楊 博，苗 峻

(北京航空航天大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100191)

0 引 言

利用星光折射間接敏感地平的導(dǎo)航方法是一種高精度的天文自主導(dǎo)航方法[1-3]，但在星敏感器接受折射光線(xiàn)的過(guò)程中必然會(huì)受到日、月、地等明亮天體的影響，相比于星敏感器正常捕獲的星光亮度，太陽(yáng)(視星等-26.78)、月球(視星等-12.7)、地氣光光強(qiáng)都過(guò)強(qiáng)，這些雜光會(huì)造成星圖背景增強(qiáng)，嚴(yán)重時(shí)甚至淹沒(méi)星點(diǎn)目標(biāo)，致使星敏感器測(cè)星任務(wù)失敗[4]，這種觀(guān)測(cè)缺失的現(xiàn)象即“星光空白段”，嚴(yán)重降低了航天器的導(dǎo)航精度和可靠性。

針對(duì)上述問(wèn)題，現(xiàn)有的解決方法著重于兩個(gè)方面：一是通過(guò)提高星敏感器制造工藝和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)水平，增加光學(xué)防護(hù)和信號(hào)處理防護(hù)，但仍難以滿(mǎn)足雜光抑制要求[5]。二是使航天器在遇到干擾前禁止敏感器工作，干擾結(jié)束后恢復(fù)[6-7]。在此期間通過(guò)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)或GPS導(dǎo)航系統(tǒng)進(jìn)行輔助導(dǎo)航。其中，慣性導(dǎo)航系統(tǒng)雖然具有短時(shí)精度高的特點(diǎn)，但其導(dǎo)航定位誤差隨時(shí)間積累，難以長(zhǎng)時(shí)間獨(dú)立工作，初始對(duì)準(zhǔn)時(shí)間較長(zhǎng)，無(wú)法適應(yīng)快速應(yīng)用的場(chǎng)合；而GPS導(dǎo)航系統(tǒng)誤差不隨時(shí)間積累，但信號(hào)也容易受到干擾，尤其在航天器做機(jī)動(dòng)時(shí)，容易丟失信息。

有學(xué)者提出研究飛行力學(xué)導(dǎo)航法(Flight dynamics navigation method，F(xiàn)DN)的軟件補(bǔ)償方法[8]，即利用最優(yōu)估計(jì)理論估計(jì)出系統(tǒng)模型中的常值擾動(dòng)誤差及導(dǎo)航設(shè)備的誤差源，并將其反饋回原系統(tǒng)校正，可以在不增加硬件設(shè)備的情況下明顯改善導(dǎo)航性能，但該方法對(duì)軌道要求較高，并且只能針對(duì)常值的固有干擾有效，無(wú)法處理隨機(jī)擾動(dòng)。

神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有聯(lián)想記憶能力，能夠不斷學(xué)習(xí)存儲(chǔ)信息，并對(duì)信息進(jìn)行加工處理[9-10]。在航天器導(dǎo)航系統(tǒng)中，系統(tǒng)的狀態(tài)誤差修正與導(dǎo)航誤差在時(shí)間序列中存在著非線(xiàn)性關(guān)系，利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的聯(lián)想學(xué)習(xí)功能，將該時(shí)間序列關(guān)系轉(zhuǎn)化成一個(gè)用非線(xiàn)性機(jī)制確定的輸入輸出系統(tǒng)，并建立系統(tǒng)輸入和位置修正之間的權(quán)值網(wǎng)絡(luò)，再對(duì)權(quán)值網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行不斷地學(xué)習(xí)訓(xùn)練，當(dāng)在航天器受到日、月、地等天體干擾沒(méi)有觀(guān)測(cè)信息的“星光空白段”期間，利用訓(xùn)練好的權(quán)值網(wǎng)絡(luò)迭代補(bǔ)償航天器的位置信息，即可以低成本方法實(shí)現(xiàn)高精度的連續(xù)導(dǎo)航。

1 最優(yōu)星光觀(guān)測(cè)窗口

當(dāng)折射星光穿過(guò)對(duì)流層時(shí)(折射高度小于20 km)，因?qū)α鲗訙囟茸兓?、?duì)流活動(dòng)強(qiáng)烈，大氣密度變化不穩(wěn)定，間接敏感地平精度低。當(dāng)星光折射高度大于50 km時(shí)，星光折射角過(guò)小，難以準(zhǔn)確觀(guān)測(cè)。20～50 km為平流層大氣范圍，其間溫度變化緩慢，大氣密度相對(duì)穩(wěn)定，同一折射高度下的折射角基本恒定，是最佳利用星光折射間接敏感地平區(qū)間。

