趙建林, 姚 軍, 張 磊, 楊永飛, 孫 海, 孫致學(xué), 白玉湖

(1.中國石油大學(xué)石油工程學(xué)院,山東青島 266580; 2.中海油研究總院，北京 100028)

水平井鉆井及大規(guī)模水力壓裂技術(shù)的進步使頁巖油氣與致密油氣等非常規(guī)油氣資源的開發(fā)成為可能,作為一類重要的非常規(guī)油氣資源,頁巖氣的開發(fā)正受到越來越多的關(guān)注[1-4]。頁巖氣藏的孔隙尺寸非常小,通常在納米級[5-6],滲透率極低,在不采取壓裂等改造措施的情況下無工業(yè)產(chǎn)能。水平井鉆井能夠增加井筒與儲層間的接觸面積,從而增大地層到井筒內(nèi)的流量,而大規(guī)模水力壓裂能夠在地層中壓裂產(chǎn)生水力大裂縫以及次生的小裂縫,并與頁巖氣藏中自生的一些微裂縫相連,在儲層中構(gòu)成裂縫網(wǎng)絡(luò),裂縫網(wǎng)絡(luò)的形成是頁巖氣藏得以工業(yè)化開發(fā)的關(guān)鍵。盡管頁巖氣藏的開發(fā)已經(jīng)在美國取得了巨大成功[7],頁巖氣在納米級孔隙中的滲流機制還未完全研究透徹[2],尤其是當(dāng)微裂縫存在時微裂縫對頁巖這種致密多孔介質(zhì)中氣體滲流的影響機制目前研究很少。由于頁巖儲層孔隙尺寸主要在納米級,氣體在其中的流動不同于在常規(guī)孔隙中的流動[8-9],屬于微納尺度氣體流動,流動特征參數(shù)為努森數(shù)(Kn),其定義為分子平均自由程與流動特征長度的比值。根據(jù)努森數(shù)可將流動劃分為連續(xù)流區(qū)(Kn≤0.001)、滑移流區(qū)(0.00110)4個區(qū)域[10]。當(dāng)Kn≤0.1,即流動處于連續(xù)流區(qū)和滑移流區(qū)時,連續(xù)介質(zhì)假設(shè)成立,流動可以采用無滑移或滑移邊界的Navier-Stokes(N-S)方程進行描述;當(dāng)Kn>0.1以后連續(xù)介質(zhì)假設(shè)不再成立,須采用基于粒子的流動模擬方法,如分子模擬(MD)方法[11]、直接模擬蒙特卡洛方法(DSMC)[12]、格子Boltzmann方法(LBM)[7]等。由于MD方法和DSMC方法模擬區(qū)域都非常小,不適用于孔隙尺度上的流動模擬,而LBM計算效率更高,能夠進行孔隙尺度上的流動模擬。目前已有不少學(xué)者采用LBM進行頁巖氣的流動模擬,Fathi等[13]、Zhang等[14]、寧正福等[15]和姚軍等[16]模擬了簡單規(guī)則納米通道中的頁巖氣流動規(guī)律;張磊等[17]、孫海等[18]、Zhao等[19-20]將LBM應(yīng)用到了三維數(shù)字巖心中,模擬了真實頁巖巖心中的氣體流動;張磊等[21]、Zhao等[22]分別采用不同的LB模型研究了頁巖有機質(zhì)中的解吸/擴散機制;Zhang等[23]進行了頁巖中氣水兩相流動模擬,研究了壓裂液反排率低的原因;Chen等[24]提出了考慮Klinkenberg效應(yīng)的表征單元體(REV)尺度LB模型,并采用該模型研究了微裂縫對頁巖氣滲流的影響。盡管前人已采用LBM進行了大量的頁巖氣流動模擬及研究工作,但大多數(shù)學(xué)者都針對頁巖基巖中的氣體流動機制進行研究,很少有學(xué)者在孔隙尺度上對微裂縫的影響開展研究。筆者采用LBM在孔隙尺度上開展裂縫性致密多孔介質(zhì)中的氣體流動模擬,揭示微裂縫對致密多孔介質(zhì)中氣體滲流的影響機制。

1 微尺度格子Boltzmann模型

構(gòu)建能夠考慮努森層影響、高壓影響以及微尺度效應(yīng)的LB模型[16],該模型適用于平板模型中不同努森數(shù)下的氣體流動模擬,但對于多孔介質(zhì),該模型僅適用于低努森數(shù)下的氣體流動模擬,要進行高努森數(shù)下多孔介質(zhì)中的氣體流動模擬,模型中必須引入正則化過程[25-26]。

