夏長峰，蔡遠(yuǎn)文，任 元,*，樊亞洪，辛朝軍，尹增愿

(1.航天工程大學(xué)研究生院, 北京 101416；2.航天工程大學(xué)宇航科學(xué)與技術(shù)系, 北京 101416；3.北京控制工程研究所, 北京 100190)

0 引 言

航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)由姿態(tài)敏感器、姿態(tài)控制器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)組成[1-2]。姿態(tài)敏感器用于測量航天器姿態(tài)信息[3-4]，姿態(tài)控制器根據(jù)敏感器的測量信息對執(zhí)行機(jī)構(gòu)發(fā)送控制指令，執(zhí)行機(jī)構(gòu)根據(jù)控制指令為航天器提供控制力矩[5-6]。作為敏感器的轉(zhuǎn)子式速率陀螺儀與作為執(zhí)行器的控制力矩陀螺同為慣性器件，如果能實(shí)現(xiàn)器件功能合二為一，姿態(tài)控制系統(tǒng)的體積、重量、功耗、成本將顯著降低。

任元等[7]提出了一種磁懸浮控制敏感陀螺(Magnetically Suspended Control & Sensing Gyroscope, MSCSG)方案，融合了磁懸浮控制力矩陀螺(Magnetically Suspended Control Momentum Gyroscope, MSCMG)姿態(tài)控制、轉(zhuǎn)子式速率陀螺儀姿態(tài)敏感的功能，由于轉(zhuǎn)子采用磁懸浮力支承，具有無接觸、無摩擦、壽命長、精度高等優(yōu)點(diǎn)。MSCSG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)采用五自由度全主動控制，具有一定小角度的微框架效應(yīng)，能夠瞬間輸出較大的陀螺力矩，實(shí)現(xiàn)姿態(tài)控制；載體姿態(tài)變化時(shí)，磁軸承對轉(zhuǎn)子沿徑向施加二自由度控制力矩，通過測量控制力矩間接實(shí)現(xiàn)姿態(tài)敏感。由于MSCSG轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)是多變量、強(qiáng)耦合的復(fù)雜系統(tǒng)，轉(zhuǎn)子在高轉(zhuǎn)速條件下會產(chǎn)生明顯的陀螺效應(yīng)[5]，影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此，對MSCSG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定控制是實(shí)現(xiàn)其檢控一體功能的必然要求，而分析不同轉(zhuǎn)速對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響是穩(wěn)定控制的重要基礎(chǔ)。

現(xiàn)有的基于磁阻力磁軸承支承的MSCMG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性分析已經(jīng)非常成熟[8-10]，但以洛倫茲力磁軸承(Lorentz Force Magnetic Bearing，LFMB)支承的MSCSG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)具有其特殊性：一方面，其五自由度懸浮軸承在磁路設(shè)計(jì)上采用解耦設(shè)計(jì)，消除了三個(gè)平動方向?qū)蓚€(gè)徑向偏轉(zhuǎn)方向的耦合，因此轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)只受LFMB控制；另一方面，相比于MSCMG[11-12]，MSCSG通過LFMB對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)施加直驅(qū)的偏轉(zhuǎn)力矩，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)動力學(xué)特性發(fā)生變化。因此，對以LFMB支承的MSCSG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析是非常有意義的工作，但目前關(guān)于這方面的研究非常少，絕大部分關(guān)于LFMB的文章只涉及結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)[13]、采用LFMB對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行力矩輸出以及偏轉(zhuǎn)角度控制[14-16]。