(1)

設(shè)u1為恒星星光恰好未在大氣高度50 km處發(fā)生折射的臨界星光矢量方向，由上述定義可得到上邊界窗口角為：

(2)

式中：Re為地球半徑，h1=50 km。

另設(shè)u2為恒星星光在大氣高度20 km處恰好未發(fā)生折射的臨界星光矢量方向，再由上述定義得到下邊界窗口角為：

(3)

式中：α為星光在大氣高度20 km時(shí)的折射角，h2=20 km。

由式(2)和式(3)可得到航天器獲取經(jīng)20～50 km平流層大氣折射星光最佳觀(guān)測(cè)窗口條件為：

φmin≤φ≤φmax

(4)

若某顆恒星滿(mǎn)足該最佳星光觀(guān)測(cè)窗口條件，即說(shuō)明該恒星將在20～50 km高度間發(fā)生折射。

2 窗口星光觀(guān)測(cè)模型

圖2為航天器利用星光折射間接敏感地平的幾何關(guān)系。其中：視高度為ha，實(shí)際折射高度為hg，星光折射角為R， 由圖2幾何關(guān)系可得

(5)

式中：u=|r·us|，r為航天器在歷元J2000地心慣性系中位置矢量,r=|r|,us為未折射時(shí)星光在地心慣性系中方向矢量。Re為地球半徑，a為小量，通?？杀缓雎?。

由前期工作可得20～50 km范圍內(nèi)連續(xù)高度的星光折射角觀(guān)測(cè)模型為：

R=0.0338exp(-0.1518026hg)

(6)

等式兩邊經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)變換可以得到實(shí)際折射高度與折射角的函數(shù)關(guān)系為

hg=-22.3138-6.58750lnR

(7)

有密度隨高度變化的模型

ρ=1537.3exp(-0.1462hg)

(8)

根據(jù)星光折射定律，折射高度hg與視高度ha的關(guān)系為[11-12]：

ha=hg+k(λ)ρ(Re+hg)

(9)

k(λ)為散射系數(shù)，由光波波長(zhǎng)λ決定，ρ為hg處大氣密度。λ=0.7 μm為星光的平均波長(zhǎng)，k(λ)=2.2517×10-7為散射參數(shù)。

將式(7)和式(8)代入式(9)可得該區(qū)域內(nèi)的視高度ha和折射角R的近似關(guān)系。航天器飛行過(guò)程中在最優(yōu)折射窗口內(nèi)量測(cè)到恒星折射角R，經(jīng)式(9)計(jì)算得到相應(yīng)的視高度ha，代入式(5)結(jié)合軌道動(dòng)力學(xué)方程即可解算出航天器位置信息。

3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償星光空白段

航天器在軌飛行過(guò)程中，根據(jù)折射星光最優(yōu)觀(guān)測(cè)窗口條件實(shí)時(shí)選擇導(dǎo)航折射星進(jìn)行位置確定。當(dāng)天體干擾等因素導(dǎo)致航天器無(wú)法觀(guān)測(cè)到折射星進(jìn)行導(dǎo)航，本文中將包括天體干擾在內(nèi)的觀(guān)測(cè)缺失的軌道段定義為“星光空白段”。

3.1 星光折射導(dǎo)航解算

選取航天器在地心慣性坐標(biāo)系x,y,z三個(gè)方向的位置和速度為狀態(tài)變量，即X=[xyzvxvyvz]T。

航天器動(dòng)力學(xué)一步預(yù)測(cè)：

(10)

一步預(yù)測(cè)均方差:

(11)

估計(jì)均方差：

(12)

濾波增益：

(13)

一步狀態(tài)誤差修正：

(14)

一步位置估計(jì)：

(15)

導(dǎo)航誤差：

(16)

