文建剛，張竟飛，張 格，何 頤，周亞軍

(中國(guó)航天科技集團(tuán)公司四院四十一所，西安 710025)

0 引言

基于固體發(fā)動(dòng)機(jī)的動(dòng)能攔截器(固體KKV)采用直接力控制技術(shù)，利用姿、軌控發(fā)動(dòng)機(jī)燃?xì)饬鳟a(chǎn)生的推力來(lái)快速調(diào)整彈體姿態(tài)，具有更快的響應(yīng)速度和更高的機(jī)動(dòng)過(guò)載能力，有效提高了攔截器的機(jī)動(dòng)性能和命中精度。這種主動(dòng)姿態(tài)控制技術(shù)將得到越來(lái)越多的研究和應(yīng)用。

由于姿軌控發(fā)動(dòng)機(jī)及其燃?xì)饬骺刂铺匦圆?，是典型的非線(xiàn)性環(huán)節(jié)，難以產(chǎn)生大小連續(xù)可調(diào)的推力，無(wú)法實(shí)現(xiàn)有效的精度控制。因此，這類(lèi)直接力伺服系統(tǒng)在實(shí)踐中均采用開(kāi)關(guān)控制來(lái)實(shí)現(xiàn)。對(duì)于非線(xiàn)性伺服元件，用開(kāi)關(guān)控制能以較低的成本得到宏觀(guān)上近似線(xiàn)性的控制效果。當(dāng)前，成熟的開(kāi)關(guān)控制有導(dǎo)彈的“bang-bang”舵控制、電機(jī)的PWM控制、開(kāi)關(guān)電源(DC/DC)等。顯然，開(kāi)關(guān)控制的頻率越高，控制精度越高，也越接近線(xiàn)性控制效果。因此，開(kāi)關(guān)控制普遍有較高的響應(yīng)快速性要求。

本文研究的快速開(kāi)關(guān)伺服系統(tǒng)由電動(dòng)伺服系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)(傳統(tǒng)上由電磁閥系統(tǒng)實(shí)現(xiàn))。為提高響應(yīng)快速性，通常采用高轉(zhuǎn)速的伺服電機(jī)直接驅(qū)動(dòng)負(fù)載，或僅采用減速比很小的減速器。由此帶來(lái)的問(wèn)題是相比帶減速器的伺服系統(tǒng)，伺服電機(jī)的低速脈動(dòng)現(xiàn)象“明顯”，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)精度差[1]；負(fù)載力矩與電機(jī)的輸出力矩量級(jí)相當(dāng)，且具有非線(xiàn)性、時(shí)變性特點(diǎn)，導(dǎo)致系統(tǒng)對(duì)負(fù)載擾動(dòng)敏感，動(dòng)態(tài)品質(zhì)變差。

要解決上述問(wèn)題，用線(xiàn)性的PID控制策略或簡(jiǎn)單的擾動(dòng)補(bǔ)償往往難以湊效。對(duì)于本文研究的系統(tǒng)，要使系統(tǒng)具有一定的自適應(yīng)能力和較強(qiáng)的魯棒性，變結(jié)構(gòu)控制無(wú)疑是一種較理想的控制方案。

1 快速開(kāi)關(guān)系統(tǒng)的變結(jié)構(gòu)控制方案

變結(jié)構(gòu)控制是一種非線(xiàn)性控制，不要求掌握受控對(duì)象的精確數(shù)學(xué)模型，其突出優(yōu)點(diǎn)在于對(duì)參數(shù)攝動(dòng)或變化以及外加擾動(dòng)具有不變性，從而顯示出很強(qiáng)的對(duì)不確定性因素的魯棒性[2]。而變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)通常設(shè)計(jì)為高增益控制系統(tǒng)，動(dòng)態(tài)響應(yīng)快，帶載能力強(qiáng)，尤其適用于快速開(kāi)關(guān)控制系統(tǒng)。

本文設(shè)計(jì)的電動(dòng)伺服系統(tǒng)為二階系統(tǒng)。取偏差為X1，X2取為X1的微分。變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)需要設(shè)計(jì)一種反饋U(X1,X2)，并確定一條切換線(xiàn)S(X1,X2)。要求系統(tǒng)將狀態(tài)變量X1和X2引導(dǎo)并限制在切換線(xiàn)S(X1,X2)上，使之沿著切換線(xiàn)向平衡點(diǎn)(原點(diǎn))滑動(dòng)收斂[3-4]。

