王東云， 李繼朋， 王璦琿， 胡寧寧， 陳賽男

(1.黃淮學(xué)院， 河南 駐馬店 463000；2.中原工學(xué)院 電子信息學(xué)院， 河南 鄭州 450007)

自20世紀(jì)60年代第一臺(tái)真正意義的工業(yè)串聯(lián)機(jī)器人誕生以來(lái)，機(jī)器人的控制問(wèn)題一直是機(jī)器人研究領(lǐng)域的重點(diǎn)問(wèn)題。隨著電子信息技術(shù)的發(fā)展和現(xiàn)代控制理論研究的不斷深入，各種各樣的機(jī)器人控制方法不斷涌現(xiàn)。串聯(lián)機(jī)器人是一個(gè)高度復(fù)雜的機(jī)電一體化系統(tǒng)，其動(dòng)力學(xué)模型是一個(gè)多輸入、多輸出、強(qiáng)耦合且擁有許多不確定性的非線性微分方程，機(jī)器人的控制問(wèn)題相當(dāng)復(fù)雜[1]?，F(xiàn)代化的工業(yè)生產(chǎn)過(guò)程要求機(jī)械臂具有良好的定位精度和快速的軌跡跟蹤能力，因此產(chǎn)生了許多基于動(dòng)力學(xué)模型的動(dòng)態(tài)控制方案[1-2]?；趧?dòng)力學(xué)模型的動(dòng)態(tài)控制方案包括自適應(yīng)控制、魯棒控制、變結(jié)構(gòu)控制等現(xiàn)代控制方法，同時(shí)也有模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制等智能控制方法。這些控制方法解決了一些系統(tǒng)本身的非線性、耦合性、外部干擾以及其他不確定性問(wèn)題，提高了系統(tǒng)的魯棒性和控制精度[3-4]。然而，基于機(jī)械臂動(dòng)力學(xué)模型的動(dòng)態(tài)控制方案需要進(jìn)行大量的動(dòng)力學(xué)實(shí)時(shí)在線計(jì)算，且機(jī)械臂本身又是一個(gè)高度復(fù)雜的多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，需要較大的在線計(jì)算量，給機(jī)械臂的動(dòng)態(tài)實(shí)時(shí)控制帶來(lái)了困難[5]。在目前實(shí)際投入使用的工業(yè)串聯(lián)機(jī)器人中，為簡(jiǎn)化控制難度同時(shí)能夠勝任特定的工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)，多數(shù)采用獨(dú)立的PD(Proportion Differentiation)或變形的仿PD(PD-like)位置跟蹤控制方案[5]。

串聯(lián)機(jī)器人位置控制的目的在于，末端操作工具無(wú)論從何種起始位置出發(fā)均能實(shí)現(xiàn)對(duì)期望軌跡的跟蹤控制。如果期望軌跡是一個(gè)點(diǎn)，則屬于定點(diǎn)控制；如果期望軌跡是一條連續(xù)變化的曲線，則屬于連續(xù)軌跡的跟蹤控制。本文設(shè)計(jì)了一種PD-like位置跟蹤控制器，在傳統(tǒng)PD控制器的基礎(chǔ)上引入S型曲線函數(shù)，不但提高關(guān)節(jié)角位移的收斂速度，且使關(guān)節(jié)初始力矩有一定程度的降低；并基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，以關(guān)于誤差的二次型函數(shù)作為系統(tǒng)的能量函數(shù)，在考慮各關(guān)節(jié)耦合性及非線性的情況下，保證串聯(lián)機(jī)器人控制系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性，使得關(guān)節(jié)角位移具有良好的跟蹤性能[6-8]。

1 動(dòng)力學(xué)模型的建立

工業(yè)串聯(lián)機(jī)器人(見(jiàn)圖1)的平面兩連桿機(jī)械臂模型如圖2所示。該兩連桿串聯(lián)機(jī)械臂封閉形式的動(dòng)力學(xué)模型為：

(1)

忽略重力、摩擦力及不確定性因素的影響，式(1)可改寫(xiě)為：

(2)