根據(jù)控制理論，判定系統(tǒng)穩(wěn)定性最直觀的方法是計(jì)算系統(tǒng)運(yùn)動方程的特征根，根據(jù)有無右半平面特征根確定系統(tǒng)穩(wěn)定性[17]。但對于高速轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，由于被控對象與控制器構(gòu)成的系統(tǒng)模型階次較高，直接計(jì)算系統(tǒng)的所有特征根存在計(jì)算量大的問題。勞斯穩(wěn)定判據(jù)[18]、赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)[19]雖然可以避免直接計(jì)算特征根，但是仍然需要建立閉環(huán)傳遞函數(shù)模型，對于模型復(fù)雜的閉環(huán)轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，計(jì)算量依然很大。與勞斯判據(jù)、赫爾維茨判據(jù)相比，奈奎斯特穩(wěn)定判據(jù)[20]更為方便，只需根據(jù)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制Nyquist曲線，選擇恰當(dāng)?shù)拈]合區(qū)域通過映射之后計(jì)算環(huán)繞圈數(shù)即可分析對應(yīng)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，但該方法不夠直觀，在模型復(fù)雜條件下容易出現(xiàn)曲線交錯(cuò)、環(huán)繞圈數(shù)難以確定的問題。文獻(xiàn)[21-22]提出一種雙頻Bode圖方法，對MSCMG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，直觀且便于實(shí)現(xiàn)，但該分析方法僅適用于最小相位系統(tǒng)。本文通過變量重構(gòu)，將基于LFMB驅(qū)動的MSCSG雙輸入雙輸出轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)等效變換為單輸入單輸出系統(tǒng)，在分析Nyquist曲線與Bode圖的關(guān)聯(lián)性的基礎(chǔ)上，基于Nyquist判據(jù)將雙頻Bode圖判據(jù)方法擴(kuò)展應(yīng)用于包含積分項(xiàng)的非最小相位系統(tǒng)，直觀地預(yù)測不同轉(zhuǎn)速條件下MSCSG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的穩(wěn)定性，采用主導(dǎo)根軌跡曲線預(yù)測轉(zhuǎn)子系統(tǒng)轉(zhuǎn)速穩(wěn)定區(qū)間，并通過時(shí)域仿真進(jìn)行校驗(yàn)。

1 MSCSG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)工作原理

MSCSG結(jié)構(gòu)如圖1所示，主要由陀螺房、陀螺轉(zhuǎn)子、軸向磁軸承、力矩器、徑向磁軸承、旋轉(zhuǎn)電機(jī)、位移傳感器構(gòu)成。其中，旋轉(zhuǎn)電機(jī)驅(qū)動轉(zhuǎn)子繞軸向高速旋轉(zhuǎn)，徑向磁軸承驅(qū)動轉(zhuǎn)子沿徑向平動，軸向磁軸承驅(qū)動轉(zhuǎn)子沿軸向平動，力矩器驅(qū)動轉(zhuǎn)子繞徑向偏轉(zhuǎn)。

MSCSG通過磁阻力磁軸承實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子三自由度平動懸浮，采用LFMB為力矩器實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子徑向偏轉(zhuǎn)控制。其中，平動懸浮包括一自由度軸向懸浮和二自由度徑向懸浮。為避免轉(zhuǎn)子發(fā)生偏轉(zhuǎn)后，磁極面氣隙不均勻?qū)е麓艠O面的電磁吸力不均勻，產(chǎn)生徑向干擾力矩，徑向磁軸承和軸向磁軸承均采用球面結(jié)構(gòu)，其剖面圖如圖2所示。

圖2中，正對的一組磁軸承構(gòu)成一個(gè)平動控制回路，獨(dú)立控制1個(gè)平動自由度。球形轉(zhuǎn)子位于磁軸承磁極形成的球形包絡(luò)面中，轉(zhuǎn)子球心與磁軸承磁極所在球形包絡(luò)面的球心重合。因此，無論球形轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)與否，球面磁極產(chǎn)生的電磁力始終指向轉(zhuǎn)子球心，不會帶來干擾力矩。因此，MSCSG轉(zhuǎn)子徑向偏轉(zhuǎn)只受LFMB控制。

LFMB產(chǎn)生的電磁力依據(jù)安培力定律，即磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的磁場中沿與磁場垂直方向放置長度為L的線圈，當(dāng)流經(jīng)線圈中電流為I時(shí)，線圈將受到大小為BIL的安培力作用。LFMB組件結(jié)構(gòu)如圖3所示。轉(zhuǎn)子外沿一周的狹長內(nèi)壁上放置著上、下兩層磁鋼，兩層磁鋼的內(nèi)、外磁鋼間充磁方向相反，因此形成了圖3中虛線所示的閉合磁場。LFMB骨架上安裝了四組匝數(shù)相同的線圈，位于內(nèi)外磁鋼間的狹縫中，沿LFMB骨架周向均勻分布，四組線圈成對使用，正對的兩組線圈為一對，用于實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)子的二自由度偏轉(zhuǎn)控制。

以LFMB幾何中心o為原點(diǎn)定義定子坐標(biāo)系o-xyz，其中x軸與y軸分別與相對方向兩組線圈中心線重合，z軸方向根據(jù)右手定則確定。當(dāng)與磁場垂直方向放置的線圈通入電流時(shí)，線圈的上下兩部分將分別產(chǎn)生垂直于線圈及磁場方向的安培力，合力大小為式(1)

(1)