變結(jié)構(gòu)控制示意圖如圖1所示。

在滑動(dòng)模態(tài)區(qū)有

(1)

式(1)即為系統(tǒng)在滑動(dòng)模態(tài)區(qū)的等價(jià)狀態(tài)方程。在滑動(dòng)模態(tài)區(qū)，系統(tǒng)表現(xiàn)為降階(一階)特性，它是一個(gè)完全獨(dú)立于參數(shù)和擾動(dòng)不確定性因素的自治系統(tǒng)。其時(shí)間常數(shù)為T(mén)=1/C。顯然，系統(tǒng)在滑動(dòng)模態(tài)區(qū)的動(dòng)態(tài)性能只取決于設(shè)定的參數(shù)C。

2 變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)

2.1 直流伺服電機(jī)的模型

忽略電機(jī)的電氣時(shí)間常數(shù)，并將負(fù)載視為擾動(dòng)，可推導(dǎo)出電機(jī)的傳遞函數(shù)：

(2)

式中Ke為反電勢(shì)系數(shù)；τm為機(jī)械時(shí)間常數(shù)。

在系統(tǒng)數(shù)字仿真與參數(shù)調(diào)試時(shí)，為了便于對(duì)系統(tǒng)施加負(fù)載擾動(dòng)，通常采用如圖2所示的模型[5]。

根據(jù)傳遞函數(shù)，可建立系統(tǒng)的狀態(tài)方程。以位置指令Xi與反饋電位計(jì)輸出電壓X0之差(V)為變量X1，X2(V/s) 取為X1的微分，則有

X1=Xi-X0

在階躍指令條件下:

故

(3)

因此，系統(tǒng)的狀態(tài)方程可寫(xiě)為

(4)

2.2 變結(jié)構(gòu)控制器設(shè)計(jì)

變結(jié)構(gòu)控制是一種控制系統(tǒng)的綜合方法，它的解不是唯一的，具有較大的靈活性。設(shè)計(jì)變結(jié)構(gòu)控制器，主要有三種方法：根據(jù)能達(dá)條件設(shè)計(jì)、根據(jù)趨近律設(shè)計(jì)、利用相平面圖設(shè)計(jì)[3]。

根據(jù)能達(dá)條件經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)是一種普遍的設(shè)計(jì)方法，但這種方法不能完全確定控制參數(shù)，通常只能按某個(gè)充分條件進(jìn)行設(shè)計(jì)，過(guò)于保守，極大限制了變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的性能發(fā)揮。而趨近律的設(shè)計(jì)方法，雖然可控制趨近過(guò)程，提高正常運(yùn)動(dòng)階段的品質(zhì)。但根據(jù)趨近律設(shè)計(jì)的變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)極為復(fù)雜，不適合工程應(yīng)用。因此，本文以相平面法進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)。

相平面法是分析一、二階線(xiàn)性或非線(xiàn)性系統(tǒng)的圖解方法，能較直觀(guān)、準(zhǔn)確、全面地表征系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。用相平面圖設(shè)計(jì)變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，可更直觀(guān)地看出系統(tǒng)的滑動(dòng)模態(tài)能達(dá)條件。

設(shè)控制律為

代入式(4)，消去X2，當(dāng)X1S>0時(shí)，可得

(5)

其特征根為

(6)

當(dāng)X1S<0時(shí)，可得

(7)

此時(shí)，特征方程的根為

(8)

由此得到兩種不同結(jié)構(gòu)的控制系統(tǒng)。變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)中的所謂“變結(jié)構(gòu)”，本質(zhì)上是指系統(tǒng)內(nèi)部的反饋控制器結(jié)構(gòu)(包括反饋的極性和系數(shù))所發(fā)生的不連續(xù)非線(xiàn)性切變。對(duì)于本文設(shè)計(jì)的變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，就是要設(shè)計(jì)“變結(jié)構(gòu)”的反饋控制器，使系統(tǒng)在上述兩種不同結(jié)構(gòu)的控制系統(tǒng)之間按由切換函數(shù)S決定的邏輯切換，形成一種具有滑動(dòng)模態(tài)的新系統(tǒng)。

如果切換線(xiàn)的斜率C與圖3(a)中收斂的那條漸進(jìn)線(xiàn)的斜率λ2，滿(mǎn)足：λ2

因此，滑動(dòng)模態(tài)存在的條件為

(9)

為簡(jiǎn)便計(jì)，可設(shè)k>0，φ>0，令a1=-k，a2=k，b1=b2=φ，則控制律可簡(jiǎn)化為

(10)

