，， ，，金龍

(1.青島市公路管理局 即墨分局，山東 青島 266000； 2.中國(guó)科學(xué)院武漢巖土力學(xué)研究所 湖北省環(huán)境巖土工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，武漢 430071； 3.即墨國(guó)際商貿(mào)城開(kāi)發(fā)投資有限公司，山東 青島 266000)

1 研究背景

隧道開(kāi)挖施工是在巖土體內(nèi)部進(jìn)行，施工過(guò)程中不可避免地對(duì)巖土體產(chǎn)生擾動(dòng)，引起隧道周邊地表產(chǎn)生沉降。當(dāng)沉降超過(guò)一定限度時(shí)，勢(shì)必會(huì)危及周圍地面建筑設(shè)施、道路和地下管線的安全。為了減少由于隧道施工及長(zhǎng)期運(yùn)行引起的地表沉降對(duì)地面建筑物及地下設(shè)施的損害，以及對(duì)周圍環(huán)境的不良影響，有必要對(duì)地表沉降進(jìn)行合理有效的預(yù)測(cè)[1]。

關(guān)于地下空間開(kāi)挖和運(yùn)行引起地表沉降的研究歷史已久，但是關(guān)于含孔洞的半無(wú)限空間地表沉降的理論研究還不夠深入，沒(méi)有形成一套完整的體系，基于經(jīng)典力學(xué)原理的分析方法較少[2]?，F(xiàn)階段，地表沉降預(yù)測(cè)大多采用的是基于隨機(jī)介質(zhì)理論的概率積分方法[3]、典型曲線法等唯象學(xué)方法，隧道地表沉降預(yù)測(cè)大多采用經(jīng)驗(yàn)方法，如Peck公式[4]等。理論研究方面主要包括1958年日本學(xué)者M(jìn)ogi[5]參考Yamakawa[6]的研究成果，將其變形公式引入到火山區(qū)地表變形預(yù)測(cè)研究中，得到了很好的近似效果；麻鳳海等[7-8]利用流變力學(xué)原理研究了地表下沉的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程，根據(jù)板殼彎曲理論分析了巖層與地表移動(dòng)規(guī)律；Fialko等[9]利用半無(wú)限空間內(nèi)一個(gè)水平圓形受壓裂縫模型，推導(dǎo)出了地表的垂直和水平位移；Eickemeier[10]根據(jù)鹽巖的蠕變建立了腔體收縮體積與地表沉降之間的關(guān)系；李銀平等[2]利用火山地震學(xué)中用于預(yù)測(cè)火山噴發(fā)地區(qū)地表變形的Mogi模型，得到庫(kù)區(qū)地面垂直位移和水平位移的彈性解，但此解仍是近似解。

本文首先對(duì)已有的含球形孔洞的半無(wú)限空間地表沉降雙重積分解析解[2]進(jìn)行分析，探討沉降槽的特征。然后，根據(jù)彈性力學(xué)理論，從無(wú)限域內(nèi)軸對(duì)稱平面應(yīng)變問(wèn)題出發(fā)，將水平隧道地表沉降問(wèn)題近似為彈性半無(wú)限空間內(nèi)水平圓柱形孔洞收縮引起的邊界位移問(wèn)題，運(yùn)用疊加原理推導(dǎo)出彈性半無(wú)限空間內(nèi)部一定埋深處的圓柱形孔洞在一定徑向面力作用下產(chǎn)生的彈性地表沉降積分形式的解析解。最后，運(yùn)用對(duì)應(yīng)原理及拉普拉斯變換得到黏彈性地表沉降積分形式解析解，從而為隧道開(kāi)挖及運(yùn)行地表沉降預(yù)測(cè)提供一套新的基于力學(xué)理論的方法。

2 含球形孔洞的半無(wú)限空間地表沉降解析解

2.1 雙重積分彈性解析解的無(wú)量綱分析

李銀平等[11]從彈性力學(xué)理論出發(fā)，運(yùn)用對(duì)稱及疊加原理推導(dǎo)得到含球形孔洞的彈性半無(wú)限空間地表沉降雙重積分解析解為

(1)

式中：E為拉壓彈性模量；ν為泊松比；p為球形孔洞的收縮面力；a為球形孔洞的半徑；f為球形孔洞中心點(diǎn)的埋深；r為任意一點(diǎn)到地表對(duì)稱中心的距離；w為地表沉降；θ為積分變量。

式(2)即為無(wú)量綱的含球形孔洞彈性半無(wú)限空間的地表沉降雙重積分解析解。該表達(dá)式表明無(wú)量綱的地表沉降W(R)與球形孔洞的收縮面力p和無(wú)量綱半徑的立方A3成正比。