1.1 基本模型

采用單松弛時間LB模型進行流動模擬,離散速度模型采用二維九速(D2Q9)模型,演化方程如下(如無特殊說明,本文中所使用變量均為無因次格子單位):

(1)

其中

式中,α為離散速度方向,α=0,1,2,…,8;fα為離散速度空間α方向上的分布函數(shù);r為粒子的空間位置;eα為α方向的速度;t為時間;δt為時間步長;τ為弛豫時間;fαeq為離散速度空間的局部平衡態(tài)分布函數(shù);Fα為α方向上所受到的外力;ρ和u為宏觀的粒子密度和速度;cs為格子聲速;wα為權(quán)系數(shù);a為外力加速度。

采用單組份Shan-Chen模型[27]引入Peng-Robinson(P-R)狀態(tài)方程進行流動模擬,詳細過程見文獻[16]。

1.2 松弛時間和邊界條件

對于微尺度氣體流動,考慮氣體稠密性和努森層的影響可得有效松弛時間和努森數(shù)存在以下關(guān)系[16, 28-29]:

(2)

其中

0.038 6(bρg)4.

式中,H為特征長度,m;δx為每個網(wǎng)格長度,m;d和m分別為分子直徑和分子質(zhì)量,對于甲烷有d=0.38 nm,m=2.658×10-26kg;ρg為氣體密度,kg/m3;χ為氣體稠密性引起的碰撞修正因子。

由于多孔介質(zhì)固體壁面非常粗糙,漫反射邊界條件非常適用該類邊界,在LBM中漫反射邊界條件的離散格式[30-31]為

fα=Kfαeq(ρw,uw), (eα-uw)·n>0.

(3)

其中

在進行多孔介質(zhì)中氣體流動模擬前,首先要搜尋所有固體邊界節(jié)點,并確定每個邊界節(jié)點i指向孔隙內(nèi)的法向方向ni,然后進行流動模擬,在滿足(eα-uw)·ni>0的方向上執(zhí)行漫反射邊界條件,否則,執(zhí)行反彈邊界條件。

1.3 正則化過程

由于D2Q9離散速度模型的限制,分布函數(shù)的非平衡態(tài)部分包含高階(高于二階)項信息,在D2Q9模型下具有較強的各向異性,當(dāng)努森數(shù)較大時,該部分會引入較大誤差,而正則化過程可以過濾掉高階項信息,使模型在D2Q9離散速度模型下保持較好的各向同性[26,32]。因而要進行高努森數(shù)下多孔介質(zhì)中的氣體流動模擬,需要在模型中引入正則化過程[26,32],引入正則化過程后演化方程變?yōu)?/p>

(4)

其中

1.4 局部努森數(shù)計算

對于微尺度氣體流動,其特征參數(shù)為努森數(shù),根據(jù)努森數(shù)定義[16],有

(5)

氣體在孔隙中流動的特征長度H為孔隙尺寸,對于多孔介質(zhì),其孔隙尺寸隨機分布,不是定值,因而需要引入局部特征長度。在進行流動模擬前,首先計算所有孔隙節(jié)點所對應(yīng)的孔隙尺寸,即特征長度H(r);并選取參考特征長度Href和參考壓力對應(yīng)的參考密度ρref和參考修正因子χref,計算該狀態(tài)下對應(yīng)的參考努森數(shù)Knref;然后進行流動模擬,每個孔隙節(jié)點上的局部努森數(shù)計算式為

(6)

2 模型驗證

為驗證模型的準確性及正則化過程的必要性,分別采用本文中模型和不考慮正則化過程的LB模型進行二維多孔介質(zhì)中的外力驅(qū)動流動模擬,并與MD模擬結(jié)果[33]進行對比。物理模型如圖1所示,為保證較小流速,模擬時選取外力加速度為0.000 05,流動對應(yīng)的努森數(shù)為0.11,模擬終止條件為

(7)

圖1 含障礙物平板模型示意圖Fig.1 Physical model of gas flow around a square cylinder in a nanochannel

當(dāng)模擬達到穩(wěn)定時結(jié)果如圖2所示。由圖2可以看出,本文中模型的模擬結(jié)果與MD模擬結(jié)果具有較好的一致性,而不考慮正則化過程的LB模型會出現(xiàn)非物理的流速分布,驗證了本文中模型進行多孔介質(zhì)中微尺度氣體流動模擬的準確性及正則化過程的必要性。

圖2 MD模擬結(jié)果與LBM模擬結(jié)果對比Fig.2 Comparison of MD simulation results with LBM simulation results

