洪 鋒 高振軍 袁建平

(1.三峽大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力學(xué)院， 宜昌 443002； 2.三峽大學(xué)水電機(jī)械設(shè)備設(shè)計(jì)與維護(hù)湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 宜昌 443002；3.江蘇大學(xué)國家水泵工程技術(shù)研究中心， 鎮(zhèn)江 212013)

0 引言

空化是一種包含相變、介質(zhì)壓縮性、粘性及湍動(dòng)效應(yīng)的復(fù)雜多相流。在水力機(jī)械領(lǐng)域，空化的發(fā)生總會(huì)造成不同程度的負(fù)面作用。迄今為止，空化和空泡動(dòng)力學(xué)特性一直是國際水動(dòng)力學(xué)界的熱點(diǎn)和前沿科學(xué)問題[1]。

當(dāng)前，應(yīng)用于工程問題中的空化數(shù)值模型大部分是由只考慮空泡半徑一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)及壓力驅(qū)動(dòng)項(xiàng)的Rayleigh-Plesset(R-P)方程推導(dǎo)而來[2-8]，該類模型沒有考慮二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)、粘性項(xiàng)及表面張力項(xiàng)對(duì)空泡半徑增長的影響。文獻(xiàn)[9]指出，完整R-P方程中的二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)對(duì)超聲誘導(dǎo)空泡半徑的增長有著重要的影響，且不可被忽略；基于簡(jiǎn)化R-P方程的空化模型在模擬繞水翼及螺旋槳空化流場(chǎng)時(shí)均存在不足之處[10-11]。上述3種空化模型在推導(dǎo)過程中只考慮了兩種組分(空泡相和液相)，而實(shí)際流體中還包含了不可凝結(jié)的氣體(NCG)，一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下純水所能溶解NCG的飽和質(zhì)量濃度為1.5×10-5mg/L。該部分氣體在空化發(fā)生過程中充當(dāng)空化核，空化核對(duì)空化初生有著重要的作用[12]。

為了改善這種基于簡(jiǎn)化R-P方程的空化模型模擬空化流動(dòng)的能力，本文基于一種改進(jìn)的R-P球形空泡動(dòng)力學(xué)模型、液相-空泡相-不可凝結(jié)氣體相3種組分的連續(xù)性方程和均相流假設(shè)推導(dǎo)一種修正的R-P模型；然后運(yùn)用UDF(User-define function)技術(shù)，把該模型嵌入到ANSYS FLUENT 14.5平臺(tái)，并聯(lián)立一種改進(jìn)的濾波器湍流模型(MFBM)對(duì)繞二維Clark-Y水翼的非定?？栈鲌?chǎng)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。通過與Schnerr-Sauer(S-S)空化模型的數(shù)值計(jì)算結(jié)果及文獻(xiàn)中公開的實(shí)驗(yàn)結(jié)果作對(duì)比，以驗(yàn)證修正的R-P模型在預(yù)測(cè)非定常空化流動(dòng)特征的可行性及準(zhǔn)確性。

1 基于R-P方程的改進(jìn)空化模型

廣義的空泡動(dòng)力學(xué)方程為[12]

(1)

式中R——空泡半徑νl——液相運(yùn)動(dòng)粘度

S——表面張力系數(shù)

pB(t) ——空泡內(nèi)壓力

p∞(t)——無窮遠(yuǎn)處壓力

ρl——液相密度t——時(shí)間

等號(hào)左邊依次為二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)、一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)、粘性項(xiàng)和表面張力項(xiàng)，等號(hào)右邊為壓力驅(qū)動(dòng)項(xiàng)。式(1)中二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)在空泡體積急劇變化時(shí)發(fā)揮重要作用，而粘性項(xiàng)與表面張力項(xiàng)對(duì)空泡半徑變化的影響尚不明確，因此研究兩種簡(jiǎn)化形式的空泡動(dòng)力學(xué)模型

(2)

(3)

利用Matlab軟件，采用4～5階RUNGE-KUTTA算法分別對(duì)式(2)和式(3)進(jìn)行求解。假定初始半徑為R0的空化核在時(shí)間為0時(shí)進(jìn)入低壓區(qū)，可以得到該空化核流過低壓區(qū)時(shí)R(t)的一個(gè)典型解，如圖1(圖中T表示球形空泡生長周期)所示。從圖中可以看到，在t=10T之后，粘性項(xiàng)對(duì)空泡半徑變化的影響較小，且相比于表面張力項(xiàng)，粘性的影響是可以忽略不計(jì)的，這主要是因?yàn)橐簯B(tài)水及因空化形成的空泡均屬于低粘度工質(zhì)，其運(yùn)動(dòng)粘度系數(shù)為10-6數(shù)量級(jí)。

