羊 帆，張國良，田 琦，王保明

(1. 火箭軍工程大學(xué)，西安 710025； 2. 寶雞市高新技術(shù)研究所，寶雞 721000; 3. 成都信息工程大學(xué)，成都 610225)

0 引 言

伴隨著人類探索太空進程的加快，利用空間機器人代替人類完成相關(guān)在軌服務(wù)任務(wù)，成為目前空間技術(shù)研究的方向之一。自由漂浮空間機器人(Free-Floating Space Robot, FFSR)由于其不需消耗額外能量穩(wěn)定基座位姿，具有較好的長期在軌服務(wù)能力，成為目前空間機器人研究的主要對象[1-2]。

不同于地面機械臂系統(tǒng)， FFSR特有的漂浮基座特性使其規(guī)劃和控制問題更為復(fù)雜。為此，一些學(xué)者開展了相關(guān)研究并取得了豐碩的研究成果。在控制問題的研究上，文獻[3]在對FFSR運動學(xué)模型分析的基礎(chǔ)上，提出了分解速度和加速度控制方法。文獻[4]在FFSR動力學(xué)建模的基礎(chǔ)上，利用PD控制實現(xiàn)了FFSR的計算力矩控制。文獻[5]利用FFSR擴展動力學(xué)模型提出了規(guī)范形式擴展自適應(yīng)控制方法方法。文獻[6]利用積分降階技術(shù)，將FFSR動力學(xué)方程進行低通濾波，改進了文獻[5]所提方法，從而避免加速度信號的測量。文獻[7]研究了同時存在運動學(xué)和動力學(xué)參數(shù)不確定情況的自適應(yīng)控制方法。文獻[8]以桿件最近距離為約束條件，基于NMPC理論提出了FFSR的避障控制方法。此外，一些智能控制方法如神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[9]、確定學(xué)習(xí)[10-11]、模糊控制[12]被研究者采用以實現(xiàn)FFSR的軌跡跟蹤控制。另一方面，針對FFSR的非完整約束以及存在動力學(xué)奇異問題，其軌跡規(guī)劃方法被學(xué)者所重視，提出了圓周運動方法[13]，雙向規(guī)劃法[14]，增強干擾圖[15]等經(jīng)典方法。在這些方法基礎(chǔ)上，文獻[16]利用PSO優(yōu)化實現(xiàn)了FFSR在抓取后基座姿態(tài)的穩(wěn)定，進一步在文獻[17]提出了FFSR的自主路徑規(guī)劃方法。文獻[18]提出了笛卡爾空間下FFSR點到點運動的規(guī)劃方法。文獻[19]提出了一種最小姿態(tài)干擾的目標(biāo)接觸軌跡規(guī)劃方法。文獻[20]基于人工勢場法，對地面機械臂避障規(guī)劃方法進行擴展用于FFSR的末端避障規(guī)劃。文獻[21]提出了一種針對滾動目標(biāo)的避碰規(guī)劃方法，實現(xiàn)了對滾動目標(biāo)的末端同步接近規(guī)劃。文獻[22]將多項式插值與PSO方法相結(jié)合提出了一種FFSR關(guān)節(jié)空間下的非完整路徑規(guī)劃方法，從而保證關(guān)節(jié)軌跡的連續(xù)平滑。

雖然上述規(guī)劃和控制方法的研究初步解決了FFSR運動控制問題，但是依然存在一些不足。首先，在規(guī)劃方法上，多考慮在非完整約束下，F(xiàn)FSR的機械臂運動與基座姿態(tài)的相互關(guān)系以及動力學(xué)奇異回避問題，未考慮FFSR運動過程中的避障問題。其次，在運動控制上，基本遵循離線規(guī)劃—軌跡跟蹤思想，但是由于傳感器探測距離，目標(biāo)移動以及可能存在的避障需求，在工程上這一思路無法有效實現(xiàn)FFSR的運動控制。最后，少數(shù)如文獻[8]提出的避障控制方法，也存在避障約束構(gòu)造困難等問題。

