朱建新，羅南安，周烜亦，高 靜

(1.中南大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410083；2.湖南山河智能機(jī)械股份有限公司 技術(shù)中心，湖南 長(zhǎng)沙 410100)

0 引 言

在交通道路工程中，隧道開(kāi)鑿是一項(xiàng)重要內(nèi)容。目前我國(guó)的隧道施工方法以鉆爆法為主，鑿巖機(jī)器人以其準(zhǔn)確的定位鉆孔功能，良好的操控性，較好的成洞質(zhì)量等優(yōu)點(diǎn)成為隧道施工的主要機(jī)械設(shè)備。

鉆臂是鑿巖機(jī)器人的主要工作機(jī)構(gòu)，采用雙三角架式定位結(jié)構(gòu)，它的主要特點(diǎn)就是可以在空間中平行移動(dòng)，動(dòng)作迅速，結(jié)構(gòu)緊湊，平穩(wěn)性比較好，但是不容易控制，是一個(gè)多輸入多輸出并且有耦合的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)[1]。而定位精度是影響鉆臂作業(yè)的重要因素，因此對(duì)三角鉆臂的運(yùn)動(dòng)研究是非常必要的。

而控制三角鉆臂移動(dòng)又是通過(guò)由液壓驅(qū)動(dòng)的兩支臂缸伸縮組合實(shí)現(xiàn)的。因此推出支臂缸伸長(zhǎng)量與大臂運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)角和俯仰角的數(shù)學(xué)模型是三角鉆臂運(yùn)動(dòng)研究的關(guān)鍵。文獻(xiàn)[2]建立了鑿巖機(jī)器人從大臂到鉆桿6個(gè)旋轉(zhuǎn)關(guān)節(jié)、3個(gè)移動(dòng)關(guān)節(jié)的運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，但對(duì)三角鉆臂的驅(qū)動(dòng)及運(yùn)動(dòng)沒(méi)有進(jìn)行研究;文獻(xiàn)[3]研究了驅(qū)動(dòng)支臂油缸長(zhǎng)度與機(jī)械鉆臂的空間位置之間的耦合關(guān)系，借助空間幾何的方法，利用直角、球面和平行坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，得到了近似代數(shù)式，實(shí)現(xiàn)了鉆臂的運(yùn)動(dòng)控制，但由于將十字鉸視為球鉸，結(jié)果是近似的，難于實(shí)現(xiàn)精確控制；文獻(xiàn)[4]建立了三角鉆臂的桿件坐標(biāo)系，利用多關(guān)節(jié)閉鏈的約束條件建立了運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，得到了由給定鉆臂位置計(jì)算油缸長(zhǎng)度的比較精確算式.在增加油缸俯仰角的測(cè)量點(diǎn)后，得到缸長(zhǎng)的簡(jiǎn)化算式，提高臂軌跡控制的精確度.但忽略了支臂液壓缸伸出桿與鉆臂連接點(diǎn)間的長(zhǎng)度，將其視為一點(diǎn)，簡(jiǎn)化了理論模型，所以結(jié)果依然是近似的；文獻(xiàn)[5]分別以幾何法和坐標(biāo)變換法計(jì)算鑿巖機(jī)器人鉆臂的油缸長(zhǎng)度，并與實(shí)際拉線傳感器測(cè)得油缸伸縮長(zhǎng)度進(jìn)行比較，得出了坐標(biāo)變化法計(jì)算值和實(shí)際值的吻合度較高，但沒(méi)有建立與鉆臂偏擺角和俯仰角的函數(shù)關(guān)系，不能用于運(yùn)動(dòng)控制；文獻(xiàn)[6]通過(guò)對(duì)鑿巖機(jī)械手支臂部分建立幾何模型，推出了支臂油缸行程和鉆臂偏擺、俯仰角度之間的關(guān)系。然而所建幾何模型與實(shí)際結(jié)構(gòu)有一定誤差且將鉆臂固定面與大臂連接桿和固定面與液壓缸連接桿的運(yùn)動(dòng)偏轉(zhuǎn)角視為相同，所以結(jié)果是不準(zhǔn)確。

本文結(jié)合三角鉆臂機(jī)械結(jié)構(gòu)模型，考慮支臂液壓缸伸出桿與鉆臂連接桿之間的長(zhǎng)度，分析得到鉆臂運(yùn)動(dòng)位置與支臂油缸長(zhǎng)度的精確轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)模型，利用空間幾何解法構(gòu)建三角鉆臂簡(jiǎn)易數(shù)學(xué)模型。