式中:Dk為標(biāo)稱(chēng)軌跡點(diǎn)。

3.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)引入

在上述導(dǎo)航解算步驟中，當(dāng)沒(méi)有觀(guān)測(cè)量(即出現(xiàn)“星光空白段”)時(shí)，不能對(duì)一步位置估計(jì)值(式(15))進(jìn)行修正，導(dǎo)航結(jié)果將發(fā)散。從時(shí)間序列來(lái)看，導(dǎo)航誤差式(16)可以看作是一步狀態(tài)誤差修正的結(jié)果。分析發(fā)現(xiàn)它們之間隱含著非線(xiàn)性關(guān)系，將其時(shí)間序列關(guān)系轉(zhuǎn)化成一個(gè)由非線(xiàn)性機(jī)制確定的輸入輸出系統(tǒng)，在該輸入輸出系統(tǒng)中引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。根據(jù)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)對(duì)信息有聯(lián)想記憶的能力，不斷從輸入數(shù)據(jù)中提取特征，組織構(gòu)造成最合適的權(quán)值網(wǎng)絡(luò)，由此，獲得系統(tǒng)輸入輸出之間的規(guī)律。系統(tǒng)在航天器飛行有觀(guān)測(cè)時(shí)讓神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)規(guī)律獲得訓(xùn)練，而在沒(méi)有觀(guān)測(cè)量(即星光空白段)時(shí)通過(guò)訓(xùn)練的網(wǎng)絡(luò)來(lái)預(yù)測(cè)并修正航天器狀態(tài)信息。

3.3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸入輸出確定

對(duì)非線(xiàn)性時(shí)間序列相空間重構(gòu)，建立如下結(jié)構(gòu)矢量作為神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的輸入：

(17)

矢量I首端為導(dǎo)航誤差，中間為一步狀態(tài)誤差修正。

設(shè)第t+τ時(shí)刻狀態(tài)誤差修正信息可表示為：

δx(t+τ)=f(Δxt,δxt+1…,δxt+τ-1)

(18)

式中:τ為時(shí)間間隔。

輸入誤差空間重構(gòu)為：

誤差重構(gòu)矩陣第i列元素表示為Ii。

構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)期望輸出矢量d為：

(19)

dk為d的第k列，表示航天器k時(shí)刻的一步狀態(tài)誤差修正。

由于頻繁的網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練會(huì)大大增加計(jì)算量，長(zhǎng)時(shí)間積累后訓(xùn)練可能會(huì)導(dǎo)致過(guò)擬合現(xiàn)象。因此，本文采用每n=30間隔重新訓(xùn)練，依次更新網(wǎng)絡(luò)。

3.4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方案設(shè)計(jì)

1)設(shè)計(jì)三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，輸入層節(jié)點(diǎn)為30個(gè)，分別對(duì)應(yīng)誤差重構(gòu)向量Ii，隱含層節(jié)點(diǎn)數(shù)在8～100，其目的是對(duì)輸入層的數(shù)據(jù)進(jìn)行相關(guān)映射，輸出層節(jié)點(diǎn)1 個(gè)，對(duì)應(yīng)誤差修正信息。

將其網(wǎng)絡(luò)最終輸出表示成：

(20)

對(duì)于隱層，有：

yj=f(ψk),j=1,2,…,m

(21)

(22)

式中:yj為隱層第j個(gè)輸出量，vij為對(duì)應(yīng)Iij的權(quán)值，傳輸函數(shù)選擇正切S型函數(shù)。

輸出層第k個(gè)輸出元素ok為：

ok=f(ψk),k=1,2,…,l

(23)

(24)

式中:wjk為對(duì)應(yīng)yi權(quán)值，傳輸函數(shù)采用線(xiàn)性函數(shù)。對(duì)于航天器一組輸入信息即可建立一組基本的權(quán)值連接信息和網(wǎng)絡(luò)輸出。

2)權(quán)值更新

當(dāng)網(wǎng)絡(luò)輸出與期望輸出不等時(shí)，定義輸出誤差為：

(25)

當(dāng)E(n)

Δwjk=η(dk-ok)ok(1-ok)yj

(26)

(27)

式中:η為學(xué)習(xí)率，是一個(gè)常數(shù)，反映訓(xùn)練速率。本文采用自適應(yīng)學(xué)習(xí)率：若經(jīng)過(guò)一批次權(quán)值調(diào)整后E(t+1)誤差減小，則本次調(diào)整有效，應(yīng)該加速學(xué)習(xí)；如果經(jīng)過(guò)一批次權(quán)值調(diào)整后E(t+1)增大，說(shuō)明本次調(diào)整無(wú)效，應(yīng)該放緩學(xué)習(xí)。

(28)

定義：

實(shí)際狀態(tài)修正為有觀(guān)測(cè)時(shí)的狀態(tài)修正量，網(wǎng)絡(luò)計(jì)算修正為有觀(guān)測(cè)時(shí)通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)計(jì)算出的狀態(tài)修正量，這樣就可以用學(xué)習(xí)相對(duì)誤差來(lái)描述最終網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)的優(yōu)劣程度

3)保存權(quán)值網(wǎng)絡(luò)