令雙重積分

(3)

從式(3)中可以看出，該雙重積分J僅與無(wú)量綱半徑R有關(guān)，地表沉降曲線形狀函數(shù)與球形孔洞的地層參數(shù)無(wú)關(guān)，與幾何參數(shù)和力學(xué)參數(shù)也無(wú)關(guān)。此表達(dá)式適用于球形孔洞的半徑與埋深之比a/f?1的情況，對(duì)于埋深較淺的孔洞計(jì)算則會(huì)有一定誤差。

2.2 雙重積分J的計(jì)算方法

對(duì)于J的計(jì)算，可采用Maple數(shù)學(xué)計(jì)算軟件來(lái)進(jìn)行。對(duì)于R=0.1時(shí)，求解雙重積分的主要計(jì)算程序如下：

restart;

evalf(int(int(f(R′,θ),θ=0…2π),R′=0…))。

對(duì)于不同的R值，只需將程序中的0.1換成相應(yīng)的值即可。雙重積分J與R的關(guān)系曲線如圖1所示，經(jīng)計(jì)算可得該曲線的拐點(diǎn)的位置為R=0.5，即半無(wú)限空間地表沉降曲線的拐點(diǎn)與對(duì)稱中心的距離為1/2埋深處。

2.3 雙重積分的黏彈性解析解

李銀平等[11]假設(shè)材料呈彈性體積變形和

圖1雙重積分J與R的關(guān)系曲線

Fig.1RelationbetweendoubleintegralJandR

Maxwell黏彈性畸變，即應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的球張量是彈性關(guān)系,而偏張量部分為Maxwell材料的黏彈性關(guān)系[12]。運(yùn)用對(duì)應(yīng)原理和拉普拉斯變換推導(dǎo)得到含球形孔洞黏彈性半無(wú)限空間的地表沉降雙重積分解析解為

(4)

式中：K為體積彈性模量；η1和G1分別為Maxwell模型受剪切時(shí)阻尼器的黏性系數(shù)和彈簧的彈性模量。且有

當(dāng)t=0時(shí)，代入式(4)可得

(5)

退化為彈性解，即式(1)。

那么，含球形孔洞黏性半無(wú)限空間的地表沉降積分形式解析解為

(6)

3 隧道地表沉降的彈性模型

本文研究水平隧道無(wú)支護(hù)情況下的地表沉降及其時(shí)效特征，對(duì)于隧道施工過(guò)程(包括開(kāi)挖方式、支護(hù)措施及支護(hù)時(shí)間)對(duì)地表沉降的影響將在后續(xù)工作中加以詳細(xì)研究。

隧道開(kāi)挖對(duì)附近巖土體擾動(dòng)較大，會(huì)發(fā)生一定損傷和非彈性形變，因此隧道開(kāi)挖引起的地表沉降包含2個(gè)方面：一是開(kāi)挖卸荷引起的上覆巖土體彈性變形；二是隧道附近巖土體破損和塑性變形導(dǎo)致的附加地表變形。本文主要對(duì)巖土體開(kāi)挖卸荷引起的地表沉降及其時(shí)滯效應(yīng)展開(kāi)分析，以期得到基于力學(xué)理論的解析解。

3.1 整體思路

如圖2所示，x軸為隧道開(kāi)挖方向，yoz平面是隧道的橫截面(x軸垂直于yoz平面，為了圖像更加清晰直觀，在圖2中不標(biāo)識(shí)x軸)。目前，關(guān)于彈性半無(wú)限空間內(nèi)水平圓柱形孔洞受力收縮導(dǎo)致的邊界位移w(y)問(wèn)題，大多是一些唯象的經(jīng)驗(yàn)近似解，尚未發(fā)現(xiàn)精確理論解。對(duì)于長(zhǎng)隧道問(wèn)題，可考慮為平面應(yīng)變問(wèn)題。對(duì)于球形孔洞的三維問(wèn)題，文獻(xiàn)[11]已給出了積分形式的彈性解式(1)，可惜對(duì)于二維問(wèn)題卻不能簡(jiǎn)單地由三維解退化而來(lái)，需要采用類似的思路重新推導(dǎo)。

圖2含水平圓形孔洞半無(wú)限空間的彈性模型

Fig.2Elasticmodelintheelastichalfinfinitespace
containingahorizontallycylindricalcavern

