姬鵬杰，杜坤，馮燕，周明，杜雨

(1.昆明理工大學(xué) 建筑工程學(xué)院，昆明 650500；2.中建二局第三建筑工程有限公司，武漢430022)

近年來，中國城鎮(zhèn)內(nèi)澇災(zāi)害頻發(fā)，極大危害了人們的生命財產(chǎn)安全[1]。在開展雨水管網(wǎng)設(shè)計、調(diào)蓄工程規(guī)劃時，許多城鎮(zhèn)目前仍采用1987版《室外排水設(shè)計規(guī)范》規(guī)定的暴雨強度公式。隨著城市化進程加速及全球氣候持續(xù)變暖，各地區(qū)降雨特性發(fā)生了較大變化，1987版規(guī)范的公式存在推源數(shù)據(jù)過舊、無法合理反映降雨特征的問題，因此，有必要對暴雨強度公式進行修編。暴雨頻率曲線擬合是推求暴雨強度公式必不可少的步驟，其通過假定降雨強度與頻率服從某一理論函數(shù)分布，采用實測數(shù)據(jù)對函數(shù)中的參數(shù)進行擬合，進而實現(xiàn)降雨強度與降雨頻率關(guān)系外延計算，并消除測量誤差影響、防止參數(shù)過擬合。

常用的暴雨頻率曲線包括皮爾遜III型分布曲線(P-III型曲線)、耿貝爾和指數(shù)分布曲線。耿貝爾和指數(shù)分布曲線是P-III型曲線在Cs=1.14和Cs=2時的特例，計算相對簡單，但擬合精度不高；P-III型頻率曲線擬合精度高，但計算復(fù)雜。針對P-III型曲線離均系數(shù)計算速度慢、精度低的問題，Che[2]應(yīng)用Excel軟件簡化計算，王正發(fā)[3]指出Excel計算時存在數(shù)字發(fā)散區(qū)，提出應(yīng)用Matlab軟件計算離均系數(shù)。針對暴雨頻率曲線擬合，Balin[4]通過標準化降水指數(shù)模型提高計算效率，崔俊蕊等[5]利用水文頻率分析軟件簡化試線過程，Mandal等[6]引入馬爾可夫鏈模型進行擬合，Wu等[7]引入置信區(qū)間法提高擬合精度。上述研究在提高計算效率及擬合精度兩個方面取得了一定成果，但高琳等[8]的最新研究指出，目前,大多數(shù)研究都忽視了實踐工程經(jīng)驗因素，將暴雨頻率曲線擬合作為單純的參數(shù)求解問題。高琳等[8]還提出，對于暴雨強度頻率曲線擬合，并非誤差越小越好，而應(yīng)更多地照顧工程實際要求重現(xiàn)期段下的樣本，這樣得到的暴雨強度公式更加符合實際工程需求。值得注意的是，高琳等雖然給出了參數(shù)擬合準則，但未提出相應(yīng)算法，其通過反復(fù)適線擬合參數(shù)，導(dǎo)致了巨大計算工作量。在考慮經(jīng)驗因素的情況下，如何高效實現(xiàn)暴雨頻率曲線參數(shù)擬合是值得研究的問題。

1 基于最優(yōu)化的暴雨頻率曲線參數(shù)擬合框架

選擇P-III型曲線作為理論暴雨頻率曲線，其密度函數(shù)為

(1)

(2)

(3)

f(κk+Δκk,Τp)=[Xp-h(κk+Δκk,Τp)]T·

W[Xp-h(κk+Δκk,Τp)]

(4)

式(4)的一階線性展開式為

(5)

由于理論暴雨強度計算涉及伽瑪函數(shù)和不完全伽瑪函數(shù)運算，使得雅克比矩陣解析式推導(dǎo)非常復(fù)雜。采用有限差分法計算雅克比矩陣，如式(6)所示。

(6)

(7)

根據(jù)式(7)可得

(8)

為改進迭代收斂性，在海塞矩陣的對角添加阻尼系數(shù)矩陣Γ[12]，可得

Δκk=[J(κk,Τp)TWJ(κk,Τp)+Γ]-1·

(9)

在參數(shù)擬合過程中，可設(shè)置阻尼系數(shù)Γ的取值隨迭代次數(shù)的增加而減小，擬合框架如圖1所示。

圖1 暴雨頻率曲線參數(shù)擬合框架圖Fig. 1 Frame diagram of parameters fitting for frequency curve of rainstor

2 算例分析

算例分析旨在利用實際降雨數(shù)據(jù)闡明：1)調(diào)節(jié)權(quán)重系數(shù)提高工程常用段擬合精度；2)調(diào)節(jié)權(quán)重系數(shù)避免暴雨頻率曲線相交；3)添加阻尼系數(shù)改進迭代收斂性。值得說明的是，該工程是短歷時排水系統(tǒng)，但所提出方法同樣適用于長歷時排澇系統(tǒng)的暴雨頻率曲線擬合。

