，

(北京工業(yè)大學(xué) 建筑工程學(xué)院，北京 100124)

1 研究背景

梁作為工程結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)構(gòu)件，被廣泛地應(yīng)用在各種結(jié)構(gòu)中。彈性或者黏彈性地基上的梁構(gòu)件在工程實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景，比如鐵路軌道、高速公路、人行道和連續(xù)管道等。而且對(duì)梁進(jìn)行研究對(duì)于研究地基-結(jié)構(gòu)相互作用的機(jī)理大有裨益[1]，因此，有很多專家學(xué)者研究了基于彈性或黏彈性基礎(chǔ)的梁的靜力作用[2]、動(dòng)態(tài)響應(yīng)和動(dòng)力穩(wěn)定性等內(nèi)容。

以彈性地基梁的自由振動(dòng)分析為例，相當(dāng)多的學(xué)者使用的是Winkler地基模型(或稱為單參數(shù)模型)，這個(gè)模型是捷克工程師于1867年提出的。該模型的特點(diǎn)是把土體視為由一系列側(cè)面無(wú)摩擦的土柱或彼此獨(dú)立的彈簧組成。這種模型的最大缺點(diǎn)是沒(méi)有考慮土體的連續(xù)性，忽略了土體中剪應(yīng)力的作用。

Eisenberger等[3]研究了局部/整體基于Winkler彈性地基模型的等截面Euler-Bernoulli梁的固有特性。Thambiratnam等[4]對(duì)基于Winkler彈性地基模型的梁模型提出了非線性振動(dòng)分析的解析解；隨著研究的深入，發(fā)現(xiàn)Winkler模型沒(méi)有考慮土體連續(xù)性的缺點(diǎn)被放大，而且基床系數(shù)對(duì)結(jié)構(gòu)反應(yīng)的影響過(guò)大。徐牧明等[5]研究了基于室內(nèi)測(cè)試技術(shù)快速準(zhǔn)確地確定Winkler地基基準(zhǔn)基床系數(shù)的方法。Valsangkar等[6]研究了基于雙參數(shù)的彈性地基的等截面梁的運(yùn)動(dòng)，對(duì)軸向力作用下的簡(jiǎn)支梁進(jìn)行了模態(tài)分析。De Rosa等[7]考慮了集中質(zhì)量影響的基于雙參數(shù)地基模型的Euler-Bernoulli等截面梁的自由振動(dòng)。劉學(xué)山等[8]提出了一個(gè)用于分析彈性梁自由振動(dòng)的新的黏彈性地基模型。

在工程中，出于對(duì)力學(xué)或美觀等方面的考量，梁的截面常常被設(shè)計(jì)成變截面。這會(huì)使得運(yùn)動(dòng)方程變?yōu)樽兿禂?shù)的偏微分方程組，使求梁自由振動(dòng)解析解變得困難，所以通常是采用半解析解或由數(shù)值方法得到的近似解來(lái)分析。對(duì)變截面梁動(dòng)力特性的分析方面，樓夢(mèng)麟等[9]提出了利用等截面梁的動(dòng)力特性來(lái)近似計(jì)算變截面梁的動(dòng)力特性的方法；崔燦等[10]提出了基于平衡方程的任意變截面梁橫向振動(dòng)的半解析解。

本文采用的Pasternak彈性地基模型(又稱雙參數(shù)地基模型)用2個(gè)獨(dú)立的參數(shù)分別表示土體的抗壓特征系數(shù)k和抗剪特征系數(shù)Gp，該模型既克服了Winkler地基模型不能反映壓力擴(kuò)散的缺陷，數(shù)學(xué)處理上又較彈性半空間地基模型簡(jiǎn)單。

本文將基于Timoshenko梁理論[11]、Pasternak雙地基模型和哈密頓原理，運(yùn)用數(shù)學(xué)中的分段[12]思想，將每個(gè)有限元單元都視為一個(gè)等截面梁段，用有限元法[13]快速地計(jì)算變截面梁(以漸縮梁為例)的橫向振動(dòng)特性。