式中n為線圈匝數(shù)。根據(jù)圖3中LFMB工作原理圖，LFMB提供的x、y方向偏轉(zhuǎn)力矩為

(2)

式中ix+、ix-分別為x軸正、負(fù)方向上的線圈驅(qū)動電流，iy+、iy-分別為y軸正、負(fù)方向上線圈中的驅(qū)動電流，lm為LFMB定子半徑。令iy+=iα，ix-=iβ，當(dāng)相對方向線圈通入大小相等、方向相同的電流時(shí)，線圈將產(chǎn)生大小相等、方向相反的安培力，形成力偶驅(qū)動轉(zhuǎn)子徑向偏轉(zhuǎn)，此時(shí)，根據(jù)式(2)可知偏轉(zhuǎn)力矩px、py表達(dá)式為：

(3)

2 轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)控制系統(tǒng)模型及其等效變換

MSCSG轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)控制系統(tǒng)閉環(huán)結(jié)構(gòu)如圖4所示，控制通道主要包括傳感器、抗混疊濾波器、控制器和功率放大器構(gòu)成。閉合回路中，傳感器檢測到轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)信息并通過抗混疊濾波器進(jìn)行降噪處理，控制器根據(jù)偏轉(zhuǎn)信息確定偏轉(zhuǎn)指令，隨后功率放大器將偏轉(zhuǎn)指令轉(zhuǎn)化為控制電流，驅(qū)動LFMB產(chǎn)生控制力矩，使轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)至給定參考位置。

由圖4的控制系統(tǒng)框圖可知，根據(jù)轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)角可確定控制電流為：

(4)

(5)

式中l(wèi)r為位移傳感器到z軸的距離。

對于高速旋轉(zhuǎn)的MSCSG的轉(zhuǎn)子，其陀螺技術(shù)方程為[1]：

(6)

式中Jx、Jy為轉(zhuǎn)子相對于x軸及y軸的轉(zhuǎn)動慣量，大小與轉(zhuǎn)子赤道轉(zhuǎn)動慣量Jr相等；Jz為轉(zhuǎn)子相對于z軸的轉(zhuǎn)動慣量；Ω為轉(zhuǎn)子軸向角速度，滿足Ω=2πFr，F(xiàn)r為以頻率為單位的軸向角速度。

將式(3)、(4)代入式(6)，得到MSCSG轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)動力學(xué)方程組：

(7)

將式(7)進(jìn)行拉氏變換得：

(8)

令θ=α+jβ，j為虛數(shù)單位。將式(8)中第二個(gè)方程乘以j與第一個(gè)方程相加可得：

-4nlmBLksgA(s)gw(s)gc(s)θ(s)

(9)

推導(dǎo)得到

θ(s)=

(10)

轉(zhuǎn)子系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為

Jrs2-jJzΩs+4nlmBLksgA(s)gw(s)gc(s)=0

(11)

通過式(8)-(11)的變換和推導(dǎo)，可將轉(zhuǎn)子系統(tǒng)等效成單變量反饋控制系統(tǒng)，等效被控對象和等效控制通道傳遞函數(shù)分別為：

(12)

gce(s)=4nlmBLksgA(s)gw(s)gc(s)

(13)

系統(tǒng)的等效開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

(14)

通過變量重構(gòu)，雙輸入雙輸出的轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)等效變換為復(fù)系數(shù)單變量系統(tǒng)，進(jìn)而便于利用經(jīng)典控制理論進(jìn)行穩(wěn)定性分析。

3 轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

對于復(fù)系數(shù)單變量系統(tǒng)，文獻(xiàn)[21-22]提出采用雙頻Bode圖穩(wěn)定性判據(jù)方法進(jìn)行穩(wěn)定性分析，但該判據(jù)的提出是以MSCMG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)為最小相位系統(tǒng)為前提條件。對于以LFMB驅(qū)動的MSCSG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)，由式(14)可知，由于傳遞函數(shù)中包含純積分環(huán)節(jié)，屬于非最小相位系統(tǒng)，因此該判據(jù)不能直接應(yīng)用于MSCSG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)。根據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，在推導(dǎo)Nyquist曲線與Bode圖關(guān)聯(lián)性的基礎(chǔ)上提出了基于擴(kuò)展雙頻Bode圖的MSCSG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法。

3.1 Nyquist曲線與Bode圖的關(guān)聯(lián)性

對于反饋控制系統(tǒng)，若其前向和反向傳遞函數(shù)分別為G(s)、H(s)，則其開環(huán)傳遞函數(shù)表達(dá)式為：

(15)