為此，針對FFSR的避障規(guī)劃與控制問題，本文提出一種FFSR的避障規(guī)劃-跟蹤一體化控制方法。首先，基于障礙物偽距離技術(shù)[23]，采用FFSR逆幾何模型求解期望末端位姿下的連桿偽距離估計值構(gòu)造避障約束條件，進而通過求解非線性優(yōu)化問題，獲得FFSR避障期望軌跡。其次，將全局軌跡規(guī)劃與局部在線避障相結(jié)合，輔以離散狀態(tài)依賴?yán)锟ㄌ岱匠?Discrete State Dependent Riccati Equation DSDRE)控制方法實現(xiàn)FFSR的避障規(guī)劃-跟蹤一體化控制，以克服傳統(tǒng)離線規(guī)劃在跟蹤所存在的對動態(tài)障礙，未知障礙避障能力不足等問題。

1 模型與假設(shè)

1.1 空間機器人模型

1)FFSR的運動學(xué)與動力學(xué)模型

FFSR一般由基座和機械臂組成，由于基座處于漂浮狀態(tài)，系統(tǒng)無外力輸入，滿足動量守恒，基座運動與機械臂運動相耦合[3-4]。

典型的空間機器人運動學(xué)和動力學(xué)模型為

(1)

FFSR在軌工作時，由于其姿態(tài)控制系統(tǒng)關(guān)閉，工作過程中無外力輸入，由動量守恒原理，系統(tǒng)(1)還滿足：

(2)

其中，Μ0表示系統(tǒng)的初始動量，包括初始線動量和初始角動量。

2)FFSR幾何模型

考慮如圖1所示的空間機器人一般模型，由n個連桿機械臂及作為其基座的航天器平臺共n+1個剛體組成。其中，剛體B0代表空間機器人基座，剛體Bi(i=1,…,n)按照從與基座相連的第一個剛體開始向機械臂末端進行編號，依次代表機械臂的第i個連桿。連桿i-1與連桿i之間通過關(guān)節(jié)Ji相連接，第i個連桿質(zhì)心記為Ci，基座質(zhì)心記為C0。

則FFSR末端位姿在慣性系下可表示為：

ye=IA00A11A2…n-1AnΣE=
h(q1,q2,…,qn,qb)

(3)

其中，iAi+1為坐標(biāo)系Σi+1到坐標(biāo)系Σi的位姿轉(zhuǎn)移矩陣；IA0為基座坐標(biāo)系統(tǒng)到慣性系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)移矩陣；ye為慣性系下末端位姿。

則式(3)為FFSR的幾何模型，進一步可得FFSR逆幾何模型

qm=h*(qb,ye)

一般而言，上式求解很復(fù)雜甚至無法求解，通常在已知末端與基座位姿情況采用迭代求解式(3),獲得qm。

1.2 障礙建模

文獻[23]提出了障礙物的偽距離建模方法，該方法將空間中的障礙規(guī)則化為空間中的橢球、椎體、圓柱、方體等幾何體，進而通過求解規(guī)則化障礙物表面方程函數(shù)值作為確定機械臂與障礙物之間關(guān)系的依據(jù)。

由于橢圓，橢球具有較好的逼近真實障礙常常作為障礙描述的基本形狀。若利用空間位置坐標(biāo)x,y,z的標(biāo)量方程替代橢球方程中的半軸參數(shù)a,b,c，則可在橢球方程基礎(chǔ)上表征復(fù)雜障礙的表面方程，障礙物表面一般方程具有如下形式：

(4)