2 控制方程

2.1 單元矩陣生成

有限長(zhǎng)Timoshenko梁完全置于Pasternak地基上，長(zhǎng)度為L(zhǎng)，見(jiàn)圖1。這里，每個(gè)梁?jiǎn)卧?個(gè)節(jié)點(diǎn)i，j組成，每個(gè)節(jié)點(diǎn)包含2個(gè)自由度：側(cè)向位移υe和轉(zhuǎn)角θe。此外，以下的推導(dǎo)基于如下幾點(diǎn)假設(shè)：①梁的振動(dòng)幅度足夠?。虎诹旱牟牧鲜歉飨蛲郧揖€性的；③忽略基礎(chǔ)的慣性力和阻尼；④梁和地基完美結(jié)合。

圖1 Pasternak雙參數(shù)地基Fig.1 Sketch of beam on Pasternak foundation

在不考慮外界荷載作用的情況下，梁的運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

式中：0≤x≤L；y=y(x,t)，為梁的橫向撓度函數(shù)；EI(x)為橫向彎曲剛度；ρA(x)為線密度；k為土體的抗壓特征系數(shù)(由圖1中的彈簧提供)；Gp為土體抗剪特征系數(shù)(由圖1中的剪切層提供)。

使用分離變量法，得到對(duì)應(yīng)振型函數(shù)的四階常微分方程,即

(2)

本文將基于β=1.0，即圖1對(duì)應(yīng)的情況展開(kāi)研究。解的情況需要根據(jù)η4的取值來(lái)定，分成以下3種情況：①η4>0；②η4=0；③η4<0。

顯然，無(wú)法根據(jù)式(2)得到變截面梁的解析解，也無(wú)法應(yīng)用此式對(duì)變截面梁進(jìn)行進(jìn)一步的動(dòng)力特性分析(如模態(tài)分析)。

這里，基于分段的思想，將變截面梁分為相互連接、滿足位移協(xié)調(diào)條件的N個(gè)梁段的組合體(本文采用的是長(zhǎng)度相等，高度沿軸向變化的梁段)。當(dāng)段數(shù)足夠多時(shí)，可以將每一梁段都看作是等截面梁，如圖2。

圖2 分段梁?jiǎn)卧狥ig.2 Divided beam with N segments

基于哈密頓原理(Hamilton’s principle)，對(duì)每個(gè)長(zhǎng)度為l的梁段，考慮剪切變形影響及彈性地基作用的應(yīng)變能Ue可以寫(xiě)成如下的形式，即

(3)

式中：E為彈性模量；I為梁的慣性矩；k′為等效截面剪切系數(shù)(矩形截面取5/6)；G為剪切模量；A為橫截面面積。

考慮轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的動(dòng)能Te表示為

(4)

式中ρ為梁的質(zhì)量密度。根據(jù)有限元法，單元的位移模式應(yīng)滿足完備性和協(xié)調(diào)性。節(jié)點(diǎn)處的橫向位移和轉(zhuǎn)角分別表示為υi，θi。這里選擇單元位移模式為三階多項(xiàng)式函數(shù)(其中θ(x)是考慮剪切變形影響的位移模式)：

υ(x)=a+bx+cx2+dx3;

(5)

(6)

式中a，b，c，d為廣義坐標(biāo)。單元的節(jié)點(diǎn)位移可表示為

(7)

將單元節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)代入式(5)、式(6)，用矩陣表示為

(8)

解方程(8)，求廣義坐標(biāo)用節(jié)點(diǎn)自由度υi和θi表示的形式，再將其代入式(5)、式(6)，可表示為：

(9)

(10)

其中，插值函數(shù)(形函數(shù))[Nυ]內(nèi)的每項(xiàng)為：

(11)

(12)

(13)

(14)

插值函數(shù)(形函數(shù))[Nθ]內(nèi)的每項(xiàng)為：

(15)

(16)

(17)

(18)