2.1 調(diào)節(jié)權(quán)重系數(shù)提高工程常用段擬合精度

通過收集云南省保山市隆陽區(qū)1981—2013年33 a間實測降雨數(shù)據(jù)，整理出5、10、15、20、30、45、60、90、120、150、180 min共11個降雨歷時下的暴雨強度。對擬合結(jié)果進行分析發(fā)現(xiàn)，不同暴雨強度的擬合精度不同，降雨歷時越小，擬合精度越低。例如，5、10 min的擬合精度遠低于150、180 min擬合精度，其原因是降雨歷時越小，暴雨強度離均系數(shù)越大，尤其對最大值與最小值，往往偏離擬合曲線較遠，如圖2所示。以圖2中5 min降雨歷時下暴雨強度為例，闡明通過調(diào)節(jié)權(quán)重系數(shù)，提高工程常用重現(xiàn)期段擬合精度。

圖2 調(diào)節(jié)權(quán)重系數(shù)提高工程常用段擬合精度示意圖Fig. 2 Adjusting weight coefficient to improve the fitting precision of common section of Engineerin

表1 調(diào)整權(quán)重系數(shù)時殘差變化情況Table 1 Change of residual difference when adjusting weight coefficient

如表1所示，隨著其他段權(quán)重系數(shù)減小，整體殘差增大，工程常用段殘差減??；對應(yīng)于圖2，曲線逐步向下偏移，使得適線結(jié)果與工程常用段樣本點更貼近。由此可見，通過改變權(quán)重系數(shù)能對適線結(jié)果進行微調(diào)，有效提高工程常用重現(xiàn)期段擬合精度。但值得說明的是，提高工程常用段擬合精度時，整體精度會不可避免的下降，且不同案例的精度變化不同。如果要定量給出精度取值或取值范圍，需要收集多個城市降雨數(shù)據(jù)進行綜合分析，工作量巨大。鑒于筆者的目的在于證明所提出的算法能高效調(diào)整二者精度，故不對上述問題進行深入分析。

2.2 調(diào)節(jié)權(quán)重系數(shù)避免理論頻率曲線相交

圖3 不同歷時下理論頻率曲線相交Fig. 3 Intersecting theoretical frequency curves at different diachronic times

圖4 調(diào)節(jié)權(quán)重系數(shù)使頻率曲線不相交Fig. 4 Adjusting the weight coefficient to disjoint the frequency curv

2.3 添加阻尼系數(shù)改進迭代收斂

圖5 普通高斯牛頓迭代法收斂情況Fig. 5 Convergence of ordinary Gauss Newton

在海塞矩陣對角添加阻尼系數(shù)，如式(9)所示，阻尼系數(shù)初值取1，分別采用一次方衰減(1/k)及二次方衰減(1/k2)進行算法測試，其中,k為迭代次數(shù)[15]。

如圖6所示，當阻尼系數(shù)一次方衰減時，迭代49次達到收斂精度要求(ε<10-4)；當阻尼系數(shù)二次方衰減時，迭代33次達到收斂精度要求。雖然二次方衰減法能更快的達到收斂精度，但當初值偏離真值較遠時，不能保證迭代收斂[16]。建議先采用二次方衰減法進行初算，若迭代不收斂，則采用一次方或更低衰減方式，可加大阻尼系數(shù)初值進一步改進迭代收斂性。

圖6 添加阻尼系數(shù)改進迭代收斂Fig.6 Adding damping coefficient to improve iterative convergenc

2.4 基于差分進化算法的優(yōu)化精度檢驗

表2二種算法優(yōu)化結(jié)果及目標函數(shù)殘差
Table2Theoptimizationresultsoftwoalgorithmsandthedifferenceoftheresidualnumberoftheobjectivefunction

算法均值mCvCs目標函數(shù)殘差A(yù)B1.6958820.2848012.8495360.0882621.6957580.2848342.8494380.0882621.6959360.2848162.8480230.0882621.6958510.2846972.8462250.0882621.6958550.2848002.8474490.0882621.6958340.2848192.850060.0882621.6958680.2847692.8477930.0882621.6958650.2847622.8482600.0882621.6958680.2847582.8473010.0882621.6959480.2847632.8486090.0882621.6958060.2848412.8480030.088262

3 結(jié)論

研究了考慮經(jīng)驗因素時的暴雨頻率曲線擬合算法，以云南省保山市隆陽區(qū)33 a實測降雨資料為例論證了算法的可行性，得到如下結(jié)論：

3)通過調(diào)節(jié)權(quán)重系數(shù)能方便對適線結(jié)果進行微調(diào)，避免不同歷時暴雨頻率曲線相交的問題，并提高工程常用重現(xiàn)期段擬合精度，但如何平衡工程常用段與整體精度需要進一步研究。

5)采用差分進化算法搜索全局最優(yōu)解，驗證了所提出的加權(quán)阻尼高斯牛頓算法同樣能獲得全局最優(yōu)解。文中所有涉及運算都進行了編程，程序運算時間小于10 s，使繁復(fù)的適線工作能在5～10 min完成。

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