1 機(jī)器人坐標(biāo)變換法

本研究結(jié)合三角鉆臂實(shí)際結(jié)構(gòu)模型，考慮兩支臂液壓缸伸出桿與鉆臂連接處的長(zhǎng)度，視為一端與鉆臂中心軸固定另一端通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)副與支臂缸連接的連桿。

本研究建立的三角鉆臂模型如圖1所示。

圖1 三角鉆臂的機(jī)構(gòu)圖

本研究在連接處E，F(xiàn)點(diǎn)分別建立定坐標(biāo)系3，4，根據(jù)機(jī)器人坐標(biāo)系變換原理[7-8]可得二者與坐標(biāo)2的變換為固定變換，其變換矩陣為：

(1)

(2)

式中：E點(diǎn)，F(xiàn)點(diǎn)—轉(zhuǎn)動(dòng)副；G點(diǎn)—固定連接；桿長(zhǎng)EG和FG—連接長(zhǎng)度，且其長(zhǎng)度和與大臂的相對(duì)位置是固定不變的。

結(jié)合文獻(xiàn)[9]中的相連連桿的坐標(biāo)變換關(guān)系，由多關(guān)節(jié)閉鏈的約束條件可得到以下方程組：

(3)

(4)

式中：θ1—大臂水平偏擺角；θ2—大臂俯仰角；θ11—左支臂缸的水平偏擺角；θ12—左支臂缸的俯仰角；θ21—右支臂缸的水平偏擺角；θ22—右支臂缸的俯仰角；d13—左支臂缸的長(zhǎng)度；d23—右支臂缸的長(zhǎng)度；l1—兩油缸缸體鉸接點(diǎn)之間距離的一半；l2—鉆臂交點(diǎn)至兩油缸缸體鉸接點(diǎn)連線的距離。

方程組(3～4)即為三角鉆臂機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)數(shù)學(xué)模型，控制三角鉆臂的目的在于將大臂移動(dòng)到一定的空間位置，實(shí)現(xiàn)鉆臂定位，即達(dá)到指定擺角θ1和俯仰角θ2。而這又是通過(guò)驅(qū)動(dòng)兩支臂缸運(yùn)動(dòng)即改變兩缸的長(zhǎng)度d13和d23來(lái)實(shí)現(xiàn)的[10]。

所以筆者在已知擺角θ1和俯仰角θ2，通過(guò)上述方程組可以得到兩支臂缸的伸長(zhǎng)量，從而實(shí)現(xiàn)目標(biāo)量與控制量之間的耦合轉(zhuǎn)換，進(jìn)而可實(shí)現(xiàn)進(jìn)一步的運(yùn)動(dòng)控制。

2 空間狀態(tài)幾何法

三角鉆臂簡(jiǎn)化的空間幾何模型如圖2所示。

圖2 大三角鉆臂的幾何模型A1—鉆臂鉸座點(diǎn)；B1—右支臂油缸活塞桿鉸座點(diǎn)；C1—左支臂油缸活塞桿鉸座點(diǎn)；B2—偏轉(zhuǎn)θ1后右油缸活塞桿鉸座點(diǎn)；C2—偏轉(zhuǎn)θ1后左油缸活塞桿鉸座點(diǎn)；E—右油缸缸體鉸座點(diǎn)；F—左油缸缸體鉸座點(diǎn)；D—點(diǎn)為油缸鉸座與鉆臂交點(diǎn)；G—E點(diǎn)在XOY平面的投影點(diǎn)；J—EF中點(diǎn)

由鑿巖機(jī)器人三角鉆臂機(jī)械結(jié)構(gòu)可知，A1點(diǎn)繞A轉(zhuǎn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)軌跡是一段圓弧，且AA1偏擺角度與鉆臂偏擺角度相同，A1D垂直平面EDF且D點(diǎn)為固定連接。在已知偏擺角度θ1和俯仰角度θ2，求解支臂油缸位移與鉆臂運(yùn)動(dòng)角度之間的數(shù)學(xué)模型即為求解長(zhǎng)度B2E和C2F與角度θ1，θ2之間的函數(shù)關(guān)系。

根據(jù)圖2，筆者建立三維空間坐標(biāo)系，平面ABC三點(diǎn)固定，原點(diǎn)O為BC中點(diǎn)，X軸水平向右且與AA1初始位置平行，Y軸沿BC方向且由B指向C，Z軸過(guò)A點(diǎn)方向豎直向上。

設(shè)A1(xA，yA，zA)、B(xB，yB，zB)、C(xC，yC，zC)、D(xD，yD，zD)、E(xE，yE，zE)、F(xF，yF，zF)、G(xG，yG，zG)、J(xJ，yJ，zJ)，由有空間幾何原理[11]可得：

