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        基于PCA算法的機(jī)載LiDAR點(diǎn)云平面分割算法研究

        2018-03-15 03:29:33葉玲潔顏遠(yuǎn)青
        城市勘測(cè) 2018年1期
        關(guān)鍵詞:區(qū)域

        葉玲潔,顏遠(yuǎn)青

        (1.廣州市城市規(guī)劃勘測(cè)設(shè)計(jì)研究院,廣東 廣州 510060; 2.珠海大橫琴科技發(fā)展有限公司,廣東 珠海 519000)

        1 引 言

        在建筑物的三維重建中,屋頂面提取是其中最關(guān)鍵的部分[1],后續(xù)工作都在屋頂面準(zhǔn)確提取的基礎(chǔ)上進(jìn)行。按照屋頂面的平整度,可以將屋頂面分為平面式屋頂和曲面式屋頂,現(xiàn)代建筑中尤其是城市建筑物,一般都較為規(guī)則,屋頂面多為平面式,而對(duì)于曲面式屋頂,難以直接用參數(shù)定義其曲面形狀,常規(guī)的做法是對(duì)其構(gòu)建Delaunay三角網(wǎng),以三角面片的形式來擬合曲面。本文的研究重點(diǎn)主要是針對(duì)平面式屋頂面,因此對(duì)曲面式的屋頂面不進(jìn)行研究討論。

        在屋頂面分割算法中,目前常用的主要是RANSAC(Random Sample Consensus,隨機(jī)抽樣一致性)算法[2]、區(qū)域增長(zhǎng)算法[3]、三維霍夫變換算法[4]、聚類算法等。區(qū)域增長(zhǎng)算法首先選定一個(gè)種子區(qū)域,根據(jù)屋頂面點(diǎn)云與種子區(qū)域的法向量夾角、空間位置關(guān)系不斷地拓展面片,該方法分割效果良好,但是算法中參數(shù)選取較為困難,同時(shí)由于法向量的計(jì)算易受噪聲點(diǎn)影響,進(jìn)而使得算法增長(zhǎng)出錯(cuò)誤的平面。RANSAC是一種隨機(jī)參數(shù)估計(jì)算法,首先從點(diǎn)云中隨機(jī)選取三個(gè)點(diǎn),計(jì)算出平面參數(shù),然后計(jì)算其他點(diǎn)與該平面的偏差,當(dāng)偏差小于閾值,則該點(diǎn)為局內(nèi)點(diǎn),不斷迭代找到局內(nèi)點(diǎn)最多的平面,則為最優(yōu)平面模型。RANSAC能魯棒的估計(jì)模型參數(shù),但是其迭代次數(shù)必須足夠多才能得到準(zhǔn)確的結(jié)果,效率低下。

        在進(jìn)行平面擬合時(shí),常用的方法是最小二乘法進(jìn)行平面擬合,但最小二乘法對(duì)于自變量與因變量無法區(qū)分的情況,適應(yīng)性差[5],在實(shí)際中,一般認(rèn)為接近垂直于地面的屋頂面是不存在的,以Z坐標(biāo)作為因變量來對(duì)屋頂面進(jìn)行最小二乘擬合平面。同時(shí),在屋頂面點(diǎn)云存在噪聲點(diǎn)的情況下,對(duì)擬合結(jié)果影響很大。

        本文利用PCA(Principal Component Analysis,主成分分析法)來計(jì)算點(diǎn)云的法向量,并以區(qū)域增長(zhǎng)法來對(duì)平面進(jìn)行分割。PCA算法可以有效減小噪聲點(diǎn)對(duì)法向量計(jì)算的影響,改善區(qū)域增長(zhǎng)的結(jié)果。

        2 平面擬合

        本文中采用PCA的方法對(duì)點(diǎn)云進(jìn)行平面擬合。PCA是一種數(shù)學(xué)變換的方法,利用降維的思想在變換中保持變量的總方差不變,將給定的一組變量線性變換為另一組不相關(guān)的變量,并且使變換后的第一變量的方差最大,即第一主成分,其他分量的方差依次遞減[6]。在本文中的變量為三維點(diǎn)坐標(biāo)的集合,其變量為X、Y、Z三個(gè)坐標(biāo)值,則經(jīng)過變換后,應(yīng)有三個(gè)主成分,對(duì)于一個(gè)空間平面,在平行于平面的方向上點(diǎn)集分布最為離散,方差最大,在垂直于平面的方向上,點(diǎn)集分布最為集中,方差最小,即空間平面的第三主成分為垂直于空間平面的向量。由于平面擬合最關(guān)鍵的為法向量的擬合,利用PCA得到點(diǎn)集的第三主成分,即能進(jìn)一步擬合出平面方程,如圖1所示。