1)空間中點與障礙物關(guān)系

將空間中任意一點?X0∈R3代入障礙物表面方程(4)中可得S(X0)，則點X0與障礙關(guān)系可由S(X0)函數(shù)值表示為：

若S(X0)=0，則點X0位于障礙物表面；

若S(X0)>0，則點X0位于障礙物外；

若S(X0) < 0，則點X0位于障礙物內(nèi)；

且有S(X0)越大點與障礙物實際距離越遠(yuǎn)，故可將S(X0)稱為點X0與障礙物的偽距離。

2)連桿與障礙物關(guān)系

如圖2所示，t時刻考慮連桿Ji,Ji+1上點Xm可表示為如下關(guān)系：

Xm=ri+α(ri+1-ri)

(5)

其中，rm,ri,ri+1∈R3,為XmJi,Ji+1相對于參考系的位置矢量，標(biāo)量α∈[0,1]為點位置參數(shù)。

考慮將障礙物ob規(guī)則化為一橢球體，由公式(4)，可得點Xm與障礙物之間的偽距離為：

(6)

其中，矩陣Qm,向量Bm，標(biāo)量Cm為由橢球表面方程中半軸參數(shù)a,b,c導(dǎo)出。

由公式(5)、(6)并有U=ri-ri+1可得：

H(λ)= (ri+αU)TQm(ri+αU)+

(7)

則連桿Ji,Ji+1與障礙物ob之間的最短距離滿足

(8)

進一步可獲得連桿避障最小距離點位置參數(shù)：

(9)

1.3 問題描述及假設(shè)

本文一體化控制器設(shè)計主要目的是通過設(shè)計FFSR末端軌跡規(guī)劃-跟蹤控制器，實現(xiàn)FFSR由起點至目標(biāo)的避障軌跡控制。

為便于問題研究設(shè)計且不失一般性，提出如下假設(shè)：

1)FFSR屬于非固定基座機械臂系統(tǒng)，為便于規(guī)劃器設(shè)計，假設(shè)在兩次很短的采樣間隔內(nèi)基座位置姿態(tài)變化很小。即忽略兩次采樣間的基座位姿變化。

注1文獻[4]中指出對于FFSR而言，基座相對于機械臂的質(zhì)量越大，F(xiàn)FSR的運動學(xué)特性越接近地面固定機械臂，實際中通?；倔w質(zhì)量遠(yuǎn)大于機械臂連桿質(zhì)量，因此在很短的采樣間隔內(nèi)上述假設(shè)并不失一般性。

4)系統(tǒng)均為剛體，忽略微重力影響。

2 偽距離求解和避障約束

為實現(xiàn)FFSR的避障規(guī)劃，在本文中基于障礙物的偽距離模型，采用FFSR逆幾何模型(IGM)求解FFSR的連桿最近偽距離估計，進而獲得FFSR的避障約束條件。

2.1 基于IGM的連桿最近偽距離估計

在傳統(tǒng)的6DOF固定基座機械臂系統(tǒng)中，若末端位姿確定，可通過迭代求解機械臂的IGM獲得關(guān)節(jié)角運動的唯一解。由于FFSR特有的漂浮基座特性，使得該方法受到一定限制，由文獻[4]可知，若FFSR基座相對于機械臂連桿質(zhì)量越大其動力學(xué)特性越接近于固定機械臂系統(tǒng)。為此，本文在獲得基座位姿反饋情況下，結(jié)合假設(shè)1條件，在一定誤差允許范圍內(nèi)通過IGM求解連桿偽距離估計。

由假設(shè)1，可得t=kT時，期望關(guān)節(jié)角

qmr(k)=h*(qbk,yer(k))

(10)

其中，h*(qb,xe)為FFSR的IGM。

則迭代求解式(10)以及FFSR幾何模型可求得t=kT時，第i關(guān)節(jié)期望位姿

怎樣捕捉人物的“神”；各種燈光的打法；氛圍營造；強大的后期處理；攝影美學(xué)理論；市場現(xiàn)狀和流行趨勢；現(xiàn)場拍攝及創(chuàng)作指導(dǎo)；犀利點評；獲獎經(jīng)驗；等等。

(11)

其中，0hi(qb,qm)為慣性系中第i關(guān)節(jié)相對于慣性系的正向幾何模型。

由式(6)，(9)，(11)可得，t=kT期望末端位姿的連桿最近偽距離估計為

(12)

