xiàn)性關(guān)系時(shí)，稱(chēng)為多元線(xiàn)性回歸分析。

2.Matlab是一種以矩陣為基本單位的數(shù)據(jù)分析軟件，它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線(xiàn)性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當(dāng)今國(guó)際科學(xué)計(jì)算軟件的先進(jìn)水平。

3.多項(xiàng)式擬合：a=polyfit（xdata，ydata，n），其中，n表示多項(xiàng)式的最高階數(shù)，xdata，ydata為將要擬合的數(shù)據(jù)，它是用數(shù)組的方式輸入。輸出參數(shù)a為擬合多項(xiàng)式的系數(shù)，相對(duì)應(yīng)的次數(shù)為由高到低。多項(xiàng)式在x處的值y可用y=polyval（a，x）計(jì)算。

4.最小二乘法（又稱(chēng)最小平方法）是一種數(shù)學(xué)優(yōu)化技術(shù)。它通過(guò)最小化誤差的平方和尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。利用最小二乘法可以簡(jiǎn)便地求得未知的數(shù)據(jù)，并使得這些求得的數(shù)據(jù)與實(shí)際數(shù)據(jù)之間誤差的平方和為最小。最小二乘法可用于曲線(xiàn)擬合。

三、研究過(guò)程

最近，我們就父代新生兒體重與子代新生兒體重這一問(wèn)題進(jìn)行了抽樣調(diào)查。通過(guò)詢(xún)問(wèn)我的老師、同學(xué)及父母同事的有關(guān)情況，并加以篩選（如：當(dāng)一家庭有兩個(gè)或兩個(gè)以上子代新生兒時(shí)，我們只取第一個(gè)新生兒的體重），最終得到36組數(shù)據(jù)。我們把程序放在附錄，這里只做輸出結(jié)果的說(shuō)明和分析。

數(shù)據(jù)的散點(diǎn)分布如下：

在此基礎(chǔ)上，我們利用一元回歸分析的方法，得到了父代新生兒體重與子代新生兒體重的線(xiàn)性回歸方程：y= 7.3356-0.0630x。

經(jīng)過(guò)殘差分析，我們?nèi)サ魯?shù)據(jù)中的2組極端值，隨后用最小二乘法進(jìn)行高次擬合。首先進(jìn)行線(xiàn)性擬合，輸出反映了函數(shù)整體下降的趨勢(shì)，但具體細(xì)節(jié)部分并沒(méi)有反映出來(lái)。然后對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行二次擬合，對(duì)比兩次的擬合圖，會(huì)發(fā)現(xiàn)二次擬合出來(lái)的結(jié)果比一次擬合結(jié)果更加準(zhǔn)確，但仍未反映出數(shù)據(jù)的真實(shí)情況。最后對(duì)曲線(xiàn)進(jìn)行高次擬合，輸出的圖像是進(jìn)行5次擬合的結(jié)果，基本上反映出了數(shù)據(jù)的真實(shí)變化情況。需要注意的是不可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行太高次數(shù)的擬合，次數(shù)太高就會(huì)出現(xiàn)警告。

四、結(jié)論及展望

經(jīng)研究表明，父代新生兒體重與子代新生兒體重存在一定相關(guān)性。

本次研究模型并不精確，子代新生兒體重與父代新生兒體重相關(guān)的同時(shí)，不排除空氣環(huán)境、醫(yī)生建議、飲食結(jié)構(gòu)、生活條件等因素也會(huì)對(duì)子代新生兒體重產(chǎn)生某種影響。

附錄：

數(shù)據(jù)預(yù)處理：

我們猜想兩組數(shù)據(jù)線(xiàn)性相關(guān)，下面借助matlab求相關(guān)系數(shù)。

Matlab程序?yàn)椋海ㄝ斎肴缦旅睿?/p>

＞＞ x=[9.1，6.8，9.2，7.3，6.8，7.2，8.6，6.0，9.1，6.0，4.9，7.0，6.5，8，7，6.5，5.8，6.1，7，5.5，5，6，8，7，6.6，6.6，6.8，7.8，6.5，6.5，7.8，6.8，5.3，6.5，6，6.2]；

y=[7.8，8.0，6.8，7.6，7.0，6.5，6.6，7.4，5.9，7.5，6.6，7.0，3，6.9，6.3，7.3，5.8，5.1，6.5，6.9，7.8，6.6，6.9，6.6，6.5，8.8，5.4，7.5，7.8，9.2，6.2，7.4，7.9，7.5，7.2，6.8]；