由于Timoshenko梁?jiǎn)卧男再|(zhì)，彎曲應(yīng)變和剪切應(yīng)變分別表示為：

(19)

(20)

其中：

(21)

(22)

將式(9)、式(10)代入應(yīng)變能Ue、動(dòng)能Te表達(dá)式，可以得到應(yīng)變能和動(dòng)能的矩陣形式：

(23)

(24)

需要注意的是，如果剪切應(yīng)變?chǔ)脼?，那么轉(zhuǎn)動(dòng)慣量對(duì)應(yīng)的質(zhì)量矩陣[Mr]將被忽略，并且此時(shí)的模型變?yōu)橛蒏aramanlidis等[14]提出的經(jīng)典Euler-Bernoulli梁模型在雙參數(shù)彈性地基梁的形式。

2.2 控制方程生成

根據(jù)之前生成的單元?jiǎng)偠染仃嚕瑧?yīng)用哈密頓原理，滿足小變形的自由振動(dòng)的基于二參數(shù)的彈性地基Timoshenko梁的矩陣方陣為

(25)

通過(guò)對(duì)式(25)特征值的求解(運(yùn)用矩陣QR分解)，得出對(duì)應(yīng)的各階頻率和模態(tài)。

3 數(shù)值算例

以2種變截面梁為算例，討論有限單元個(gè)數(shù)對(duì)計(jì)算精度的影響。在有限元中，采用的是兩節(jié)點(diǎn)平面梁?jiǎn)卧M梁的橫向振動(dòng)，單元數(shù)分別為40，80，200，500。

3.1 矩形截面梁算例

取全部作用在Pasternak地基上(β=1.0)且兩端簡(jiǎn)支有限長(zhǎng)梁(截面為矩形)為算例，參數(shù)為：梁長(zhǎng)L=4 m，截面寬度b=0.4 m，第1個(gè)梁?jiǎn)卧叨萮i=0.6 m，he=0.3 m為最后一個(gè)梁?jiǎn)卧母叨?，泊松比?1/3，等效截面剪切系數(shù)k′=5/6，彈性模量E=210 GPa，體密度ρ=7 900 kg/cm3，土體抗壓縮剛度系數(shù)k= 80 MPa，抗剪壓縮剛度Gp=750 kN。圖3為高度線性變化的寬度不變的矩形截面梁示意圖。

圖3 高度線性變化的矩形截面梁Fig.3 Linear change of the height of rectangular cross-sectional beam

表1給出了選取不同單元個(gè)數(shù)時(shí)彈性地基梁上矩形變截面簡(jiǎn)支梁的前5階固有頻率，并且和已有文獻(xiàn)提出的方法進(jìn)行對(duì)比。可以看出，隨著單元數(shù)目的增加，頻率逐漸增加，這與曹長(zhǎng)勇等[15]提出的用傅里葉變換求解的Pasternak地基上梁振動(dòng)的解析解接近，證明此有限元模型是可靠的。

表1 雙參數(shù)彈性地基上矩形變截面Timoshenko梁固有頻率Table 1 Comparison of natural frequencies for fully supported rectangular beam between finite element and available results

3.2 圓形截面梁算例

取全部作用在Pasternak地基上(β=1.0)且兩端簡(jiǎn)支有限長(zhǎng)梁(截面為圓形)為算例，參數(shù)為：梁長(zhǎng)L=4 m，最左邊的梁截面直徑di=0.6 m，de=0.3 m為最右邊的梁截面直徑，其他參數(shù)同3.1節(jié)。梁截面變化見(jiàn)圖4。

圖4 半徑線性變化的圓截面梁Fig.4 Linear change of the radius of circlecross-sectional beam

表2給出了選取不同單元個(gè)數(shù)時(shí)彈性地基梁上圓形變截面簡(jiǎn)支梁的前5階固有頻率，并且和已有文獻(xiàn)提出的方法進(jìn)行對(duì)比。

表2 雙參數(shù)地基上圓形變截面Timoshenko梁固有頻率Table 2 Comparison of natural frequencies for fully supported circular beam between finite element and available results