        圖1 PCA變換原理

        對(duì)于在坐標(biāo)系XYZ下的待擬合平面點(diǎn)云,利用主成分分析法對(duì)其進(jìn)行分析,可得到三個(gè)按照從大到小排列的特征值λ1、λ2、λ3,對(duì)應(yīng)的主分量分別為V1、V2、V3,其中V1和V2組成了待擬合平面的一組基,V3與V1、V2正交,為垂直于待擬合平面的法向量。如圖1,在XYZ坐標(biāo)系下的點(diǎn)云,經(jīng)過主成分分析后,三個(gè)主成分分量V1、V2、V3組成了新坐標(biāo)系X′Y′Z′的三個(gè)基,V1和V2為平面X′O′Z′的一組基,V3為O′Z′方向的基,即所擬合平面的法向量。

        PCA過程如下:

        (1)特征中心化。即每一維的數(shù)據(jù)都減去該維的均值,變換之后每一維的均值都變成了零。特征中心化后的點(diǎn)集P,如式(1),其中,xi、yi、zi為中心化后點(diǎn)坐標(biāo):

        (1)

        (2)計(jì)算三個(gè)坐標(biāo)的協(xié)方差矩陣。協(xié)方差矩陣C為:

        (2)

        其中,cov(x,y)為x坐標(biāo)和y坐標(biāo)的協(xié)方差,cov(x,x)為x坐標(biāo)的方差,協(xié)方差計(jì)算公式如式(3),xi、yi為中心化后點(diǎn)坐標(biāo):

        (3)

        當(dāng)協(xié)方差大于零時(shí)說明x和y是正相關(guān)關(guān)系,協(xié)方差小于零時(shí)x和y是負(fù)相關(guān)關(guān)系,協(xié)方差為零時(shí)x和y相互獨(dú)立。

        (3)計(jì)算協(xié)方差矩陣C的特征值和特征向量。所計(jì)算出來的特征值按照從大到小排序,分別為λ1、λ2、λ3,其所對(duì)應(yīng)的特征向量分別為ξ1、ξ2、ξ3。顯然,兩個(gè)較大λ所對(duì)應(yīng)的特征向量ξ1、ξ2為待擬合平面的一組基,而ξ3為待擬合平面的法向量,其三個(gè)分量分別為a、b、c。

        若已知待擬合平面經(jīng)過點(diǎn)p(x0,y0,z0)p(x0,y0,z0),則擬合平面為式(4):

        a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0

        (4)

        采用主成分分析法擬合平面的方法,對(duì)于存在噪聲點(diǎn)的情況,也能很好的擬合出結(jié)果。因?yàn)樵谝粋€(gè)平面點(diǎn)云中,噪聲點(diǎn)偏離平面的距離相對(duì)于平面的范圍較小,對(duì)擬合結(jié)果的影響可以忽略。

        3 法向量計(jì)算

        傳統(tǒng)的平面分割算法中,對(duì)于點(diǎn)的法向量計(jì)算通常是采用以點(diǎn)為圓心,r為半徑的一個(gè)鄰域,取鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)云進(jìn)行最小二乘擬合,這種方法在平滑變化的曲面上,計(jì)算的結(jié)果不會(huì)有太大偏差,但是在邊緣處,法向量難以確定,其結(jié)果是不準(zhǔn)確的[7]。

        本文中,首先對(duì)點(diǎn)的法向量進(jìn)行計(jì)算。在選擇點(diǎn)云的鄰域點(diǎn)時(shí),把當(dāng)前表面情況考慮進(jìn)去,即對(duì)于在同一個(gè)平面上,且空間上相鄰近,則認(rèn)為是鄰域點(diǎn),若不在同一個(gè)平面上,即使空間上相鄰近,也不視為鄰域點(diǎn)[8]。

        圖2 初始鄰域點(diǎn)的選擇

        法向量計(jì)算的主要步驟如下:

        (1)定義所求點(diǎn)的r鄰域,搜索到其所有鄰域點(diǎn),并進(jìn)行平面擬合,擬合結(jié)果為Φinit。其中,如圖2,初始的鄰域點(diǎn)為在以所求點(diǎn)為球心,r為半徑的區(qū)域內(nèi)的所有點(diǎn),都認(rèn)為是所求點(diǎn)的鄰域點(diǎn);