式中：K為傳遞函數(shù)前置系數(shù)，v為積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)，zi、pj為開環(huán)傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)。定義不包含積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)為0型系統(tǒng)，積分環(huán)節(jié)個(gè)數(shù)為1、2、3的系統(tǒng)分別為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ型系統(tǒng)。

根據(jù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)[20]，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Nyquist曲線G(jω)H(jω)對臨界點(diǎn)(-1，j0)的連續(xù)相角增量ΔΦ(s)為：

ΔΦ(s)=2pπ+vπ/2 (v=0,1,2,3)

(16)

隨著ω的增加，Nyquist曲線自上而下穿過臨界點(diǎn)(-1，j0)左邊的負(fù)實(shí)軸，相位角增加2π，稱為正穿越；隨著ω的增加，Nyquist曲線自下而上穿過臨界點(diǎn)(-1，j0)左邊的負(fù)實(shí)軸，相位角減少2π，稱為負(fù)穿越。此外，Nyquist曲線自臨界點(diǎn)左側(cè)的負(fù)實(shí)軸開始的穿越，稱為半次穿越。因此，ΔΦ(s)的取值取決于正、負(fù)穿越次數(shù)N+、N-的差值，Nyquist曲線對臨界點(diǎn)的連續(xù)相角增量ΔΦ(s)還可以表示為：

ΔΦ(s)=2π(N+-N-)+vπ/2 (v=0,1,2,3)

(17)

Nyquist曲線在臨界點(diǎn)(-1，j0)左側(cè)時(shí)，其對數(shù)幅值L(ω)始終為正；Nyquist曲線所在平面的負(fù)實(shí)軸相當(dāng)于Bode圖中相頻曲線的(2k+1+v/2)π線，其中，k為整數(shù)。因此，Nyquist曲線正、負(fù)穿越臨界點(diǎn)左側(cè)負(fù)實(shí)軸的次數(shù)，完全對應(yīng)于Bode圖相頻曲線正、負(fù)穿越(2k+1+v/2)π線的次數(shù)。

3.2 基于擴(kuò)展雙頻Bode圖的穩(wěn)定性判據(jù)

由于Nyquist曲線反映的所有信息都可以在Bode圖上得以體現(xiàn)，映射關(guān)系為一一映射，且Bode圖可以更方便地反映系統(tǒng)的穩(wěn)定性信息，因此可以利用二者的對應(yīng)關(guān)系，采用Bode圖進(jìn)行穩(wěn)定性分析。經(jīng)典控制理論中，由于傳遞函數(shù)系數(shù)為實(shí)數(shù)，正負(fù)頻率特性關(guān)于零頻率對稱，因此繪制Bode圖時(shí)只需繪制正頻率特性[17]。但是，根據(jù)式(14)可知，由于傳遞函數(shù)系數(shù)中存在復(fù)數(shù)，不再關(guān)于零頻率對稱，因此繪制Bode圖時(shí)必須同時(shí)考慮正、負(fù)頻率特性，即繪制雙頻Bode圖。

由3.1節(jié)中Nyquist曲線與Bode圖對應(yīng)關(guān)系可知，被控對象傳遞函數(shù)包含積分環(huán)節(jié)時(shí)，即v≠0的條件下，Bode圖中正、負(fù)穿越線不再是文獻(xiàn)[21-22]中的(2k+1)π線，而是和v值相關(guān)的(2k+1+v/2)π線。此外，雙頻Bode圖中正、負(fù)頻率特性曲線穿越極性判斷標(biāo)準(zhǔn)相反，即正頻Bode圖中，相頻曲線由下而上穿越為正穿越，由上而下穿越為負(fù)穿越；而負(fù)頻Bode圖中，相頻曲線由上而下穿越為正穿越，由下而上穿越為負(fù)穿越。因此，本文在文獻(xiàn)[21-22]的基礎(chǔ)上，利用Nyquist曲線與Bode圖的關(guān)聯(lián)性，將雙頻Bode圖判據(jù)拓展應(yīng)用于包含v(v=0～3)個(gè)積分環(huán)節(jié)的系統(tǒng)，判據(jù)如下：

對于區(qū)間：

LN+={ω|ω≤0,lg|G(-jω)H(-jω)|≥0}

(18)

LP+={ω|ω≥0,lg|G(jω)H(jω)|≥0}

(19)