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

結(jié)合三角鉆臂的約束條件，由空間幾何關(guān)系先求BE的長(zhǎng)度：

(12)

在直角三角形BEG中，由勾股定理可得：

(13)

又B，B2，G三點(diǎn)在平面XOY始終共線，故有：

(14)

(15)

代入坐標(biāo)，可得右支臂油缸長(zhǎng)度為：

(16)

同理可得左支臂油缸長(zhǎng)度：

(17)

式中：各參數(shù)含義與方程式(3，4)中相同。

該數(shù)學(xué)模型更為簡(jiǎn)單方便。

本研究在實(shí)際控制過(guò)程中通過(guò)控制左右油缸的伸縮來(lái)實(shí)現(xiàn)大臂的偏轉(zhuǎn)和俯仰運(yùn)動(dòng)進(jìn)而實(shí)現(xiàn)鉆臂的定位控制。而支臂缸長(zhǎng)度與偏轉(zhuǎn)和俯仰角是一一對(duì)應(yīng)，從而可以通過(guò)對(duì)中間量油缸長(zhǎng)度的準(zhǔn)確控制來(lái)實(shí)現(xiàn)鉆臂角度即位置的精確定位控制[12]。

由此可得運(yùn)動(dòng)控制器框圖如圖3所示。

圖3 三角鉆臂控制框圖

控制流程如下：

給定期望的偏擺與俯仰角，可計(jì)算出兩油缸期望缸長(zhǎng)，經(jīng)由電液位置控制系統(tǒng)使油缸運(yùn)動(dòng)到計(jì)算長(zhǎng)度，兩個(gè)角度傳感器實(shí)時(shí)檢測(cè)三角鉆臂偏轉(zhuǎn)角與俯仰角并反饋控制。

3 算例與結(jié)果分析

某實(shí)際鑿巖機(jī)器人三角鉆臂的參數(shù)為:

a1=215 mm，

a11=a21=200 mm，

a2=1 750 mm，

d10=d20=520;

a10=-a20=260 mm，

l1=172 mm，l2=320 mm。

當(dāng)θ1和θ2分別在-45到45之間取5個(gè)值，利用式(3)可得到右支臂缸缸長(zhǎng)d23的計(jì)算結(jié)果，如表1所示。

在同樣的條件下，代入式(16)的計(jì)算結(jié)果，如表2所示。

表1 式(3)的計(jì)算結(jié)果

表 2 式(16)的計(jì)算結(jié)果

對(duì)比表1和表2結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：在相同條件下式(3)和式(16)計(jì)算得到的支臂缸長(zhǎng)度完全一致，這初步驗(yàn)證了兩種方法所建立模型的正確性；且計(jì)算過(guò)程中式(16)更快速簡(jiǎn)便。

最后本研究在Pro/E中建立三角鉆臂的三維模型，某鑿巖機(jī)器人三角鉆臂的三維模型如圖4所示。

其大三角參數(shù)與算例一致。本研究設(shè)定固定基準(zhǔn)面，使鉆臂相對(duì)基準(zhǔn)面轉(zhuǎn)動(dòng)指定角度后，測(cè)量其支臂液壓缸長(zhǎng)度，測(cè)量結(jié)果如表3所示。

對(duì)比可以看出：三者結(jié)果一一吻合，表明了所建立數(shù)學(xué)模型的正確性，且結(jié)果在理論上無(wú)偏差。

表3 三維模型的測(cè)量結(jié)果

4 結(jié)束語(yǔ)

三角鉆臂的運(yùn)動(dòng)控制直接影響鉆臂的定位控制，因此建立準(zhǔn)確的運(yùn)動(dòng)模型是至關(guān)重要的。本文首先在前人基礎(chǔ)上利用機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)理論建立了三角鉆臂機(jī)構(gòu)的完善運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，并解出其數(shù)學(xué)模型;然后結(jié)合三角鉆臂機(jī)械結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)約束條件利用空間狀態(tài)幾何解法，分析得到支臂液壓缸長(zhǎng)度與大臂偏轉(zhuǎn)角和俯仰角之間的函數(shù)關(guān)系。最后結(jié)合算例與三維模型進(jìn)行了相互驗(yàn)證。

研究結(jié)果表明：運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)模型建立正確，這為鉆臂的精確運(yùn)動(dòng)控制及鉆臂定位的誤差補(bǔ)償?shù)难芯看蛳铝嘶A(chǔ)。

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