其中，g(qbk,yer(k))為由式(11)，(9)推得的最近偽距離計算函數(shù)。

2.2 避障約束

為實現(xiàn)FFSR末端位姿運動過程中的避障，在本節(jié)中定義兩個偽距離

定義1：FFSR障礙物安全偽距離，Duf=[duf1,duf2…dufn]T。

當(dāng)連桿偽距離D≤Duf時，認(rèn)為FFSR發(fā)生碰撞。

定義2：FFSR避障處理偽距離，Dif=[dif1,dif2…difn]T。

(本文中D≤Duf(if)表示D中每一個元素均不大于Duf(if)中每一個元素。)

則由定義1、定義2可知FFSR的末端及連桿運動可以進入由Dif構(gòu)成的區(qū)域，但不能進入由Duf構(gòu)成的區(qū)域。為了在末端軌跡規(guī)劃器中引入避障約束，引入下述罰函數(shù)：

p(D)=[p1(d1),p2(d2)…pn(dn)]T

(13)

其中,

(14)

則，式(13)、(14)構(gòu)成了避障規(guī)劃的約束函數(shù)。

注2.式(13)、(14)說明當(dāng)各連桿的pi(di)越小，則FFSR距離障礙物越遠(yuǎn)，反之越接近障礙，故避障問題求解中，只需滿足各連桿pi(di)極小即可。

3 規(guī)劃-跟蹤控制器設(shè)計

本文中規(guī)劃-跟蹤控制器設(shè)計分為規(guī)劃器和控制器兩部分。首先根據(jù)目標(biāo)點位姿通過規(guī)劃器產(chǎn)生FFSR的末端避障軌跡規(guī)劃，然后將規(guī)劃軌跡結(jié)果引入FFSR的末端跟蹤控制器中，實現(xiàn)FFSR的控制。最后基于FFSR相關(guān)運動反饋信息，計算偽距離，產(chǎn)生避障約束修正規(guī)劃軌跡。

3.1 規(guī)劃器設(shè)計

3.1.1全局規(guī)劃器設(shè)計

若FFSR處于非避障工作空間，則規(guī)劃當(dāng)前點與終點之間的末端運動軌跡，可采用5次多項式(15)規(guī)劃

(15)

滿足如下約束條件：

(16)

則根據(jù)式(15)、(16)將全局軌跡規(guī)劃問題，轉(zhuǎn)化為式(17)所示的非線性尋優(yōu)問題。

minf(x)=tf,x=[A0,A1,…A5,tf]T

s.t.

(17)

其中Ai為多項式系數(shù)矩陣。

求解式(17)的非線性優(yōu)化問題，即可獲得全局規(guī)劃的軌跡的5次多項式系數(shù)，進而獲得全局規(guī)劃軌跡。則全局規(guī)劃器為

(18)

3.1.2避障規(guī)劃器設(shè)計

考慮tk時，F(xiàn)FSR任意連桿或末端偽距離di≤difi，則表明FFSR進入障礙影響區(qū)，原全局規(guī)劃軌跡可能會造成FFSR的碰撞，因此需要進行避障軌跡規(guī)劃重新確定yer(tk)使得FFSR既有一定的避障能力，同時又保證FFSR末端位姿向目標(biāo)運動。

考慮yer(tk+1)與yer(tk)存在如下關(guān)系

(19)

其中，T=tk+1-tk為采樣間隔。

由式(13)、(14)及(19)，可確定避障規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)為

(20)

為保證控制力矩的連續(xù)性，以及使FFSR具有一定的避障能力，在式(20)目標(biāo)函數(shù)的基礎(chǔ)上給出相應(yīng)的求解約束條件,