將步驟(2)最終修正得到的權(quán)值網(wǎng)絡(luò)vij，wjk保存，當(dāng)進(jìn)入星光空白段時(shí)，將航天器在空白段初始位置的誤差作為網(wǎng)絡(luò)輸入，求得航天器在空白段的一步狀態(tài)誤差修正值，之后將得到的一步狀態(tài)誤差修正值一并作為網(wǎng)絡(luò)輸入重復(fù)步驟(1)和步驟(2)進(jìn)行導(dǎo)航解算。

航天器在飛行過(guò)程中，當(dāng)有折射星被觀(guān)測(cè)時(shí)，導(dǎo)航系統(tǒng)利用折射星光進(jìn)行位置解算，同時(shí)建立即時(shí)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值；而當(dāng)進(jìn)入星光空白段時(shí)，導(dǎo)航系統(tǒng)通過(guò)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償算法進(jìn)行導(dǎo)航延續(xù)。在空白段初期，導(dǎo)航系統(tǒng)要根據(jù)空白段結(jié)束時(shí)刻標(biāo)稱(chēng)軌道上的位置點(diǎn)，預(yù)測(cè)航天器飛出空白段的第一顆導(dǎo)航折射星方向，并依據(jù)該星光方向提前調(diào)整航天器姿態(tài)做好捕獲準(zhǔn)備。

4 仿真計(jì)算及分析

4.1 在軌“星光空白段”選取

仿真條件

1)航天器軌道：半長(zhǎng)軸7136.635 km，偏心率e=1.809×10-3，軌道傾角i= 65°，升交點(diǎn)赤經(jīng)Ω=30°,近地點(diǎn)輻角ω=30°，過(guò)近地點(diǎn)時(shí)刻t=0。

2)星光折射視高度量測(cè)噪聲80 m，步長(zhǎng)周期1 s。采用SKY2000 Version 2星庫(kù)，恒星目視星等小于5.0 mag。

航天器動(dòng)力學(xué)模型為：

(29)

式中：J2為地球帶形諧系數(shù)，μ為地心引力常數(shù)，Δf為地球非球形攝動(dòng)的高階攝動(dòng)項(xiàng)和日、月攝動(dòng)以及太陽(yáng)攝動(dòng)、大氣攝動(dòng)等攝動(dòng)產(chǎn)生的攝動(dòng)力，Δfx， Δfy， Δfz分別為該攝動(dòng)力作用到x,y,z軸上的分量。

選取如圖3的一段為航天器飛行過(guò)程中的星光空白段進(jìn)行分析。

圖中坐標(biāo)系為J2000地心赤道慣性坐標(biāo)系。原點(diǎn)O在地球中心，平面xy與地球赤道平面重合。軸x指向春分點(diǎn)，軸z沿地球旋轉(zhuǎn)軸(即垂直于赤道平面)，指向北極，空白段在標(biāo)稱(chēng)軌道上起止坐標(biāo)為圖中標(biāo)示。

圖3中實(shí)線(xiàn)軌跡為航天器標(biāo)稱(chēng)軌跡，其中加粗一段為以標(biāo)稱(chēng)軌道為中軸擴(kuò)展500 m觀(guān)測(cè)區(qū)域。將該區(qū)域航天器位置代入第1節(jié)最優(yōu)星光窗口條件分析，經(jīng)星庫(kù)篩選計(jì)算，發(fā)現(xiàn)星光觀(guān)測(cè)窗口中不存在恒星，無(wú)法得到星光觀(guān)測(cè)量，因此取該段為星光空白段。

根據(jù)不同具體任務(wù)背景，可通過(guò)提高動(dòng)力學(xué)模型精度，建立更精確的空間環(huán)境模型，設(shè)計(jì)多神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)復(fù)合，利用更深入的學(xué)習(xí)策略，可提高航天器在星光空白段的續(xù)航長(zhǎng)度。一般地，考慮到學(xué)習(xí)效率和信息有效性，采用本文三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型，空白段長(zhǎng)度在學(xué)習(xí)間隔2倍以?xún)?nèi)效果最好。即空白段長(zhǎng)度不應(yīng)超過(guò)第3.3節(jié)訓(xùn)練飛行長(zhǎng)度兩倍(2n)為宜。

一般地，如果學(xué)習(xí)誤差小于1%，其導(dǎo)航誤差在10%內(nèi), 當(dāng)學(xué)習(xí)誤差大于1%時(shí)，需要進(jìn)一步訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)。

4.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練

進(jìn)入星光空白段前訓(xùn)練的導(dǎo)航神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)如圖4所示。