定義Nn+和Nn-分別表示相頻曲線Φ(-jω)在LN+區(qū)間正穿越和負(fù)穿越次數(shù)，Np+和Np-分別表示相頻曲線Φ (j ω)在LN+區(qū)間正穿越和負(fù)穿越次數(shù)，總穿越次數(shù)N=Nn++Np+-Nn--Np-，Q為開環(huán)系統(tǒng)正實(shí)部極點(diǎn)數(shù)，Z為閉環(huán)系統(tǒng)正實(shí)部極點(diǎn)數(shù)，則Z=Q-N，且閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是Z=0。

根據(jù)式(14)，被控對象傳遞函數(shù)開環(huán)極點(diǎn)分別為0、 jJzΩ/Jr，不存在正實(shí)部開環(huán)極點(diǎn)，因此Q=0。同時(shí)，由于式(14)的分母中包含系數(shù)-jJzΩ，因此系統(tǒng)開環(huán)傳遞函表達(dá)式隨轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速變化，進(jìn)而影響轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的頻率特性，最終影響系統(tǒng)穩(wěn)定性。轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速分別為0、90、100 Hz條件下，繪制轉(zhuǎn)子系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)雙頻Bode圖，使用的轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主要參數(shù)如表1所示，控制通道主要參數(shù)根據(jù)文獻(xiàn)[1]中的方法進(jìn)行設(shè)置。表1中，除前文介紹過參數(shù)外，Kp、Ki、Kd分別為PID控制器的比例、積分、微分系數(shù)，ka為功放增益，ωa為功放截止頻率，ωf為抗混疊濾波器截止頻率。

表1 轉(zhuǎn)子系統(tǒng)參數(shù)Table 1 Parameters of rotor system

轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速分別為0、90、100 Hz時(shí)，繪制的雙頻Bode圖如圖5(a)～5(c)所示。相頻特性圖中，一個(gè)黑色箭頭符號表示半次穿越，箭頭斜向上表示正穿越，箭頭斜向下表示負(fù)穿越，正穿越和負(fù)穿越次數(shù)的差為總穿越次數(shù)N。

根據(jù)擴(kuò)展雙頻Bode圖穩(wěn)定性判據(jù)，穩(wěn)定性分析結(jié)果如下：

(1)Fr=0 Hz時(shí)，式(14)中包含2個(gè)積分項(xiàng)，屬于Ⅱ型系統(tǒng)，因此計(jì)算穿越次數(shù)時(shí)需根據(jù)穿越雙頻Bode圖中(2k+1+2/2)π線次數(shù)，由圖5(a)知，N=0+0-0-0=0，則Z=Q-N=0，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定。

(2)Fr=90 Hz時(shí)，式(14)中包含1個(gè)積分項(xiàng)，屬于Ⅰ型系統(tǒng)，因此計(jì)算穿越次數(shù)時(shí)需根據(jù)穿越雙頻Bode圖中(2k+1+1/2)π線次數(shù)，由圖5(b)知，N=0.5+0.5-0-1=0，則Z=Q-N=0，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定。

(3)Fr=100 Hz時(shí)，式(14)中包含一個(gè)積分項(xiàng)，屬于Ⅰ型系統(tǒng)，因此計(jì)算穿越次數(shù)時(shí)需根據(jù)穿越雙頻Bode圖中(2k+1+1/2)π線次數(shù)，由圖5(c)知，N=0.5+0.5-0-0=1，則Z=Q-N≠0，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不穩(wěn)定。

不同轉(zhuǎn)速下基于擴(kuò)展雙頻Bode圖穩(wěn)定性分析結(jié)果表明，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速小于90 Hz時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定；轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速大于100 Hz時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不穩(wěn)定。

3.3 基于轉(zhuǎn)速根軌跡的穩(wěn)定性分析

為檢驗(yàn)轉(zhuǎn)速對轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，利用Matlab搭建轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)仿真模型，采用循環(huán)指令對轉(zhuǎn)速賦值，通過pzmap函數(shù)計(jì)算系統(tǒng)的極點(diǎn)，并將虛軸附近的極點(diǎn)以描點(diǎn)的方式畫出，從而得到轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的主導(dǎo)根軌跡。轉(zhuǎn)速在0～350 Hz時(shí)，基于LFMB支承的MSCSG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)主導(dǎo)轉(zhuǎn)速根軌跡如圖6所示，圖中起始轉(zhuǎn)速為0 Hz，轉(zhuǎn)速間隔為10 Hz。