圖1 工業(yè)串聯(lián)機(jī)器人

圖2 平面兩連桿機(jī)械臂模型 (注：參數(shù)θ1和θ2分別為連桿1和連桿2的關(guān)節(jié)角度；m1和m2分別為兩個(gè)連桿的質(zhì)量；l1和l2分別為兩個(gè)連桿的長(zhǎng)度；d1和d2分別為兩個(gè)連桿的重心距各自關(guān)節(jié)的長(zhǎng)度。)

(3)

(4)

則：

(5)

2 控制器設(shè)計(jì)

忽略機(jī)械臂所受重力和其他干擾因素作用后，兩連桿機(jī)器人的動(dòng)力學(xué)方程可用式(2)描述。仿PD控制時(shí)，設(shè)計(jì)控制律為：

(6)

式中：e=θd-θ為跟蹤誤差，θd為參考軌跡；Sp和Sd均為S型函數(shù)矩陣，且

式中：t為仿真時(shí)間；k1和k2均為函數(shù)增益；α1、α2和β1、β2均為指數(shù)函數(shù)的衰減因子；a1、a2均為指數(shù)函數(shù)的前系數(shù)。

采用定點(diǎn)控制時(shí)，θd取常值，有：

(7)

即

(8)

取李雅普諾夫函數(shù)為：

(9)

(10)

(11)

(12)

所以：

(13)

3 系統(tǒng)仿真與分析

以式(2)兩連桿機(jī)械臂簡(jiǎn)化模型為控制對(duì)象，不考慮機(jī)械臂所受的重力、摩擦力和干擾，對(duì)式(6)控制律進(jìn)行仿真。根據(jù)圖2各參數(shù)標(biāo)注，被控對(duì)象的物理結(jié)構(gòu)參數(shù)為：m1=0.6 kg，m2=0.6 kg，l1=1.2 m，l2=0.8 m，d1=0.6 m，d2=0.4 m。

對(duì)整個(gè)閉環(huán)控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真。在仿真輸出結(jié)果中：圖3為關(guān)節(jié)角位移跟蹤曲線；圖4為仿PD控制器的輸出，即關(guān)節(jié)力矩曲線；圖5為關(guān)節(jié)角速度曲線；圖6為關(guān)節(jié)角位移誤差曲線。根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性理論，將控制器參數(shù)調(diào)節(jié)為正，可保證控制系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定，關(guān)節(jié)角位移能夠收斂到期望位置，實(shí)現(xiàn)關(guān)節(jié)位置的定點(diǎn)跟蹤控制。

圖3 關(guān)節(jié)角位移跟蹤曲線

圖4 關(guān)節(jié)力矩曲線

圖5 關(guān)節(jié)角速度曲線

圖6 關(guān)節(jié)角位移誤差曲線

從圖3和圖6可以看出，關(guān)節(jié)角位移在0.5 s之內(nèi)即可實(shí)現(xiàn)收斂，使得位置跟蹤誤差快速衰減到0，這與S型曲線函數(shù)有關(guān)；由于兩連桿的耦合作用，關(guān)節(jié)1比關(guān)節(jié)2的運(yùn)動(dòng)速度平緩，但無(wú)論兩關(guān)節(jié)從何種起始位置出發(fā)，關(guān)節(jié)速度最終均能收斂到0。從圖4可以看出，兩關(guān)節(jié)的初始力矩均不大，初始時(shí)刻之后，關(guān)節(jié)力矩迅速降低，直至完成動(dòng)態(tài)跟蹤過(guò)程，關(guān)節(jié)力矩輸出為0。

4 結(jié) 語(yǔ)

仿真結(jié)果表明，使用仿PD控制器對(duì)機(jī)械臂進(jìn)行控制，可以得到較好的控制結(jié)果。相較于傳統(tǒng)獨(dú)立的PD控制，關(guān)節(jié)角位移的跟蹤速度有所提高，而且關(guān)節(jié)初始力矩有一定程度的降低。按照李雅普諾夫穩(wěn)定性理論進(jìn)行調(diào)節(jié)，在保證系統(tǒng)穩(wěn)定且初始力矩不太大的情況下，機(jī)械臂各關(guān)節(jié)角位移能夠快速收斂到期望位置，進(jìn)而使機(jī)械臂末端操作達(dá)到定點(diǎn)。

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(責(zé)任編輯:王長(zhǎng)通)