1)加速度約束

由式(20)可知加速度a的搜索范圍一方面決定了FFSR避障規(guī)劃的可行解空間,另一方面也影響著進入障礙影響區(qū)域后FFSR進行避障運動的控制力矩大小。若a的搜索范圍較大，則FFSR可以獲得更大的避障能力，相應(yīng)的控制力矩也較大。反之，若a選擇較小的搜索范圍，則FFSR的控制力矩更光滑，其避障能力相對減弱。為此，給定如下加速度約束。

(21)

注4.通過調(diào)整kl,kA的值可以實現(xiàn)加速度搜索空間的調(diào)整，kl,kA可根據(jù)FFSR控制力矩輸出限制、Dif和Duf所確定的障礙區(qū)域大小以及FFSR運動時間綜合考慮。

2)錐形搜索區(qū)域約束

FFSR的期望避障規(guī)劃軌跡，不僅應(yīng)使FFSR具有一定的避障能力，同時又要保證其趨向于目標(biāo)位姿運動。雖然在式(20)的目標(biāo)函數(shù)中通過權(quán)系數(shù)γ,βi調(diào)整可以在一定程度上滿足要求，為縮短FFSR末端運動時間,在加速度約束的基礎(chǔ)上增加錐形搜索約束。

(22)

至此，則根據(jù)式(20)、(21)以及(22)將避障規(guī)劃問題，轉(zhuǎn)化為如下非線性優(yōu)化問題。

s.t.

(23)

3.2 控制器設(shè)計

由FFSR運動學(xué)和動力學(xué)模型，可得

(24)

則采用歐拉法對式(24)，進行離散化可得：

(25)

其中Ad=TA+I，Bd=TB，Cd=C，xk=x(kT)，I為單位陣，T為采樣間隔。

由SDRE相關(guān)理論可知，當(dāng)J*可逆時，Ad,Bd,Cd為系統(tǒng)(24)的狀態(tài)依賴系數(shù)(State Dependent Coefficient, SDC)矩陣[24]。

為設(shè)計DSDRE優(yōu)化跟蹤控制器，引入滑膜變量z。

定義3：滑膜變量z滿足

(26)

其中，ek表示跟蹤誤差。λ為滑膜增益，其滿足λ=diag(λ1,λ2,…,λn),λi>0。

由式(24)，(26),系統(tǒng)輸出方程可寫為

(27)

則由式(27)可重寫系統(tǒng)(25)的期望跟蹤軌跡如下：

(28)

設(shè)計目標(biāo)函數(shù)為

(29)

則由DSDRE方法可得控制律為

(30)

注5：關(guān)于Pk+1，sk的求解，根據(jù)DSDRE理論可按照無限時間調(diào)節(jié)器理論方法求解上述黎卡提方程，此時認(rèn)為Pk+1=Pk,sk+1=sk。由式(25)表明控制律(30)使得limt→∞z→0，則FFSR末端運動軌跡能夠?qū)崿F(xiàn)對期望末端軌跡的跟蹤。Q,R為適當(dāng)維數(shù)的正定矩陣。

定理1. 對于具有不確定參數(shù)的FFSR系統(tǒng)(25)，滿足假設(shè)1)～4)及相應(yīng)的SDC條件，則存在控制律(30)使得FFSR末端運動軌跡漸進穩(wěn)定跟蹤期望軌跡。

證. 由系統(tǒng)(25)及控制律(30)，系統(tǒng)閉環(huán)方程可寫為

(31)

閉環(huán)方程(31)包含反饋項與前饋項，由于前饋項不影響Pk的求解，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性僅與反饋項相關(guān)，故可得系統(tǒng)閉環(huán)反饋方程為：

xk+1=Adkxk-AdkFkxk=Adk(I-Fk)xk

(32)

構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)

其中V(xk)>0,?xk≠0并且有xk=0，V(xk)=0。則有

Pk+1FkAdk]xk。

由于R>0，故可得V(xk+1)-V(xk)≤0。表明系統(tǒng)在標(biāo)稱控制律作用下可實現(xiàn)閉環(huán)反饋系統(tǒng)的漸進穩(wěn)定。

