陳 恩

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 重慶 401331)

1 背景

考慮如下的無約束最優(yōu)化問題：

minf(x),x∈Rn

(1)

其中要求目標(biāo)函數(shù)f是連續(xù)可微的，它的梯度函數(shù)gx是可獲得的。

共軛梯度法是解決上面無約束優(yōu)化問題的最有效方法之一，它的一般迭代格式如下：

xk+1=xk+αkdk

(2)

(3)

其中：αk是通過計(jì)算某種線搜索獲得的步長(zhǎng)；gk=▽f(xk)；βk是共軛梯度法中的一個(gè)參數(shù)。著名的共軛梯度法有HS方法[1]、FR方法[2]、PRP方法[3-4]、CD方法[5]、LS方法[6]以及DY方法[7]，它們的參數(shù)βk分別如下：

其中：||·||為歐幾里得范數(shù)；yk-1=gk-gk-1。

另外，比較常見的線搜索有標(biāo)準(zhǔn)Wolfe線搜索，它要求步長(zhǎng)αk滿足：

(4)

(5)

其中0<δ<σ<1。

共軛梯度算法要求搜索方向滿足下降性條件：

?k≥0

(6)

或者滿足充分下降性條件：

?k≥0,c>0

(7)

2006年，Wei等在文獻(xiàn)[8]中對(duì)經(jīng)典的PRP方法進(jìn)行了修正，提出了如下的參數(shù)公式，并證明了該方法在標(biāo)準(zhǔn)Wolfe線搜索條件下對(duì)一般函數(shù)的全局收斂性：

(8)

2007年，Yao等受文獻(xiàn)[8]的啟發(fā),在文獻(xiàn)[9]中提出了如下兩種修正的HS和LS方法：

(9)

2009年，Zhang在文獻(xiàn)[10]中進(jìn)一步修正上面的參數(shù)公式為：

(10)

2010年，Wei等在文獻(xiàn)[11]提出了一個(gè)新的參數(shù)公式：

(11)

2011年，江等在文獻(xiàn)[12]中進(jìn)一步修正上面的參數(shù)，提出了如下參數(shù)公式：

(12)

2 方法的提出

(13)

(14)

3 收斂性分析

為了獲得由式(2)(3)(14)組成的共軛梯度方法的全局收斂性，本文作如下兩個(gè)基本假設(shè)：

1) 水平集Ω={x∈Rn:f(x)

2) 目標(biāo)函數(shù)f在水平集Ω的某個(gè)領(lǐng)域N上是連續(xù)可微的，并且梯度函數(shù)g滿足Lipschitz連續(xù)，即存在一個(gè)常數(shù)L>0使得

(15)

(16)

證明完畢。

現(xiàn)給出著名的Zoutendijk條件：

引理2 若假設(shè)1)、2)成立，考慮迭代公式為(2)(3)的共軛梯度方法。當(dāng)方向dk為下降方向，步長(zhǎng)αk滿足標(biāo)準(zhǔn)Wolfe線搜索的條件時(shí)，有

(17)

證明過程見文獻(xiàn)[7]的引理3.2。

(18)

因?yàn)閐k=-gk+βkdk-1，有：dk+gk=βkdk-1。兩邊同時(shí)平方后有：

(19)

(20)

所以有：

(21)

式(21)與Zoutendijk條件的式(17)矛盾，于是定理得證。

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