        (2)計(jì)算鄰域點(diǎn)到Φinit的距離di的中誤差σ,將距離di小于兩倍中誤差的點(diǎn)權(quán)值設(shè)為1,距離di大于兩倍中誤差的點(diǎn)權(quán)值設(shè)為0。重新擬合平面Φinit;權(quán)值計(jì)算公式如(5):

        (5)

        (3)多次擬合,直到所擬合的平面參數(shù)不再改變或者改變量小于閾值,此時(shí)擬合的平面為Φi。則Φi的法向量為所求點(diǎn)的法向量。

        圖3 法向量求解過程

        法向量的求解過程,也就是所求點(diǎn)處平面的擬合過程,可以用圖3表示,初始擬合的平面采用了r鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)云進(jìn)行擬合,其結(jié)果為Φinit,鄰域內(nèi)與Φinit的距離小于2σ的權(quán)值為1,如圖中黃色點(diǎn),將權(quán)值為1的點(diǎn)重新擬合,多次擬合,最終結(jié)果為Φi,從圖3中可看出,此時(shí)所采用的用來擬合Φi的鄰域點(diǎn)為待求點(diǎn)的r鄰域內(nèi),且在同一個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)。如圖4,將以待求點(diǎn)為球心,r為半徑的區(qū)域內(nèi),與待求點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn),作為待求點(diǎn)的鄰域點(diǎn),以最終確定的鄰域點(diǎn)來計(jì)算所求點(diǎn)的法向量。

        圖4 最后鄰域點(diǎn)的確定

        4 平面分割

        本文中平面分割的主要算法為區(qū)域增長(zhǎng),主要步驟如下[9]:

        (1)生成分割結(jié)果列表L,種子點(diǎn)隊(duì)列S,當(dāng)前區(qū)域點(diǎn)列表Q;

        (2)計(jì)算所有點(diǎn)的法向量和曲率。點(diǎn)pi對(duì)應(yīng)的法向量、曲率分別為ni、ci;

        (3)選擇曲率最小且未聚類點(diǎn)作為種子點(diǎn),將其添加到種子點(diǎn)隊(duì)列S和當(dāng)前平面點(diǎn)列表Q中;

        ④若種子點(diǎn)隊(duì)列S為空時(shí),當(dāng)前平面提取完成,將當(dāng)前平面點(diǎn)列表Q保存到分割結(jié)果列表L中;重置Q。

        (5)最后的分割結(jié)果保存在列表L中。

        在將點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行平面分割后,同一個(gè)平面上的點(diǎn)云將被劃分到同一個(gè)聚類中。此時(shí),對(duì)其進(jìn)行平面擬合,計(jì)算出平面參數(shù)。做法是采用PCA算法計(jì)算得到平面的法向量,即平面參數(shù)a、b、c,將點(diǎn)集內(nèi)所有點(diǎn)求其中心,以其中心作為平面上點(diǎn),計(jì)算出平面參數(shù)d。

        5 實(shí)驗(yàn)與分析

        圖5 人字形屋頂面的區(qū)域增長(zhǎng)算法分割結(jié)果

        圖6 錐形屋頂面的區(qū)域增長(zhǎng)算法分割結(jié)果

        圖7 L形屋頂面的區(qū)域增長(zhǎng)算法分割結(jié)果

        圖5、圖6、圖7,為三組不同數(shù)據(jù),采用傳統(tǒng)的區(qū)域增長(zhǎng)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平面分割的結(jié)果,其中,angle為角度閾值,可以看出,在平面上無噪聲或者噪聲較少的情況下,區(qū)域增長(zhǎng)算法提取出來的平面內(nèi)部點(diǎn)較為連續(xù),不會(huì)出現(xiàn)空洞,但在邊緣處的點(diǎn)云無法很好地分割開。這是因?yàn)檫吘壧幍狞c(diǎn)云法向量計(jì)算困難,無法得到其正確的法向量,因此邊緣處的點(diǎn)云分割較為零碎,而本文中設(shè)定,當(dāng)點(diǎn)數(shù)少于閾值時(shí),不判別為一個(gè)平面,即一個(gè)平面上,必須有足夠多的點(diǎn),才能被識(shí)別出。本文設(shè)置閾值為20個(gè)點(diǎn)。同時(shí),區(qū)域增長(zhǎng)的參數(shù)不容易設(shè)置,對(duì)于不同形狀的點(diǎn)云需要不同的參數(shù),使得建筑物平面點(diǎn)云自動(dòng)化分割難以實(shí)現(xiàn),制約了建筑物自動(dòng)化三維重建的可能。