滑動(dòng)模態(tài)參數(shù)C的取值條件為

(11)

由此，設(shè)計(jì)的變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)如圖5所示。

3 仿真與試驗(yàn)分析

3.1 空載條件仿真分析

本系統(tǒng)研究的開(kāi)關(guān)伺服系統(tǒng)用于驅(qū)動(dòng)燃?xì)忾y門(mén)，其開(kāi)關(guān)行程為100°。因此，以100°階躍指令進(jìn)行仿真具有現(xiàn)實(shí)意義。

根據(jù)式(9)、式(10)，取k=10、φ=0.01、C=-4000，代入圖5所示的系統(tǒng)。輸入100°階躍指令，在空載條件下得到圖6所示的響應(yīng)曲線(xiàn)和圖7所示的系統(tǒng)相平面圖。

從圖6可知，系統(tǒng)在空載條件下約11 ms到達(dá)穩(wěn)態(tài)值。從圖7可看出，系統(tǒng)最大輸出轉(zhuǎn)速已達(dá)到電機(jī)的最大輸出能力(15 000 (°)/s)。

3.2 加載條件下仿真分析

維持系統(tǒng)參數(shù)不變，向系統(tǒng)施加300 mN·m(實(shí)際系統(tǒng)負(fù)載擾動(dòng)可能達(dá)到的最大極限值)階躍負(fù)載，得到圖8所示響應(yīng)曲線(xiàn)和圖9所示相平面圖。從圖8(a)、(b)可知，系統(tǒng)受擾后穩(wěn)態(tài)值無(wú)明顯變化。從圖8(c)還可看出，同步施加與指令，響應(yīng)時(shí)間從11 ms變?yōu)?3 ms?？梢?jiàn)，擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響也有限。

從圖9可看出，加載條件下系統(tǒng)的最高輸出轉(zhuǎn)速有所下降(11 800 (°)/s)，這是電機(jī)的固有特性，但對(duì)位置環(huán)的影響較小。

為進(jìn)一步驗(yàn)證變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的抗擾能力，對(duì)系統(tǒng)施加750 mN·m負(fù)載，得到圖10所示階躍響應(yīng)曲線(xiàn)。由圖10可知，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差有所增大(約1.2°)，響應(yīng)時(shí)間由13 ms變?yōu)?8 ms?？梢?jiàn)，系統(tǒng)在非常大的負(fù)載擾動(dòng)下仍表現(xiàn)出優(yōu)良的性能，表明設(shè)計(jì)的變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性。

3.3 高頻響應(yīng)特性分析

圖11是系統(tǒng)的實(shí)際高頻工作試驗(yàn)曲線(xiàn)。由于本系統(tǒng)實(shí)際用于開(kāi)關(guān)控制，因此用高頻大角度方波輸入(30 Hz，95°)取代正弦輸入對(duì)系統(tǒng)的快速性(頻響)進(jìn)行考核更具有現(xiàn)實(shí)意義。

從試驗(yàn)曲線(xiàn)可看出，系統(tǒng)在高頻大角度方波輸入條件下，其快速性遠(yuǎn)大高于一般的伺服系統(tǒng)。按照幅頻帶寬的定義，系統(tǒng)在大角度條件下的帶寬遠(yuǎn)高于30 Hz。

3.4 各參數(shù)對(duì)系統(tǒng)性能的影響

變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的性能取決于兩方面因素，即滑動(dòng)模態(tài)本身的參數(shù)，以及控制增益。如前所述滑動(dòng)模態(tài)表現(xiàn)為降階特性，系統(tǒng)在滑動(dòng)模態(tài)區(qū)的動(dòng)態(tài)性能只取決于設(shè)定的參數(shù)C，C越大，時(shí)間常數(shù)T=1/C越小，響應(yīng)越快。而在非滑動(dòng)模態(tài)區(qū)，系統(tǒng)仍為二階特性，其動(dòng)態(tài)性能決定于控制增益k和φ的大小，k和φ的值越大，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)就越快，系統(tǒng)魯棒性越強(qiáng)[6-8]。

當(dāng)然，C、k和φ的值太大也會(huì)增大系統(tǒng)的超調(diào)或加劇震蕩，影響穩(wěn)態(tài)性能。本系統(tǒng)用于閥門(mén)的快速開(kāi)關(guān)控制，追求快速性是主要目標(biāo)。而在保證閥門(mén)有效開(kāi)閉的前提下，超調(diào)及穩(wěn)態(tài)性能可以適當(dāng)放寬。

