郭亞君

(山西工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院，山西 太原 030009)

0 引言

眾所周知，在實(shí)際系統(tǒng)中常存在時(shí)滯性和非線(xiàn)性等不確定因素。再加上負(fù)載的變化以及外部擾動(dòng)等不確定性的影響有可能對(duì)系統(tǒng)造成性能指標(biāo)下降甚至系統(tǒng)不穩(wěn)定的問(wèn)題。特別是在系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)均未知的情況下，其控制將更加困難。迭代學(xué)習(xí)控制[1-5]是人工智能技術(shù)應(yīng)用到控制領(lǐng)域的一種智能控制方法，它的優(yōu)勢(shì)在于其開(kāi)放式、分布式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以及學(xué)習(xí)算法不需要精確的模型建立和辨識(shí)系統(tǒng)的參數(shù)，尤其適用于處理模型具有不確定性、非線(xiàn)性、復(fù)雜的控制任務(wù)，通過(guò)學(xué)習(xí)和調(diào)整控制規(guī)律，就可達(dá)到系統(tǒng)穩(wěn)定和維持良好性能指標(biāo)的目的。因此在對(duì)含有時(shí)滯的非線(xiàn)性系統(tǒng)的研究上具有著重要的理論意義和應(yīng)用價(jià)值。

本文針對(duì)具有狀態(tài)時(shí)滯的非線(xiàn)性?huà)佄镄推罘窒到y(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)了開(kāi)環(huán)P型迭代學(xué)習(xí)控制律，給定適當(dāng)?shù)某踹呏禇l件及學(xué)習(xí)控制算法收斂的充分條件，對(duì)輸出跟蹤誤差的收斂性進(jìn)行了分析，并用仿真實(shí)例驗(yàn)證了算法的有效性。

1 系統(tǒng)建立

考慮如下具有狀態(tài)時(shí)滯的非線(xiàn)性偏差分系統(tǒng)

(1)式即為本文建立的具有狀態(tài)時(shí)滯的非線(xiàn)性偏差分系統(tǒng)(下文簡(jiǎn)稱(chēng)系統(tǒng))，其中i,j是空間和時(shí)間的離散變量,1≤i≤I，0≤j≤J，I,J為整數(shù)。a(j),h(j)是不確定的有界實(shí)數(shù)序列，且a(j)>0。q(j),u(j),y(j)∈R分別是系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)，控制輸入和控制輸出。τ≥0是延遲時(shí)間，設(shè)初始狀態(tài)函數(shù)φk(·)。當(dāng)j∈[-τ,0]時(shí)，qk(i,j)=φk(i,j)，f,g是非線(xiàn)性函數(shù)，并且滿(mǎn)足下面一直全局Lipschitz條件：

‖f(q1(i,j-τ),u1(i,j),j)-f(q2(i,j-τ),u2(i,j),j)‖
≤lf(q1(·,j-τ)-(q2(·,j-τ)‖+
‖u1(·,j)-u2(·,j)‖) .

(2)

‖g(q1(i,j),j)-g(q2(i,j,),j)‖≤
lg(‖q1(·,j)-q2(·,j)‖) .

(3)

其中，lf，lg為常數(shù)。

對(duì)(1)式中的差分形式定義如下：

對(duì)建立的系統(tǒng)考慮相應(yīng)的初邊值條件，即

q(0,j)=0=q(I+1,j) 1≤j≤J.

(5)

q(i,0)=φ(i,0) 1≤i≤I.

(6)

對(duì)所給出相應(yīng)的期望輸出yd(i,j)，需要求與之相對(duì)應(yīng)的理想輸入ud(i,j)，即

uk+1(i,j)=uk(i,j)+γ(j)ek(i,j) .

(7)

其中，k為迭代次數(shù)，γ(j)為學(xué)習(xí)增益。

注1：本文研究的偏差分系統(tǒng)，對(duì)比文獻(xiàn)[7],[8]，具有兩大顯著的特點(diǎn)：1)(1)式是非線(xiàn)性系統(tǒng)；2)(1)式具有狀態(tài)時(shí)滯，證明過(guò)程更為復(fù)雜，更具一般性。

2 收斂性分析

下面的引理將在算法收斂性分析中用到。

引理1[6]設(shè){v(i)}，{B(i)}，{D(i)}為實(shí)數(shù)序列，且i≥0，由

v(i+1)≤B(i)v(i)+D(i),i≥0 .

(8)

那么有：

(9)

下面的定理1給出了P型學(xué)習(xí)律算法下系統(tǒng)的收斂性充分條件。

定理1 若算法(7)式中學(xué)習(xí)增益γ(j)滿(mǎn)足|1-h(j)γ(j)|2<0.5，0≤j≤J，則當(dāng)?shù)螖?shù)k→∞時(shí)，(1)式的輸出誤差ek(i,j)在下面意義下收斂為零，即

(10)

證明：由算法(7)，可以得到第k+1次迭代使得輸出誤差

ek+1(i,j)=ek(i,j)+yk(i,j)-yk+1(i,j)=
[1-h(j)γ(j)]ek(i,j)-[g(qk+1(i,j),j)-
g(qk(i,j),j)] .