圖1 不同空泡動(dòng)力學(xué)模型計(jì)算得到的空泡增長過程Fig.1 Variation of bubble radium based on different bubble dynamic models

因此，考慮由壓力驅(qū)動(dòng)項(xiàng)、空泡一階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)、二階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)及表面張力項(xiàng)所組成的動(dòng)力學(xué)模型，如式(3)所示。將式(3)左右兩邊同時(shí)乘以2R2dR/dt，應(yīng)用初始條件DR/Dt(0)=0[12]積分可以得到

(4)

因此，改進(jìn)后的球形空泡動(dòng)力學(xué)方程為

(5)

當(dāng)i=1時(shí)表示凝結(jié)過程；當(dāng)i=2時(shí)表示蒸發(fā)過程。

為了真實(shí)反映空化流動(dòng)的本質(zhì)，將介質(zhì)處理成空泡相、液相及不可凝結(jié)氣體的混合物，但是空化引起的質(zhì)量傳輸過程只在液相和空泡相之間產(chǎn)生，且液相、空泡相及不可凝結(jié)氣體相3種組分的連續(xù)性方程分別為

(6)

(7)

(8)

其中

αl+αv+αg=1

(9)

式中ρ——混合密度V——速度

Se——蒸發(fā)率Sc——凝結(jié)率

α——體積分?jǐn)?shù)

下標(biāo)l、v和g分別代表液相、空泡相和不可凝結(jié)氣體相。

均相流思想是把介質(zhì)假想成一種均勻的液相-空泡相-不可凝結(jié)氣體的混合物，這種處理方式可以避免因求解每一組分獨(dú)立的連續(xù)性方程及其動(dòng)量方程所需要的巨大數(shù)值耗散時(shí)間。同時(shí)，假定各組分之間無相對(duì)滑移速度，即

Vl=Vv=Vg=V

(10)

式(6)～(8)相加，可以得到混合相的連續(xù)性方程，即

(11)

混合密度ρ及混合動(dòng)力粘度系數(shù)μ分別表示為

ρ=αlρl+αvρv+αgρg

(12)

μ=αlμl+αvμv+αgμg

(13)

在單元控制體內(nèi)，為了解決液相與空泡相之間由于發(fā)生相變而產(chǎn)生劇烈的相對(duì)密度變化引起的數(shù)值計(jì)算困難，故使用一種非守恒型連續(xù)性方程來描述混合流體的運(yùn)動(dòng)。該方程為[13]

(14)

因?yàn)?/p>

(15)

由式(10)及式(15)可得

(16)

由式(9)可得

(17)

把式(16)代入到式(17)可得

(18)

聯(lián)立式(12)、(14)及(18)可得

(19)

把式(19)代入到式(7)中可得

(20)

空泡體積分?jǐn)?shù)αv由空泡半徑R及單位體積內(nèi)空泡數(shù)量N0表示[7]，即

(21)

由式(21)可推導(dǎo)出

(22)

將式(22)代入到式(20)可得

(23)

把式(5)代入到式(23)中可得最終形式的蒸發(fā)率表達(dá)式為

(24)

同理，最終形式的凝結(jié)率表達(dá)式為

(25)

N0=1×1013m-3、R0=1 μm，NCG的體積分?jǐn)?shù)計(jì)算公式為

αg=fgρ/ρg

(26)

ρg按照密度形式理想氣體狀態(tài)方程計(jì)算，質(zhì)量分?jǐn)?shù)fg=1.5×10-6。

計(jì)算時(shí)為了考慮湍流脈動(dòng)對(duì)空化初生的影響，將空化壓力pv修正為

pv=psat+0.195ρk

(27)

式中psat——飽和蒸汽壓，取3 169 Pa

k——湍動(dòng)能

式(24)～(27)所組成的數(shù)學(xué)模型即為修正的R-P模型。該模型與Schnerr-Sauer(S-S)模型均是基于均相流理論建立，也都采用式(20)來描述空泡體積分?jǐn)?shù)與空泡半徑及單位體積內(nèi)空化核數(shù)量之間的關(guān)系，但是修正的R-P模型具有以下優(yōu)點(diǎn)：①修正的R-P模型把空泡流真實(shí)地還原成液相、空泡相及不可凝結(jié)氣體的混合物，而S-S模型則把介質(zhì)處理成由液相和空泡相組成的混合物。②修正的R-P模型推導(dǎo)是基于改進(jìn)后的Rayleigh-Plesset空泡動(dòng)力學(xué)方程，該方程考慮了空泡半徑的二階變化及表面張力的影響。③修正的R-P模型考慮了湍流脈動(dòng)對(duì)空化初生的影響。

