王思儉

很多同學(xué)對(duì)解析幾何有畏難情緒，怕運(yùn)算的現(xiàn)象由來(lái)已久，小題、基本題不愿意做，而綜合題又做不出來(lái)，特別在考試時(shí)面對(duì)靈活性或綜合性的圓錐曲線試題，多數(shù)采取放棄的態(tài)度。究其原因，相當(dāng)一部分同學(xué)對(duì)圓錐曲線的相關(guān)性質(zhì)理解不深、記憶不牢、運(yùn)用不靈，導(dǎo)致內(nèi)心崩潰，形成惡性循環(huán)，久而久之，深感數(shù)學(xué)總是那么難、那么枯燥無(wú)味，從而失去信心和勇氣，更沒(méi)有頑強(qiáng)拼搏的精神。鑒于此，筆者邀請(qǐng)幾位同學(xué)就《合情推理與證明》中有關(guān)圓錐曲線相關(guān)性質(zhì)的類比問(wèn)題進(jìn)行交流，旨在激發(fā)同學(xué)們的學(xué)習(xí)興趣，喚起學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，同時(shí)也引導(dǎo)大家關(guān)注課本、理解課本、用好課本。

生乙：要去掉B，C兩點(diǎn)。

眾生：Why？

生乙：因?yàn)槿切稳齻€(gè)頂點(diǎn)不共線，因此點(diǎn)A不在直線BC上。

教師：很好！生乙的思維是很嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?。求軌跡方程，一定要注意檢驗(yàn)，一點(diǎn)不能多，一點(diǎn)也不能少，這就是軌跡的純粹性和完備性。

生甲：如果要求的軌跡是雙曲線，怎樣變換題目條件呢？

教師：你問(wèn)的很好！你們想一想：動(dòng)點(diǎn)A的軌跡形狀是由什么因素控制的？

生乙：應(yīng)該是由斜率之積為常數(shù)所控制的，可以大膽猜想，當(dāng)常數(shù)改為4/9時(shí)，軌跡方程就不是橢圓了，過(guò)程為：

教師：很好！你們解題之后一定要進(jìn)行反思與回顧，生甲的質(zhì)疑很及時(shí)，引起大家進(jìn)一步思考，這樣生乙又有發(fā)表自己見(jiàn)解的機(jī)會(huì)，我們也學(xué)到了更多的知識(shí)，

生丙：根據(jù)上述問(wèn)題，可以歸納推廣為：

教師：猜想很好！有推理過(guò)程嗎？

當(dāng)λA

當(dāng)λ>O時(shí)，表示以A，B為實(shí)軸端點(diǎn)的雙曲線（去掉A，B兩點(diǎn)）。

生乙：不嚴(yán)謹(jǐn)，當(dāng)λ=-l時(shí)，表示以A，B為直徑端點(diǎn)的圓（去掉A，B兩點(diǎn)）。最好還要討論當(dāng)-1<λ

教師：生乙補(bǔ)充得很好！細(xì)致到位，這種嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的習(xí)慣應(yīng)該堅(jiān)持下去，同學(xué)們對(duì)這個(gè)問(wèn)題還有什么想法嗎？

生丁：我想研究橢圓中逆命題，看看是否成立？

教師：你的逆命題是什么？你能證明嗎？

教師：正確！大家還有沒(méi)有新的想法？

生戊：由于A，B兩點(diǎn)是橢圓長(zhǎng)軸端點(diǎn)，我提出新的猜想：A，B兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，斜率之積為定值。

教師：就請(qǐng)你將此猜想寫(xiě)出來(lái)，并給出證明。

教師：正確！生戊利用點(diǎn)差法證明了一般的結(jié)論，你們還有什么想法？

證明方法如同生成的方法。

生庚：還可以推廣到一般的有心二次曲線，一般地：

若已知P1，P2是橢圓AX2+By2=l（A，B為不能同時(shí)為負(fù)數(shù)的常數(shù)且AB≠0）上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)P是該橢圓上異于P1，P2的任意一點(diǎn)，則直線PP1和直線PP2的斜率之積為定值，即kpp1kpp2=-A/B。

證明方法如同生戊的方法。

教師：很好！生戊提出橢圓中的一般問(wèn)題，而生己類比出雙曲線中的問(wèn)題，生庚又給出了更一般的問(wèn)題。這種質(zhì)疑就是有效的學(xué)習(xí)，實(shí)現(xiàn)了“由薄到厚”量的增加，再“由厚到薄”質(zhì)的飛躍，從而提高了自己的數(shù)學(xué)理解能力。