因此，在滿(mǎn)足式(10)、式(11)的前提下，可適當(dāng)增大C、k和φ的值，有助于提高系統(tǒng)響應(yīng)快速性，增大系統(tǒng)帶寬，提高系統(tǒng)帶負(fù)載能力和魯棒性。

3.5 顫振問(wèn)題

顫振是變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)不可避免的問(wèn)題。在本系統(tǒng)中，由于參數(shù)C取值很大，切換線(xiàn)非?？拷黋軸，而控制律又設(shè)計(jì)為X1的線(xiàn)性函數(shù)，因此在Y軸附近的控制量非常小，從而在靠近Y軸的切換線(xiàn)上產(chǎn)生的顫振量級(jí)也非常小。此外，系統(tǒng)較大的負(fù)載力矩也有助于減小顫振。

對(duì)于本系統(tǒng)，以實(shí)現(xiàn)快速開(kāi)關(guān)為主要目的，而顫振的量級(jí)小、危害小。因此，顫振問(wèn)題可不作為關(guān)注重點(diǎn)。

4 結(jié)論

(1)本文設(shè)計(jì)的變結(jié)構(gòu)開(kāi)關(guān)伺服系統(tǒng)，對(duì)“強(qiáng)負(fù)載擾動(dòng)”表現(xiàn)出了較強(qiáng)的自適應(yīng)能力，系統(tǒng)具有較強(qiáng)的魯棒性；

(2)變結(jié)構(gòu)系統(tǒng)是一種高增益控制系統(tǒng)，能大大提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，尤其適用于快速開(kāi)關(guān)系統(tǒng)；

(3)用相平面法進(jìn)行變結(jié)構(gòu)控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)和參數(shù)調(diào)試簡(jiǎn)單、直觀(guān)，是一種較為實(shí)用的設(shè)計(jì)方法。

[1] 裴濤，冉樹(shù)成.位置伺服系統(tǒng)低速運(yùn)動(dòng)特性的研究[J].水運(yùn)科學(xué)研究所學(xué)報(bào),1997(3,4):17-24.

PEI Tao,RAN Shucheng.Research of slow-speed motion in positioning servo system[J].Journal of Waterborne Transportation Institute,1997(3,4):17-24.

[2] 陳新海,李言俊,周軍.自適應(yīng)控制及應(yīng)用[M].西安：西北工業(yè)大學(xué)出版社,1998.

CHEN Xinhai,LI Yanjun,ZHOU Jun.Adaptive control and its application[M].Northwestern Polytechnical University Press,1998.

[3] 高為炳.變結(jié)構(gòu)控制理論基礎(chǔ)[M].北京：中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社,1990.

GAO Weibin. Foundation of variable structure control theory[M].Chinese Science and Technology Press,1998.

[4] 胡祐德，馬東升，張莉松.伺服系統(tǒng)原理與設(shè)計(jì)[M].北京理工大學(xué)出版社,1999.

HU Youde,MA Dongsheng,ZHANG Lisong. The principle and design of servo system[M].Beijing Institute of Technology Press,1999.

[5] 梅曉榕，柏桂珍，張卯瑞.自動(dòng)控制元件及線(xiàn)路[M].北京：科學(xué)出版社,2005.

MEI Xiaorong,BAI Guizhen,ZHANG Maorui.Automatic control components and circuit[M].Science Press,2005.

[6] 周軍.變結(jié)構(gòu)控制理論在導(dǎo)彈電動(dòng)舵機(jī)系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的應(yīng)用[J].西北工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),1990,8(3):273-280.

ZHOU Jun.Application of variable structure control theory in electric servo system design[J].Journal of Northwestern Polytechnical University,1990,8(3):273-280.

[7] 王江,王家軍.電力電子開(kāi)關(guān)變換器的滑?？刂芠J].電機(jī)與控制學(xué)報(bào),2000,4(3):188-192.

WANG Jiang,WANG Jiajun.Sliding mode control of power electronic switching converters[J].Electric Machines and Control,2000,4(3):188-192.

[8] 絳海萍，鄭載滿(mǎn).基于切換函數(shù)超前補(bǔ)償?shù)幕Ｗ兘Y(jié)構(gòu)控制[J].電氣傳動(dòng)自動(dòng)化,1997,19(12):32-35.

JIANG Haipin,ZHENG Zaiman.Sliding mode variable structure control based on forward compensation for switching function[J].Electric Drive Automation,1997,19(12):32-35.