        圖8 錐形屋頂面的RANSAC算法分割結(jié)果

        圖9 L形屋頂面的RANSAC算法分割結(jié)果

        圖8、圖9,為兩組數(shù)據(jù),采用了RANSAC算法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行平面分割的結(jié)果,其中,T為閾值??梢钥闯觯琑ANSAC在參數(shù)合適的時(shí)候能夠較好地分割出平面。但是,RANSAC提取出的每個(gè)平面并不是等價(jià)的,第一個(gè)被提取出的平面總是會(huì)擁有更多的點(diǎn),這一點(diǎn)在圖8的T=1.0 m時(shí)表現(xiàn)比較明顯。此外,參數(shù)不合適時(shí),出現(xiàn)各種錯(cuò)誤情況,如T=0.1 m時(shí),平面中出現(xiàn)很多空洞,這是由于機(jī)載LiDAR掃描的點(diǎn)云在高程方向有一定的波動(dòng),但被RANSAC錯(cuò)誤地濾掉;在第一組T=1.5 m和第二組T=1.0 m時(shí),則出現(xiàn)全局最優(yōu),RANSAC只把全局內(nèi),分配到當(dāng)前平面點(diǎn)數(shù)最多的判別為平面。

        圖10本文算法結(jié)果與影像對(duì)比

        圖10為本文算法分割結(jié)果與實(shí)際影像對(duì)比,可以看出分割的結(jié)果較為準(zhǔn)確,在平面相交的邊緣處也沒有因?yàn)辄c(diǎn)云法向的不確定性而導(dǎo)致的錯(cuò)誤分割或者邊緣缺失的情況。

        而對(duì)于圖11類型的穹頂建筑,本文算法無法適應(yīng)。

        圖11 穹頂屋頂建筑

        6 結(jié) 語

        本文簡(jiǎn)單介紹了常用的平面分割算法,包括三維霍夫變換、RANSAC算法和區(qū)域增長(zhǎng)算法。三維霍夫變換需要將點(diǎn)云變換到屬性空間,計(jì)算量較大,一般較少使用;RANSAC算法需多次迭代,效率低下,在參數(shù)不合適的時(shí)候,也容易出現(xiàn)全局最優(yōu)而導(dǎo)致分割錯(cuò)誤,此外,若第一個(gè)提取的平面擁有更多的點(diǎn)也導(dǎo)致后續(xù)提取的平面質(zhì)量不斷下降;區(qū)域增長(zhǎng)算法對(duì)邊緣處的法向量計(jì)算比較困難,隨之出現(xiàn)的是邊緣處的點(diǎn)云無法很好地分割到平面上。

        本文采用PCA算法擬合局部平面的方法,并根據(jù)點(diǎn)到平面的距離設(shè)置權(quán)值,迭代多次后得到最準(zhǔn)確的平面及其所對(duì)應(yīng)的法向量,由于所選擇的鄰域一般較小,所迭代次數(shù)相對(duì)于RANSAC算法大大減少。但在屋頂面點(diǎn)云數(shù)量較少的情況下,噪聲點(diǎn)對(duì)屋頂面法向量計(jì)算影響變大,容易導(dǎo)致法向量計(jì)算出錯(cuò),從而使得分割結(jié)果錯(cuò)誤。計(jì)算出法向量后,再以區(qū)域增長(zhǎng)算法來對(duì)點(diǎn)云數(shù)據(jù)進(jìn)行分割,經(jīng)過實(shí)驗(yàn),其結(jié)果準(zhǔn)確,分割效果良好。根據(jù)本文算法進(jìn)行點(diǎn)云平面分割,其結(jié)果可應(yīng)用于建筑物的建模、點(diǎn)云分類等。本文算法主要針對(duì)平面點(diǎn)云的分割,對(duì)于平頂、坡頂甚至多平面復(fù)合型建筑物屋頂點(diǎn)云分割效果較好,但對(duì)于穹頂、曲面建筑物屋頂點(diǎn)云無法適用,筆者將繼續(xù)深入研究并加以改進(jìn)。

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