為了求解該問(wèn)題，構(gòu)造含2個(gè)相同圓形孔洞的雙圓洞無(wú)限平板模型。將該模型沿對(duì)稱面分解，并進(jìn)行受力分析(在漫長(zhǎng)的地質(zhì)歷史過(guò)程中，由重力產(chǎn)生的地表沉降已經(jīng)完成，此處不考慮重力對(duì)地表沉降的影響)可得到如圖3(a)所示的模型2和模型3，由于這2個(gè)模型完全相同，計(jì)算時(shí)只需考慮其中一個(gè)即可。

以模型3為例進(jìn)行分析，在面力p和表面法向面力σz(y)共同作用下，上表面法向位移為0。根據(jù)彈性力學(xué)理論中的疊加原理，模型3是圖3(b)中

(a)雙圓洞模型分解圖(b)模型3分解圖

圖3雙圓洞模型分解圖

Fig.3Breakdowndrawingofdouble-circular-holemodel

圖4 隧道橫斷面Fig.4 Cross section of tunnel

模型4和模型5的疊加，故w1(y)+w2(y)=0。因此w(y)=-w1(y)=w2(y)。這樣，就將原問(wèn)題(模型1，即模型5)中w(y)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求模型4中w1(y)的問(wèn)題。但是，目前表面法向面力σz(y)未知。

3.2 軸對(duì)稱平面應(yīng)變問(wèn)題

為了獲得模型4中的表面法向面力，首先看如圖4所示的無(wú)限平板軸對(duì)稱平面應(yīng)變問(wèn)題。

軸對(duì)稱應(yīng)力的一般性解答為[13]

(7)

軸對(duì)稱應(yīng)力狀態(tài)下對(duì)應(yīng)的位移分量為

(8)

式中：uρ為徑向位移；uφ為環(huán)向位移；ερ為徑向應(yīng)變；εφ為環(huán)向應(yīng)變；σρ為徑向應(yīng)力；σφ為環(huán)向應(yīng)力；λ和μ為L(zhǎng)ame常數(shù)；A，B，C，H，I，L都是待定的常數(shù)，其中常數(shù)H，I，L代表剛體位移分量，故H=I=L=0。

由位移單值條件B=0和邊界條件

可得

(9)

3.3 柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間的變換

圖5坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換示意圖

Fig.5Transformationofcoordinatesystem

本文將隧道彈性沉降模型簡(jiǎn)化為軸對(duì)稱平面應(yīng)變問(wèn)題，地表沉降僅與中心線的距離ρ有關(guān)，與角度φ和掘進(jìn)深度x無(wú)關(guān)。為計(jì)算模型4中的表面法向面力，將極坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)系,如圖5所示。

極坐標(biāo)系(ρ，φ)與直角坐標(biāo)系(y，z)的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

極坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系之間單位矢量間的變換矩陣為

直角坐標(biāo)系下的應(yīng)力矩陣為

[σd]=[β]T[σc][β]=

(10)

將式(9)代入式(10)中，可得

(11)

3.4 隧道地表沉降彈性模型的求解

由于構(gòu)造的雙圓洞平板模型是對(duì)稱模型，對(duì)稱面上沒(méi)有法向位移，且切向應(yīng)力為0，僅分布著法向應(yīng)力，并且2個(gè)圓內(nèi)面力引起的對(duì)稱面上的法向應(yīng)力大小相等,那么對(duì)稱面上法向應(yīng)力的大小由式(11)可得

(12)

這樣就獲得了模型4中法向面力表達(dá)式。

半平面體在邊界上受法向集中力作用，如圖6所示，地表沉降[13]為

(13)

由于該法向面力是非均勻分布面力，需進(jìn)行積分計(jì)算。任意一點(diǎn)(y，0)的沉降值是由分布荷載疊加產(chǎn)生的，建立如圖7所示的直角坐標(biāo)系。

圖6 半平面體在邊界上受集中力示意圖Fig.6 Concentrated force on the half-plan border

圖7隧道沉降計(jì)算示意圖

Fig.7Calculatingdiagramforsurfacesubsidenceabovetunnel

任意微元荷載dF及其引起的微元沉降dw為：

(14)

(15)

那么

(16)

式(16)即為彈性半無(wú)限空間內(nèi)部在一定埋深的隧道引起的地表沉降積分形式的解析解。

4 隧道地表沉降的黏彈模型

李銀平等[11]在求解鹽穴地下儲(chǔ)庫(kù)地表沉降的黏彈性解析解時(shí)采用的是Maxwell模型，獲得了積分形式解析解，本節(jié)求解隧道地表沉降的黏彈性解析解時(shí)仍采用Maxwell模型。