3 微裂縫對致密多孔介質(zhì)中氣體滲流的影響機制

3.1 基于LBM的致密多孔介質(zhì)中氣體流動模擬

Chalmers等[35]利用場發(fā)射掃描電子顯微鏡和透射電子顯微鏡對不同地區(qū)的頁巖巖樣進行了分析,發(fā)現(xiàn)頁巖孔隙尺寸中位數(shù)由幾納米到幾十納米,并且頁巖中發(fā)育有納米尺度微裂縫,為研究微裂縫對致密多孔介質(zhì)中氣體滲流的影響機制,隨機重構(gòu)了二維多孔介質(zhì)模型,選取其平均孔隙尺寸為40 nm,并在多孔介質(zhì)中分別增加了兩條相連及不相連的微裂縫,微裂縫開度取130 nm,采用以上模型研究微裂縫對致密多孔介質(zhì)中氣體滲流的影響,如圖3所示。模擬區(qū)域為313×495網(wǎng)格,網(wǎng)格分辨率均為5 nm。

圖3 不同二維多孔介質(zhì)模型示意圖Fig.3 Schematic of different porous media

圖4所示為3個多孔介質(zhì)的孔隙尺寸分布,由于多孔介質(zhì)b和c中含有微裂縫,其孔隙尺寸分布表現(xiàn)為雙峰分布,3個多孔介質(zhì)孔隙度分別為0.536 0、0.604 5和0.605 1。

采用構(gòu)建的微尺度格子Boltzmann模型進行甲烷在3種多孔介質(zhì)中的壓力驅(qū)動流動模擬,上下入、出口采用壓力邊界條件,左右邊界為固體邊界,采用滑移邊界條件,模擬溫度為298 K,出口壓力分別取0.02、0.05、0.1、0.2、0.5、1.0、2.0、5.0和10.0 MPa,為保證驅(qū)動壓力梯度一致,在所有模擬中入出口壓差均為0.005 MPa,模擬終止條件如式(7)所示。

圖4 不同多孔介質(zhì)中孔隙尺寸分布Fig.4 Pore size distributions of different porous media

3.2 微裂縫對致密多孔介質(zhì)中氣體滲流的影響

當(dāng)模擬達到穩(wěn)定后,分別統(tǒng)計不同壓力下通過3種多孔介質(zhì)的氣體流量,并通過達西定律計算其對應(yīng)的表觀滲透率ka,結(jié)果如圖5(a)所示。由圖5(a)可知,壓力對表觀滲透率具有重要影響,隨著壓力降低,多孔介質(zhì)的表觀滲透率逐漸增大,這與之前單管中的流動模擬結(jié)果一致[16]。這是因為氣體在多孔介質(zhì)中的流動由氣體分子間的相互碰撞和氣體分子與壁面間的相互碰撞驅(qū)動,氣體分子與壁面間的相互碰撞會在壁面產(chǎn)生滑移流速。隨著壓力降低,氣體分子間距變大,分子運動的平均自由程變大,氣體分子與壁面的碰撞所占比例增大,壁面滑移速度變大,微尺度效應(yīng)增強,多孔介質(zhì)表觀滲透率增大。此外,裂縫的存在能夠明顯增大滲透率,裂縫性多孔介質(zhì)的的表觀滲透率一直位于基巖多孔介質(zhì)的上方,這是因為裂縫的存在為氣體流動提供了高滲通道,減小了整個多孔介質(zhì)中的滲流阻力,提高了滲透率,并且連通性裂縫的影響更明顯。

為進一步分析微裂縫對致密多孔介質(zhì)中氣體滲流的影響,計算裂縫性多孔介質(zhì)相對表觀滲透率與壓力的關(guān)系,結(jié)果如圖5(b)所示,其中相對表觀滲透率定義為某壓力下裂縫性多孔介質(zhì)的表觀滲透率與該壓力下不包含裂縫的基巖多孔介質(zhì)的表觀滲透率之比,反映了微裂縫對致密多孔介質(zhì)中氣體滲流的影響。由圖5(b)可知,隨著壓力增加,微裂縫提高致密介質(zhì)滲透率的作用增強,且連通性裂縫的影響更明顯;在高壓和低壓下,裂縫對提高致密多孔介質(zhì)表觀滲透率的作用趨于穩(wěn)定,而在中間壓力范圍內(nèi),隨著壓力升高,裂縫對提高致密多孔介質(zhì)表觀滲透率的作用迅速增強。由模擬結(jié)果可知,在致密氣藏的開發(fā)過程中,初期壓力大,多孔介質(zhì)的表觀滲透率低,儲層中自生或采取壓裂改造后產(chǎn)生的裂縫,能夠明顯改善儲層的滲透性;隨著氣藏壓力的降低,多孔介質(zhì)的表觀滲透率逐漸增大,但裂縫的作用相對減弱。