4 結(jié) 論

基于Timoshenko梁理論和Pasternak雙參數(shù)地基模型，利用Hamilton原理建立了能量方程，并依據(jù)有限元方法對(duì)其進(jìn)行求解，豐富并完善了求解全支撐于彈性地基的變截面梁(β=1.0)的數(shù)值方法。構(gòu)建了在彈性地基上每個(gè)單元的彈性剛度矩陣和地基提供的剛度矩陣。由矩形截面梁和圓形截面梁2個(gè)算例可知，隨著單元?jiǎng)澐衷骄?xì)，地基梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)反應(yīng)跟半解析解越接近。對(duì)分析人員來(lái)說(shuō)，只需確定地基梁結(jié)構(gòu)的各項(xiàng)參數(shù)和劃分單元數(shù)量，就可以直接計(jì)算求得分析結(jié)果，具有省時(shí)高效的優(yōu)點(diǎn)。這表明了完善后的數(shù)值方法的高效性和準(zhǔn)確性。

此外，本方法除了用于彈性地基外，還可以用于黏彈性地基等地基模型，因此有著廣泛的適應(yīng)性。

[1] SELVADURAI A P S. Elastic Analysis of Soil-Foundation Interaction [M]. Amsterdam: Elsevier, 1979.

[2] 盧 健,溫中華,周 娟.彈性地基梁法計(jì)算地下鋼筋混凝土岔管結(jié)構(gòu)應(yīng)力[J].長(zhǎng)江科學(xué)院院報(bào),2008,25(1):80-81.

[3] EISENBERGER M, YANKELEVSKY D Z, ADIN M A. Vibrations of Beams Fully or Partially Supported on Elastic Foundations[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics,1985,13(5):651-660

[4] THAMBIRATNAM D,ZHUGE Y.Free Vibration Analysis of Beams on Elastic Foundation[J].Computers and Structures,1996, 60(6):971-980.

[5] 徐牧明，陳定安.一種新型的基準(zhǔn)基床系數(shù)室內(nèi)通用測(cè)試方法[J].長(zhǎng)江科學(xué)院院報(bào)，2017，34(1):109-113.

[6]VALSANGKAR A J, PRADHANANG R. Vibrations of Beam-columns on Two-parameter Elastic Foundations[J].Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1988, 16(2):217-225.

[7] DE ROSA M A, MAURIZI M J. The Influence of Concentrated Masses and Pasternak Soil on the Free Vibrations of Euler Beams—Exact Solution[J]. Journal of Sound and Vibration, 1998, 212(4):573-581.

[8] 劉學(xué)山,馮紫良,胥 兵.粘彈性地基上彈性梁的自由振動(dòng)分析[J].上海力學(xué),1999,20(4):470-476.

[9] 樓夢(mèng)麟,沈 霞.彈性地基梁振動(dòng)特性的近似分析方法[J].應(yīng)用力學(xué)學(xué)報(bào),2004,21(3):149-152.

[10] 崔 燦,蔣 晗,李映輝.變截面梁橫向振動(dòng)特性半解析法[J].振動(dòng)與沖擊,2012,31(14):85-88.

[11] TIMOSHENKO S P. Vibration Problems in Engineering[M]. 2nd Edition. New York: Wolfenden Press, 2008.

[12] GUPTA A K. Vibration of Tapered Beams[J]. Journal of Structural Engineering, 1985, 111(1):19-36.

[13] YOKOYAMA T. Vibrations of Timoshenko Beam-columns on Two-parameter Elastic Foundations[J]. Earthquake Engineering and Structural Dynamics, 1991, 20(4):355-370.

[14] KARAMANLIDIS D, PRAKASH V. Exact Transfer and Stiffness Matrices for a Beam/column Resting on a Two-parameter Foundation[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1989, 72(1):77-89.

[15] CAO Chang-yong, ZHONG Yang. Dynamic Response of a Beam on a Pasternak Foundation and under a Moving Load[J].Journal of Chongqing University (English Edition),2008,7(4):311-316.