4.1 Maxwell模型簡(jiǎn)介

Maxwell模型是由彈簧和阻尼器串聯(lián)而成[12]，如圖8所示。

圖8Maxwell模型組成

Fig.8CompositionofMaxwellmodel

設(shè)在應(yīng)力σ作用下，彈簧和阻尼器的應(yīng)變分別為ε1和ε2，則總應(yīng)變?yōu)?/p>

ε=ε1+ε2。

Maxwell模型的應(yīng)力應(yīng)變微分關(guān)系式為

(17)

式中η1和G1分別為Maxwell模型受剪切時(shí)阻尼器的黏彈性系數(shù)和彈簧的彈性模量。

假設(shè)材料呈彈性體積變形和Maxwell黏彈性畸變，即應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的球張量是彈性關(guān)系而偏張量部分為Maxwell材料的黏彈性關(guān)系[12]，即

(18)

4.2 隧道地表沉降的黏彈性解析解

將式(16)進(jìn)行拉普拉斯逆變換得到

]·

(19)

此式即為半無(wú)限空間內(nèi)部在一定埋深的圓柱形孔洞引起的地表沉降黏彈性積分形式的解析解。

當(dāng)t=0時(shí)，代入式(19)可得

w(y)e。

(20)

那么，隧道地表沉降的黏性積分形式解析解為

隧道地表沉降是一個(gè)隨時(shí)間積累的動(dòng)態(tài)發(fā)展過(guò)程，與工程地質(zhì)情況、水文地質(zhì)情況、隧道施工方法、施工技術(shù)水平及工程管理等因素有關(guān)。一般情況下，隧道開(kāi)挖后緊接著進(jìn)行襯砌支護(hù)，本文的模型可用于初期襯砌施工前的裸洞期。二次襯砌完工后，隧道變形和襯砌支護(hù)反力協(xié)同變化，變形大則反力相應(yīng)增加，直到平衡，本文的模型不能直接應(yīng)用，但是可以用于迭代計(jì)算。

4.3 隧道地表沉降彈性解析解計(jì)算方法

(22)

該無(wú)量綱的地表沉降值W(Y)與球形孔洞的收縮面力p和無(wú)量綱半徑平方A2成正比，與地層的彈性模量E成反比。

令積分

(23)

從式(23)中可以看出，積分J僅與Y有關(guān)，對(duì)地表沉降曲線形狀具有“控制”作用，與隧道的地層參數(shù)無(wú)關(guān)，與隧道的幾何、力學(xué)參數(shù)也無(wú)關(guān)，針對(duì)理想狀況但卻是解析解，在已有的文獻(xiàn)中尚未看到基于力學(xué)理論的解析解，一般只給出了經(jīng)驗(yàn)公式。此表達(dá)式適用于深埋隧道，對(duì)于埋深較淺的隧道會(huì)有一定誤差。

圖9積分J與Y的關(guān)系曲線

Fig.9RelationcurvebetweenintegralJandY

根據(jù)較長(zhǎng)期的地鐵施工地表沉降監(jiān)測(cè)結(jié)果，上海地區(qū)的沉降槽系數(shù)建議值為0.5，廣州和深圳地區(qū)為[0.6，0.8]，北京地區(qū)為[0.3，0.6][4]。本文通過(guò)計(jì)算得到的理論值為K=0.6(即Y=0.6)，這些經(jīng)驗(yàn)值均在理論值附近，差別并不大，這就表明理論解是可靠的、合理的。

根據(jù)J的計(jì)算分析可以看到，地層參數(shù)和隧道幾何參數(shù)等只會(huì)改變沉降槽的寬度、深度，但是不會(huì)改變形狀控制點(diǎn)——反彎點(diǎn)的相對(duì)位置。因此，本文主要是對(duì)具有普遍意義的地表沉降曲線形狀加以分析(即積分J)，并和我國(guó)幾大地區(qū)的沉降槽系數(shù)經(jīng)驗(yàn)值進(jìn)行比對(duì)，來(lái)驗(yàn)證公式的合理性。對(duì)于不同工程條件下(成層地層、非圓隧道斷面)的地表沉降將另文分析研究。

本文隧道地表沉降預(yù)測(cè)模型是純理論模型，獲得合適的地層參數(shù)后，可有效預(yù)測(cè)不同地區(qū)、不同深度的各種隧道開(kāi)挖地表沉降槽深度和范圍，而Peck公式等是經(jīng)驗(yàn)公式，需要根據(jù)某隧道現(xiàn)場(chǎng)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)擬合。因此，相對(duì)于經(jīng)驗(yàn)公式，本文的預(yù)測(cè)模型更具有一般意義，為水平深埋隧道的地表沉降預(yù)測(cè)提供了一套新的基于力學(xué)理論的解析解，盡管是積分形式，但用本文提供的計(jì)算方法很方便。