圖5 微裂縫對致密多孔介質(zhì)滲透率的影響Fig.5 Effects of micro-fractures on permeability of tight porous media

3.3 裂縫性致密多孔介質(zhì)中氣體滲流規(guī)律

不同壓力下裂縫性多孔介質(zhì)中的無因次流速分布如圖6所示。無因次流速定義為多孔介質(zhì)中某點的流速與多孔介質(zhì)中最大流速之比。由圖6可知,裂縫在多孔介質(zhì)中構(gòu)成了高滲通道,裂縫中的氣體流速明顯高于基巖中的氣體流速;對于連通性裂縫,從入口到出口之間裂縫構(gòu)成了與基巖并聯(lián)的高滲通道,氣體通過裂縫迅速從入口流向出口,其提高多孔介質(zhì)滲透率效果明顯;而對于非連通裂縫,在壓力降落方向上裂縫也能構(gòu)成與基巖并聯(lián)的高滲通道,但兩個高滲通道被滲透率較低的基巖隔斷,因而其仍能提高多孔介質(zhì)的滲透率,但其影響相對較弱。此外,與裂縫中氣體流速相比,高壓下與裂縫并聯(lián)的基巖中氣體流速極低,幾乎可以忽略;而隨著壓力的降低,基巖中的無因次氣體流速逐漸增大,其對多孔介質(zhì)中氣體流量的貢獻提升。

圖6 不同裂縫性多孔介質(zhì)中無因次流速分布Fig.6 Dimensionless velocity distributions in different fractured tight porous media

分別統(tǒng)計裂縫孔隙與基巖孔隙中的平均流速,并計算得到裂縫與基巖中平均流速比與壓力的關(guān)系,如圖7所示。圖7中曲線變化規(guī)律與圖6中結(jié)論一致,即隨著壓力的升高,基巖與裂縫中的流速差別越來越大;且當(dāng)壓力極大或極小時,裂縫與基巖中平均流速比趨于定值,而在中間壓力范圍,隨著壓力的升高,裂縫與基巖中流速差別迅速增大。

圖7 裂縫性多孔介質(zhì)裂縫與基巖中平均流速比與壓力的關(guān)系Fig.7 Relationship between average velocity ratio in fractures and matrix and pressure

3.4 微裂縫對致密多孔介質(zhì)中氣體滲流的影響機制

微裂縫能夠提高致密多孔介質(zhì)滲透率的主要原因是在壓降方向上微裂縫與基巖形成了并聯(lián)高滲通道,構(gòu)建二維并聯(lián)通道模型分析微裂縫對致密多孔介質(zhì)氣體滲流的影響機制,結(jié)果如圖8所示。其中5條通道的寬度分別為10、15、20、25、30個網(wǎng)格,模型分辨率均為5 nm/網(wǎng)格,圖8中較小孔隙可以等效為基巖孔隙而較大孔隙可以等效為裂縫孔隙。采用微尺度格子Boltzmann模型進行壓力驅(qū)動甲烷流動模擬,模擬溫度為298 K,出口壓力分別為0.01、0.2、1.0和20.0 MPa,為保持壓力梯度一致,入出口壓差均為0.001 MPa。

圖8 二維并聯(lián)通道模型示意圖Fig.8 Schematic of parallel slit pore model

當(dāng)模擬達到穩(wěn)定后得到并聯(lián)通道模型中的無因次流速分布如圖9所示。當(dāng)壓力較高時氣體分子間距很小,分子運動的平均自由程很小,無論大孔還是小孔中氣體流動對應(yīng)的努森數(shù)都較小,孔隙中的流動主要由氣體分子間相互碰撞引起的黏性流控制,氣體分子與壁面間的碰撞所占比例很小,壁面滑移速度很小,與小孔相比大孔中存在更多的分子間相互碰撞,因而大孔與小孔中流速差別較大。隨著壓力降低,氣體分子間距變大,氣體分子運動的平均自由程變大,孔隙中努森數(shù)變大,氣體分子與壁面間的相互碰撞所占比例增大,壁面滑移速度增大,因而多孔介質(zhì)中氣體流動阻力減小,表觀滲透率增大;并且小孔的特征長度更小,其努森數(shù)更大,壁面滑移更明顯,氣體流動阻力減小更明顯,因而大孔與小孔的流速差別減小。當(dāng)壓力降低到一定值后,無論在大孔還是小孔中氣體流動對應(yīng)的努森數(shù)都很大,孔隙中的流動主要由氣體分子與壁面間相互碰撞引起的努森流控制,微尺度效應(yīng)在不同孔隙中的影響趨于一致,因而大孔與小孔中的流速差別趨于一致。這就是造成圖7中流動規(guī)律的原因。