X=[ones（length（y），1），x’]；

Y=y’；

[b，bint，r，rint，stats]=regress（Y，X）；

b，bint，stats

輸出結(jié)果：

b=

7.3356

-0.0630

bint =

4.9389 9.7323

-0.4098 0.2838

stats =

0.0040 0.1362 0.7144 1.1864

因此我們可得：孩子新生兒體重和父親新生兒體重的線(xiàn)性相關(guān)的公式為：y= 7.3356-0.0630x。

＞＞scatter（x，y）

我們得到散點(diǎn)圖：

（殘差分析）

接著輸入 rcoplot（r，rint）

結(jié)果顯示

＞＞ [R，P]=corrcoef（x，y）

我們得到協(xié)方差矩陣

R =

1.0000 -0.0642

-0.0642 1.0000

有前面的殘差分析，我們?nèi)サ魞蓚€(gè)極端值，再進(jìn)行相關(guān)性分析和系數(shù)估計(jì)，matlab程序如下：

＞＞ x=[9.1，6.8，9.2，7.3，6.8，7.2，8.6，6.0，9.1，6.0，4.9，7.0，8，7，6.5，5.8，6.1，7，5.5，5，6，8，7，6.6，6.6，6.8，7.8，6.5，7.8，6.8，5.3，6.5，6，6.2]；

y=[7.8，8.02，6.8，7.6，7.0，6.5，6.6，7.4，5.88，7.5，6.6，7.0，6.9，6.3，7.3，5.8，5.1，6.5，6.9，7.8，6.6，6.9，6.6，6.5，8.8，5.4，7.5，7.8，6.2，7.4，7.9，7.5，7.2，6.8]；

X=[ones（length（y），1），x’]；

Y=y’；

[b，bint，r，rint，stats]=regress（Y，X）；

b，bint，stats

b =

7.4889

-0.0783

bint =

5.7460 9.2319

-0.3297 0.1731

stats =

0.0124 0.4023 0.5304 0.6169

＞＞ [R，P]=corrcoef（x，y）

R =

1.0000 -0.1114

-0.1114 1.0000

P =

1.0000 0.5304

0.5304 1.0000

我們看到，兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)性明顯增強(qiáng)，我們可以認(rèn)為，新生兒體重和父親的出生體重有線(xiàn)性關(guān)系：y=7.4889 -0.0783x。

求解最小二乘曲線(xiàn)擬合：

我們首先進(jìn)行線(xiàn)性擬合：

＞＞ x=[9.1，6.8，9.2，7.3，6.8，7.2，8.6，6.0，9.1，6.0，4.9，7.0，8，7，6.5，5.8，6.1，7，5.5，5，6，8，7，6.6，6.6，6.8，7.8，6.5，7.8，6.8，5.3，6.5，6，6.2]；

y=[7.8，8.02，6.8，7.6，7.0，6.5，6.6，7.4，5.88，7.5，6.6，7.0，6.9，6.3，7.3，5.8，5.1，6.5，6.9，7.8，6.6，6.9，6.6，6.5，8.8，5.4，7.5，7.8，6.2，7.4，7.9，7.5，7.2，6.8]；

a=polyfit（x，y，1）；

x1=4:0.1:10；

y1=a（1）＊x1+a（2）；

plot（x，y，’＊’，x1，y1，’r’）

反映了函數(shù)整體下降的趨勢(shì)，但具體細(xì)節(jié)部分并沒(méi)有反映出來(lái)。下面對(duì)曲線(xiàn)進(jìn)行二次擬合，其程序代碼如下：

＞＞ b=polyfit（x，y，2）；

x2=4∶0.1∶10；

y2=b（1）＊x2.^2+b（2）＊x2+b（3）

plot（x，y，’＊’，x2，y2，’r’）

得到結(jié)果：

y2 =

1至15列

7.2487 7.2356 7.2226 7.2099 7.1973 7.1848 7.1726 7.1605 7.1486 7.1369 7.1253 7.1139 7.1027 7.0916 7.0808

16 至 30 列

7.0701 7.0595 7.0492 7.0390 7.0290 7.0191 7.0095 7.0000 6.9906 6.9815 6.9725 6.9637 6.9551 6.9466 6.9383

31 至 45 列

6.9302 6.9222 6.9145 6.9069 6.8994 6.8922 6.8851 6.8782 6.8714 6.8649 6.8585 6.8523 6.8462 6.8403 6.8346

46 至 60 列

6.8291 6.8237 6.8185 6.8135 6.8087 6.8040 6.7995 6.7952 6.7910 6.7871 6.7832 6.7796 6.7761 6.7729 6.7697

61 列

6.7668

對(duì)比兩次的擬合圖會(huì)發(fā)現(xiàn)，二次擬合出來(lái)的結(jié)果比一次擬合結(jié)果更加準(zhǔn)確，但仍未反映出數(shù)據(jù)的真實(shí)情況。再對(duì)曲線(xiàn)進(jìn)行高次擬合：

＞＞ c=polyfit（x，y，5）；

x3=4:0.1:10；

y3=c（1）＊x3.^5+c（2）＊x3.^4+c（3）＊x3.^3+c（4）＊x3.^2+c（5）＊x3+c（6）；

plot（x，y，’＊’，x3，y3，’-r’）

這個(gè)圖像是對(duì)曲線(xiàn)進(jìn)行5次擬合的結(jié)果，基本上反映出了數(shù)據(jù)的真實(shí)變化情況。需要注意的是，不可以對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行太高次數(shù)的擬合，次數(shù)太高就會(huì)出現(xiàn)警告。