5 結(jié)論與討論

(1)本文從彈性無(wú)限域內(nèi)軸對(duì)稱平面應(yīng)變問(wèn)題入手,運(yùn)用對(duì)應(yīng)原理及對(duì)稱性,推導(dǎo)出深埋隧道地表沉降的彈性積分形式解析解。運(yùn)用對(duì)應(yīng)原理，將體積變形視為彈性，畸變視為Maxwell黏彈性，對(duì)其進(jìn)行拉普拉斯變換，得到時(shí)空域上的深埋隧道地表沉降的黏彈性積分形式解析解,為隧道地表沉降的預(yù)測(cè)提供了一套新的基于力學(xué)理論的方法。

(2)積分解數(shù)值計(jì)算表明，含球形孔洞半無(wú)限空間的無(wú)量綱地表沉降曲線形狀與球形孔洞的埋深和半徑無(wú)關(guān)，深埋隧道無(wú)量綱地表沉降曲線形狀也與隧道的埋深和半徑無(wú)關(guān)，前者沉降槽寬度系數(shù)K為0.5，后者為0.6，后者和已有多地區(qū)隧道地表沉降監(jiān)測(cè)結(jié)果吻合良好。

(3)為了能獲得解析解，本文選擇了較為簡(jiǎn)單的黏彈模型，對(duì)于更為貼近工程實(shí)際的復(fù)雜黏彈模型將另文研究；本文只考慮了隧道開(kāi)挖的地表豎向變形(沉降)，關(guān)于地表水平變形也將在下一步工作中完成。

[1] 周 偉. 隧道施工地面沉降數(shù)值分析研究[D]. 武漢: 華中科技大學(xué), 2006.

[2] 李銀平，孔君鳳，徐玉龍，等. 利用Mogi模型預(yù)測(cè)鹽巖儲(chǔ)氣庫(kù)地表沉降[J]. 巖石力學(xué)與工程學(xué)報(bào)，2012，31(9): 1737-1745.

[3] 任 松，姜德義，楊春和，等. 巖鹽水溶開(kāi)采沉陷新概率積分三維預(yù)測(cè)模型研究[J]. 巖土力學(xué)，2007，28(1): 133-138.

[4] 韓 煊，李 寧，STANDING J R. Peck公式在我國(guó)隧道施工地面變形預(yù)測(cè)中的適用性分析[J]. 巖土力學(xué)，2007，28(1): 23-28.

[5] MOGI K. Relations Between the Eruptions of Various Volcanoes and the Deformations of the Ground Surfaces around Them[J]. Bulletin of the Earthquake Research Institute，1958, 36: 99-134.

[6]YAMAKAWA N. On the Strain Produced in a Semi-infinite Elastic Solid by an Interior Source of Stress[J]. Journal of Seismological Society of Japan, 1955, 8(2): 84-98.

[7] 麻鳳海，范學(xué)理. 水平煤層開(kāi)采地表沉陷空間問(wèn)題的理論研究[J]. 中國(guó)礦業(yè)，1994, 3(6): 44-49.

[8] 麻鳳海，范學(xué)理. 連續(xù)介質(zhì)流變理論及其在巖層下沉動(dòng)態(tài)過(guò)程中的應(yīng)用[J]. 中國(guó)有色金屬學(xué)報(bào)，1996, 6(4): 7-12.

[9] FIALKO Y, KHAZAN Y, SIMONS M. Deformation Due to a Pressurized Horizontal Circular Crack in an Elastic Half-space, with Applications to Volcano Geodesy[J]. Geophysical Journal International, 2001, 146(1): 181-190.

[10] EICKEMEIER R. A New Model to Predict Subsidence above Brine Fields[C]∥Solution Mining Research Institute.SMRI Fall 2005 Technical Conference,Nancy, France, October 2-5, 2005.

[11] 李銀平，孔慶聰，施錫林，等. 鹽穴地下儲(chǔ)庫(kù)地表沉降的黏彈模型及其應(yīng)用[J]. 巖土力學(xué),2017,38(7):2049-2058.

[12] 楊挺青. 粘彈性力學(xué)[M]. 武漢：華中理工大學(xué)出版社, 1990.

[13] 徐芝綸. 彈性力學(xué) (上、 下)[M]. 北京: 高等教育出版社, 1990.