(11)

對(duì)(11)式兩邊同時(shí)平方并從i=1到I求和，利用Lipschitz條件和有界性得：

(12)

(13)

差分形式為：

(14)

對(duì)上式兩邊同時(shí)平方并同時(shí)從i=1到I求和，由(a+b+c)2≤3a2+3b2+3c2并運(yùn)用Lipschitz條件，得：

(15)

運(yùn)用邊界qk(0,j)=0=qk(I+1,j)，0≤j≤J，則(15)式中∑1為：

(16)

把(16)式代入(15)式得：

(17)

(18)

由式(7)算法可知：

(19)

(20)

對(duì)(20)式左右同乘λj(0<λ<1)，

(21)

.

(22)

(23)

把(23)式代入(21)式得：

(24)

由λ(0<λ<1)充分小，知0<1-M1λ<1，整理(24)式得：

(25)

先對(duì)(12)式并左右同乘λj(0<λ<1)，得：

(26)

把(26)式代入(25)式：

(27)

記ρ2=2λhγ+2lg，由定理1的條件知2λhγ<1，因此ρ2<1，則(27)式為：

(28)

(29)

那么，對(duì)有限的J由夾逼準(zhǔn)則可得：

(30)

定理1證明完畢。

3 仿真

以下的仿真實(shí)例將說(shuō)明本文所用算法的有效性。

設(shè)時(shí)滯非線(xiàn)性偏差分系統(tǒng)為：

并設(shè)系統(tǒng)的期望輸出為：

yd(i,j)=
0.5(sin(j-1))2(i-1)(I+1-i)(1-e-2.5(I+1-i)) .

(31)

下面的圖1～圖4為仿真結(jié)果：

圖1 期望輸出曲面

圖2 迭代35次后的輸出曲面

圖3 誤差曲面(k=35)

圖4 迭代-誤差最大值變化曲線(xiàn)

圖1是期望輸出曲面，圖2是相應(yīng)的迭代35次后的輸出曲面，圖3是迭代35次的輸入誤差跟蹤曲面，從圖中可以看出隨著迭代次數(shù)的增加，輸出跟蹤誤差的收斂性越來(lái)越好，迭代35次后的誤差收斂到4.076 3×10-6，圖4是誤差最大值收斂軌跡。從圖4可以看出，在迭代接近15次時(shí)，輸出對(duì)期望軌跡已經(jīng)基本實(shí)現(xiàn)了精確的跟蹤，因此仿真結(jié)果驗(yàn)證了算法對(duì)本文系統(tǒng)的可適用性。

4 結(jié)論

本文研究了一類(lèi)具有狀態(tài)時(shí)滯的非線(xiàn)性?huà)佄镄推罘窒到y(tǒng)的迭代學(xué)習(xí)控制問(wèn)題。采用P型算法進(jìn)行迭代學(xué)習(xí)控制設(shè)計(jì)，在滿(mǎn)足給定假設(shè)條件下，保證了系統(tǒng)的控制品質(zhì)不受時(shí)滯的影響而變差,證明了輸出誤差沿迭代方向收斂，并用仿真實(shí)例驗(yàn)證了其有效性。在今后的工作中，除了進(jìn)一步發(fā)展和完善已有的成果和方向外，還可進(jìn)一步在具有控制時(shí)滯和多狀態(tài)時(shí)滯等問(wèn)題上進(jìn)行探索研究。

[1] Uchiyama M. Formation of High-speed Motion Pattern of Mechanical Arm by Trial[J].Transactions of the Society of Instrumentation and Control Engineers,1978,19:706-712.

[2] Arimoto S，Kawamura S,Miyazaki F. Bettering Operation of Robots by Learning [J]. Journal of Robotic System, 1984，1(2):123-140.

[3] 謝勝利,田森平,謝振東.迭代學(xué)習(xí)控制的理論與應(yīng)用[M].北京:科學(xué)出版社, 2005.

[4] 孫明軒,黃寶鍵.迭代學(xué)習(xí)控制[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,1999.

[5] 林輝,王林.迭代學(xué)習(xí)控制理論[M].西安:西北工業(yè)大學(xué)出版社,1998.

[6] Xie Shengli，Cheng SS. Stability Creteria for Parabolic Type Partial Difference Equations[J]. Jouranl of Computational and Applied Mathematics, 1996，75(1):57-66.

[7] DAI Xisheng，TIAN Senping,GUO Yajun. Iterative Learning Control for Discrete Parabolic Distributed Parameter Systems[J].International Journal of Automation and Computing,2015,12(3):316-322.

[8] 戴喜生,郭亞君,田森平，等.非線(xiàn)性?huà)佄镄推罘窒到y(tǒng)迭代學(xué)習(xí)控制[J].控制理論與應(yīng)用，2015, 32(12):1607-1612.