生甲：求解圓錐曲線綜合題時(shí)可以直接用這些結(jié)論嗎？

教師：這僅僅為你們提供了研究問(wèn)題的思路，在具體解題時(shí)先證后用，就不會(huì)失分了。現(xiàn)在看一道例題：

已知橢圓x2/4+y2/2=l，過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B。求證：PA⊥PB。

生乙：這題我證明過(guò)的，我是利用直線與橢圓方程聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再證明PA，PB的斜率之積為-l，從而得到結(jié)論。運(yùn)算量很大，算到不想算的地步，但最后我還是堅(jiān)持證明出來(lái)了。

生丙：我也是先求出交點(diǎn)，再利用向量法證明的，運(yùn)算量確實(shí)很大！

生甲：我求出交點(diǎn)P，A的坐標(biāo)后，再寫(xiě)直線AB的方程，太煩瑣了，于是就放棄了。

生?。何沂抢迷O(shè)而不求與點(diǎn)差法，找出直線AB與直線PB斜率的關(guān)系式，再通過(guò)直線AC與直線AP的斜率的關(guān)系式，消去相關(guān)量，證明了kpB·kpA=-1。

教師：你們幾位都講出了自己的解題策略，也展現(xiàn)了自己的思維過(guò)程，這一點(diǎn)很好！你們有沒(méi)有發(fā)現(xiàn)生丁的證明過(guò)程中蘊(yùn)含我們共同探討的結(jié)論？

教師：你抓到問(wèn)題了的實(shí)質(zhì)，從而使得解題過(guò)程更加簡(jiǎn)潔明了。因此同學(xué)們要學(xué)會(huì)先分析問(wèn)題，再擬定解決問(wèn)題的方案和解決問(wèn)題的具體策略。

生己：我們要不要研究它的逆命題是否成立？

教師：你的想法很好！結(jié)論與哪一個(gè)條件交換呢？

生己：要想利用上述性質(zhì)，必須有PA關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此，將“PC⊥x軸”與“PB⊥PA”交換可能會(huì)成功的。

教師：很好！請(qǐng)你寫(xiě)出逆命題，并給出證明。

教師：很好！證明過(guò)程簡(jiǎn)潔明了，推理嚴(yán)謹(jǐn)！

生乙：可以探究上述結(jié)論是否對(duì)所有橢圓都成立。

生庚：不是所有橢圓都成立，例如已知橢圓x2/9十y2/6=l，過(guò)原點(diǎn)的直線交橢同于P，A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC并延長(zhǎng)，交橢圓于點(diǎn)B.但PA與PB不垂直，看來(lái)不能。

教師：由于B點(diǎn)是由C點(diǎn)產(chǎn)生的，因此你們應(yīng)該探究點(diǎn)C在何處時(shí)，才能使FA⊥PB，于是應(yīng)該在線段PO上找一點(diǎn)Q，過(guò)Q點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為C，你們?cè)囈辉嚒?/p>

生庚：我猜想Q點(diǎn)是線段OP的中點(diǎn)，證明如下：

眾生：你是怎么猜出來(lái)的？

教師：生庚的探究方法是分析法，這是推理與證明的重要方法，許多問(wèn)題都是先用分析法探索思路，再用綜合法書(shū)寫(xiě)具體解題過(guò)程。這樣就得到命題：

生丙：對(duì)于橢圓x2/α2十y2/b2=l （α>b>O）滿足什么條件？過(guò)原點(diǎn)的直線交橢網(wǎng)于P，A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P作x軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B，有PA⊥PB。

教師：你提出的問(wèn)題很好！你會(huì)探究嗎？

生辛：根據(jù)生庚的思路，我探究出一般的結(jié)論：

眾生：太厲害了！

教師：很好！解題時(shí)往往要先猜后證。

生?。呵耙欢螘r(shí)間我做過(guò)一道題：

已知橢圓x2/4十y2=l，過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于P，A兩點(diǎn)，其中P在第一象限，過(guò)P點(diǎn)作x，軸的垂線，垂足為C，連結(jié)AC，并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)B.求證：P點(diǎn)恒在以AB為直徑的圓內(nèi)。

按照前面幾位同學(xué)的討論思路是否也可以推廣到一般情況？

教師：你可以大膽嘗試！

下面該怎么辦了？不會(huì)做了，請(qǐng)求援助！

教師：生戊的結(jié)論更具有一般性，上述的幾道題都是它的特例，對(duì)于不同的橢圓，點(diǎn)Q的位置各不相同，同時(shí)也揭示了由各動(dòng)點(diǎn)之間的相互制約關(guān)系，于是為命題者提供了可靠的依據(jù)，所以同學(xué)們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)中，要勇于質(zhì)疑，不斷提出新的問(wèn)題，探究出新結(jié)論，在探索的過(guò)程中要大膽猜想，小心證明，從而訓(xùn)練自己的思維能力。