注6.定理1成立需要系統(tǒng)(1)滿足SDC條件，即保證FFSR的廣義雅克比矩陣非奇異。為此，本文將奇異點等效為一個障礙，計算跟蹤過程中廣義雅克比矩陣的最小奇異值作為等效障礙的偽距離。通過選取合適等效避障處理偽距離，采用在線避障規(guī)劃方法實現(xiàn)回避奇異。

3.3 規(guī)劃-跟蹤一體化控制算法

限于傳感器觀測范圍等因素，采用傳統(tǒng)離線規(guī)劃再跟蹤控制方法無法有效實現(xiàn)FFSR的避障運動控制，為此本文將避障規(guī)劃和優(yōu)化跟蹤相結(jié)合提出FFSR規(guī)劃-跟蹤一體化控制算法，流程如圖3所示。

為了進一步說明FFSR的規(guī)劃-跟蹤一體化控制方法，給出算法步驟：

5)利用式(26)求解優(yōu)化跟蹤控制律，控制FFSR運動。

6)是否到達目標(biāo)位姿。若到達目標(biāo)位姿停止，反之轉(zhuǎn)步驟7)。

7)k+1→k。轉(zhuǎn)步驟2)。

4 數(shù)值仿真

以文獻[25]所提的6R空間機器人為例，驗證所提方法的有效性。機器人結(jié)構(gòu)及參數(shù)與文獻[25]中相同。

給定系統(tǒng)初始與終止末端位姿分別為：

y0=[1.5950,-0.0095,-0.2166,0,-1.3962]T

yf=[1.0,0.0520,0,1,-1.3963,0]T

給定系統(tǒng)初始末端速度為0，基座初始位姿為0；關(guān)節(jié)角初始值為：qm0=[0,0,-1.04 rad,0,-0.34 rad,0]T

假定障礙中心坐標(biāo)為

PO=[1.3205m,0.06m,0.1195m]T;

設(shè)定障礙物安全偽距離為Duf=[1,1,1,1,1,1]T設(shè)定避障處理偽距離為Dif=[3,3,3,3,3,3]T

控制器選取權(quán)值矩陣：

仿真采用MATLAB Spacedyn工具箱[26]，仿真時間為25 s，結(jié)果如圖4～8所示。圖4為控制力矩;圖5為末端軌跡跟蹤誤差;圖6為機器人跟蹤過程中連桿運動示意圖;圖7為腕部和末端的偽距離變化;圖8為基座的位姿運動情況。

從圖5中可以看出一體化控制方法能夠?qū)崿F(xiàn)末端軌跡對期望軌跡的穩(wěn)定跟蹤，且能夠滿足跟蹤精度。若采用下式計算末端位姿控制精度，則etrack≤1×10-3。

其中，yef為實際終點末端位姿，yf為期望終點末端位姿。

圖4中可以明顯看出在4 s和8 s左右控制力矩發(fā)生了兩次振蕩，對比圖7可以發(fā)現(xiàn)FFSR在3.4 s左右其腕部進入了障礙影響范圍，在8.8 s左右末端進入障礙影響范圍。這反映出由于進行在線避障規(guī)劃使控制力矩發(fā)生了較強烈的變化，從而控制FFSR運動進行避障。從圖7可看到在短時間內(nèi)FFSR離開了障礙區(qū)域，實現(xiàn)了避障。

圖6的連桿示意圖中整體反映了FFSR避障的桿件運動過程。圖8中的基座位姿變化可以看出，由于基座質(zhì)量相對較大， FFSR桿件運動導(dǎo)致基座位姿運動緩慢，基座位置變化較小。

5 結(jié) 論

針對FFSR的避障規(guī)劃與控制問題，本文提出一種基于避障偽距離的FFSR的規(guī)劃-跟蹤一體化控制方法。將FFSR的在線避障規(guī)劃與優(yōu)化跟蹤控制相結(jié)合，解決了FFSR點到點的避障規(guī)劃與控制問題。

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