圖9 并聯(lián)通道模型中x=125截面上不同壓力下無因次流速分布Fig.9 Dimensionless velocity distributions in parallel slit model at slice x=125 under different pressures

圖10 并聯(lián)模型中不同壓力下無因次平均流速與孔隙尺寸的關(guān)系Fig.10 Relationship between dimensionless average velocity and pore size under different pressures

為定量分析微裂縫對致密多孔介質(zhì)中氣體滲流的影響機制,統(tǒng)計得到了不同壓力下無因次平均流速與孔隙尺寸的關(guān)系,如圖10所示。其中無因次平均流速定義為某一尺寸孔隙中氣體平均流速與多孔介質(zhì)整體平均流速之比。由圖10可知,隨著壓力的降低,大孔中無因次平均流速減小,而小孔中無因次平均流速增大,大孔與小孔中的流速差別變小。并且在高壓下,無因次平均流速與孔隙尺寸為二次函數(shù)關(guān)系,而在低壓下,無因次平均流速與孔隙尺寸為線性函數(shù)關(guān)系。

對以上現(xiàn)象進行分析,對于二維平板模型,其固有滲透率為kintrinsic=H2/12,考慮微尺度效應(yīng)后其表觀滲透率可用Klinkenberg模型[34]描述:

kapp=kintrinsic(1+6Kn).

(8)

對于該并聯(lián)通道模型,當(dāng)壓力很高時努森數(shù)很小,如當(dāng)壓力為20.0 MPa時5個通道中的努森數(shù)分別為0.003 2、0.002 1、0.001 6、0.001 3和0.001 1,此時有kapp≈kintrinsic=H2/12,多孔介質(zhì)表觀滲透率對孔隙尺寸敏感,由于流速正比于表觀滲透率,因而流速與孔隙尺寸也為二次函數(shù)關(guān)系。當(dāng)壓力很低時努森數(shù)很大,如當(dāng)壓力為0.01 MPa時5個通道中的努森數(shù)分別為12.82、8.55、6.41、5.13和4.27,此時有kapp≈6kintrinsicKn=λH/2,多孔介質(zhì)表觀滲透率對孔隙尺寸的敏感性減弱,流速與孔隙尺寸呈線性函數(shù)關(guān)系。由此可見不同壓力下裂縫對致密多孔介質(zhì)中氣體滲流影響的不同由努森數(shù)引起,對于致密多孔介質(zhì),在高壓下努森數(shù)較小,孔隙尺寸較大的微裂縫提高致密介質(zhì)滲透率的作用更明顯;而在低壓下努森數(shù)較大,微裂縫提高致密介質(zhì)滲透率的作用相對較弱,這就是產(chǎn)生圖5(b)的原因。對于油在多孔介質(zhì)中的流動或常規(guī)孔隙中的氣體流動,由于其對應(yīng)的努森數(shù)都較小,因而不同壓力下裂縫對滲流的影響基本一致,不會表現(xiàn)出裂縫性致密多孔介質(zhì)中氣體滲流的特點。

4 結(jié) 論

(1)微裂縫的存在能夠明顯提高致密多孔介質(zhì)的滲透率;隨著壓力增加,微裂縫提高致密介質(zhì)氣體滲透率的作用增強,且連通性裂縫的影響更明顯;并且當(dāng)壓力極大或極小時,微裂縫的影響趨于穩(wěn)定。

(2)隨著壓力減小,基巖與裂縫中的流速差別減小,基巖對多孔介質(zhì)中流量的貢獻增加;且當(dāng)壓力極大或極小時,裂縫與基巖中平均流速比也趨于定值。

(3)對于致密多孔介質(zhì),當(dāng)壓力很高時努森數(shù)很小,多孔介質(zhì)滲透率與孔隙尺寸呈二次函數(shù)關(guān)系,滲透率對孔隙尺寸敏感;而當(dāng)壓力很低時努森數(shù)很大,多孔介質(zhì)滲透率與孔隙尺寸呈線性函數(shù)關(guān)系,滲透率對孔隙尺寸的敏感性減弱,揭示了在高壓下尺寸較大的微裂縫提高致密介質(zhì)滲透率的作用更強的原因。

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