圖4、圖5、圖6分別為x,y,z三個(gè)方向的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)。其橫軸為積累時(shí)間，豎軸為各方向上的位置狀態(tài)修正，可以看到x方向?qū)W習(xí)相對(duì)誤差為0.05573%，y方向?qū)W習(xí)相對(duì)誤差為0.0896%，z方向?qū)W習(xí)相對(duì)誤差為0.45%。同時(shí)可知，此時(shí)航天器已根據(jù)網(wǎng)絡(luò)輸入和期望輸出得到了良好的三層神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)權(quán)值，該權(quán)值能夠有效提取網(wǎng)絡(luò)輸入信息，并通過(guò)映射計(jì)算得到期望輸出。比較權(quán)值網(wǎng)絡(luò)計(jì)算輸出和折射星光導(dǎo)航解算輸出，其結(jié)果非常吻合，說(shuō)明網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)是成功的，能夠信賴(lài)的。

4.3 結(jié)果分析比較

可得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)迭代第一步輸入：

定義：

將第一步輸入代到第4.2節(jié)訓(xùn)練好的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行迭代，依次得到每一步狀態(tài)修正值。基于第4.1節(jié)中含星光空白段的航天器標(biāo)稱(chēng)軌跡(見(jiàn)圖3)，導(dǎo)航系統(tǒng)利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在星光空白段續(xù)航，航天器實(shí)際飛行軌跡仿真結(jié)果如圖7所示

從圖7可以看出整個(gè)飛行軌跡連續(xù)性很好。星光空白段之前平均位置矢量誤差(RMS)為99.064 m，星光空白段后平均位置矢量誤差(RMS)為106.846 m。其精度相對(duì)誤差為 7.86%，由此進(jìn)一步說(shuō)明，本文方法建立的權(quán)值修正網(wǎng)絡(luò)能夠基本保持原有的導(dǎo)航精度，完全可以實(shí)現(xiàn)航天器在星光空白段連續(xù)導(dǎo)航。

圖8～圖10分別為采用本文方法x,y,z方向上的導(dǎo)航位置誤差，圖11～圖13為在空白段基于第4.1節(jié)動(dòng)力學(xué)模型預(yù)估解算位置誤差。表1所示為導(dǎo)航空白段前有觀(guān)測(cè)時(shí)導(dǎo)航結(jié)果，空白段中采用兩種方法導(dǎo)航結(jié)果如表2所示。

表1 空白段前有觀(guān)測(cè)時(shí)導(dǎo)航結(jié)果Table 1 Navigation results obtained by observations

從表1和表2仿真結(jié)果的對(duì)比可以看出，采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償算法可以使星光空白段前后x,y,z三個(gè)方向上的位置誤差波動(dòng)均非常小，平均小于10%，因此有利于導(dǎo)航的連續(xù)性。

從表2可以看出，在導(dǎo)航空白段采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償算法比采用動(dòng)力學(xué)模型導(dǎo)航解算將三個(gè)方向最大位置誤差分別減少了44.50%，18.18%，35.68%，大大減少了波動(dòng)，位置矢量平均位置誤差減少了38.82%，提高了導(dǎo)航精度。可見(jiàn)，這種學(xué)習(xí)了空白段前的狀態(tài)修正規(guī)律，并以此構(gòu)建了修正網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行導(dǎo)航補(bǔ)償?shù)姆椒?，可以有效減小導(dǎo)航誤差，實(shí)現(xiàn)精確連續(xù)導(dǎo)航。

5 結(jié) 論

星光折射導(dǎo)航在實(shí)際中應(yīng)用具有很大的局限性，存在很多導(dǎo)航空白段。本文突破傳統(tǒng)硬件限制，在不增加設(shè)備情況下，設(shè)計(jì)導(dǎo)航算法，解決了傳統(tǒng)星光折射導(dǎo)航在無(wú)折射星段導(dǎo)航精度不高容易發(fā)散的問(wèn)題，算法清晰明了，容易實(shí)現(xiàn)，具有獨(dú)特的優(yōu)勢(shì)。主要結(jié)論如下：

1)導(dǎo)航折射星的確定：可以通過(guò)導(dǎo)航星觀(guān)測(cè)窗口根據(jù)航天器位置分析可觀(guān)測(cè)到的折射星。

2)位置狀態(tài)修正與位置誤差在時(shí)間狀態(tài)空間中存在相關(guān)性，他們之間的關(guān)系是可以被神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)表達(dá)的。

3)仿真結(jié)果表明,神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)導(dǎo)航算法具有較高的導(dǎo)航精度，合方向精度誤差在10%之內(nèi)，各個(gè)分方向也達(dá)到了良好的精度，各個(gè)方向最大位置誤差幅值在10%之內(nèi)，算法可以實(shí)現(xiàn)高精度導(dǎo)航。

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