由圖6可知，起始轉(zhuǎn)速條件下，系統(tǒng)的極點(diǎn)位于虛軸左側(cè)，說明系統(tǒng)穩(wěn)定；隨轉(zhuǎn)速升高，極點(diǎn)位置發(fā)生變化，當(dāng)轉(zhuǎn)速由90 Hz升至100 Hz時(shí)，極點(diǎn)軌跡首次從左半平面穿過虛軸進(jìn)入右半平面，系統(tǒng)出現(xiàn)不穩(wěn)定極點(diǎn)；轉(zhuǎn)速由310 Hz升至320 Hz時(shí)，極點(diǎn)全部位于右半平面。因此轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在轉(zhuǎn)速為0～90 Hz時(shí)，極點(diǎn)位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定；在轉(zhuǎn)速大于100 Hz時(shí)，右半平面存在極點(diǎn)，系統(tǒng)不穩(wěn)定。與3.2中分析結(jié)果相一致。

4 仿真校驗(yàn)

根據(jù)MSCSG設(shè)計(jì)指標(biāo)，轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)產(chǎn)生的偏移量小于保護(hù)軸承間隙的10%時(shí)，可認(rèn)定轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定[7]。由于轉(zhuǎn)子保護(hù)軸承間隙為0.2 mm，因此當(dāng)轉(zhuǎn)子軸向偏移量小于20 um時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定。因此，將偏移量20 um，代入式(5)可知，當(dāng)轉(zhuǎn)子偏離平衡位置角度大于0.015°時(shí)，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不穩(wěn)定。

針對MSCSG轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)建立基于分散PID控制器的Simulink仿真模型，對轉(zhuǎn)子運(yùn)動軌跡進(jìn)行時(shí)域仿真。仿真結(jié)果包括轉(zhuǎn)子徑向偏轉(zhuǎn)角響應(yīng)曲線、軸心軌跡曲線。其中，軸心軌跡曲線為將式(5)中hx+、hy+合成得到的李莎育圖。轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為90 Hz時(shí)，仿真得到的轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)角α、β響應(yīng)曲線如圖7(a)、7(b)所示，軸心軌跡曲線如圖8(a)所示，由圖7(a)、7(b)以及圖8(a)可知，轉(zhuǎn)速為90 Hz條件下，轉(zhuǎn)子徑向偏轉(zhuǎn)角度變化范圍在±0.004°之間，位移傳感器檢測到的轉(zhuǎn)子偏移幅度在±4.5 um之間，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定；轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速為100 Hz時(shí)，轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)角α、β響應(yīng)曲線如圖7(c)、7(d)所示，軸心軌跡曲線如圖8(b)所示，由圖7(c)、7(d)以及圖8(b)可知，轉(zhuǎn)速為100 Hz條件下，轉(zhuǎn)子徑向偏轉(zhuǎn)角度變化范圍超出了±0.015°的區(qū)間，位移傳感器檢測到的轉(zhuǎn)子偏移幅度在±40 μm之間，轉(zhuǎn)子系統(tǒng)不穩(wěn)定。圖7與圖8的仿真校驗(yàn)結(jié)果與3.2節(jié)中判據(jù)結(jié)果相一致，驗(yàn)證了所提出穩(wěn)定性分析方法的正確性。

5 結(jié) 論

針對以LFMB驅(qū)動的MSCSG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定判據(jù)問題，提出一種適用于非最小相位系統(tǒng)的擴(kuò)展雙頻Bode圖穩(wěn)定性分析方法。通過變量重構(gòu)，將雙輸入雙輸出的MSCSG轉(zhuǎn)子偏轉(zhuǎn)系統(tǒng)等效變換為單輸入單輸出系統(tǒng)；基于Nyquist穩(wěn)定判據(jù)，利用Nyquist曲線與Bode圖的映射關(guān)系，擴(kuò)展了雙頻Bode圖穩(wěn)定判據(jù)，得到了基于擴(kuò)展雙頻Bode圖的MSCSG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性分析方法，對不同轉(zhuǎn)速條件下轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定性進(jìn)行分析；并采用根軌跡曲線預(yù)測了轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的轉(zhuǎn)速穩(wěn)定區(qū)間。時(shí)域仿真結(jié)果驗(yàn)證了本文所提出的穩(wěn)定性分析方法的正確性和有效性。本文提出的擴(kuò)展雙頻Bode圖穩(wěn)定性分析方法直觀且便于工程應(yīng)用，是實(shí)現(xiàn)MSCSG轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定控制的重要基礎(chǔ)。

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