2 修正的濾波器湍流模型(MFBM)

湍流模型的合理選取對(duì)空化流動(dòng)數(shù)值計(jì)算尤其重要，傳統(tǒng)的雙方程湍流模型會(huì)過度預(yù)測(cè)閉合空穴尾部的湍流粘度，從而會(huì)阻止回射流向水翼前緣運(yùn)動(dòng)，使得空穴脫落不會(huì)被預(yù)測(cè)到，而直接模擬或者大渦模擬會(huì)消耗大量的計(jì)算機(jī)資源，尤其在實(shí)際的水力機(jī)械計(jì)算中這一問題會(huì)顯得更加突出[14]。因此，本文采用文獻(xiàn)[15]中提出的一種修正的濾波器湍流模型(MFBM)。MFBM實(shí)際上是一種修正的RNGk-ε的混合模型，模型的思想是通過一個(gè)函數(shù)fMFBM聯(lián)立濾波器模型(FBM)和密度修正模型(DCM)來共同修正傳統(tǒng)RANS模型的湍流粘度，從而使得修正后的模型兼?zhèn)銯BM和DCM的優(yōu)點(diǎn)?；赗NGk-ε模型修正后的湍流粘度系數(shù)為

(28)

其中

fMFBM=min(fDCM,fFBM)

(29)

(30)

(31)

式中λ——濾波尺寸

n=10，Cμ=0.09，C3=1.0。

3 計(jì)算網(wǎng)格及邊界條件

以二維Clark-Y型水翼作為研究對(duì)象，翼型弦長c=70 mm，攻角A=8°。計(jì)算域?yàn)榫匦?，其寬度和長度分別為2.7c和10c，水翼前緣到計(jì)算域進(jìn)口距離為3c，水翼尾緣到計(jì)算域出口距離為6c，該水翼的空化水洞實(shí)驗(yàn)由王國玉等[16-19]完成。邊界條件設(shè)定均與文獻(xiàn)[16]保持一致，即入口采用速度入口，計(jì)算域進(jìn)口速度Uin=10 m/s，出口采用壓力出口，通過調(diào)整出口壓力，從而獲取相應(yīng)的空化數(shù)條件。計(jì)算域上下邊界均為自由無滑移壁面條件，為獲得更精確的計(jì)算結(jié)果，翼型壁面函數(shù)選擇增強(qiáng)型壁面條件。

對(duì)計(jì)算域劃分了4種不同尺寸的網(wǎng)格，并作網(wǎng)格無關(guān)性分析來消除網(wǎng)格數(shù)量造成的計(jì)算誤差。不同網(wǎng)格方案對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)分別為N1=59 576，N2=106 523，N3=157 296及N4=198 776。通過計(jì)算空化數(shù)σ=0.8條件下水翼上下表面壓力系數(shù)Cp隨網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)的變化規(guī)律來確定最終的計(jì)算網(wǎng)格。計(jì)算結(jié)果如圖2所示，從圖中可以看出，不同網(wǎng)格方案計(jì)算得到的翼型上表面壓力分布隨著網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加逐漸趨于一致。細(xì)網(wǎng)格與極細(xì)網(wǎng)格之間的壓力分布幾乎相等，表明繼續(xù)增大網(wǎng)格數(shù)量對(duì)計(jì)算結(jié)果影響可以忽略不計(jì)，因此最終選擇細(xì)網(wǎng)格作為本文的計(jì)算網(wǎng)格。

圖2 網(wǎng)格無關(guān)性分析Fig.2 Mesh independence analysis

4 計(jì)算結(jié)果分析

為了研究修正的R-P模型對(duì)水翼空化流場(chǎng)的模擬效果，采用數(shù)值計(jì)算的方法得到了Schnerr-Sauer模型及修正的R-P模型對(duì)片狀空化(σ=1.4)及云狀空化(σ=0.8)兩種典型空化條件下翼型所受的水動(dòng)力系數(shù)及其吸力面上的空穴形態(tài)分布規(guī)律，并與文獻(xiàn)中的實(shí)驗(yàn)結(jié)果作對(duì)比。數(shù)值計(jì)算均采用非定常求解器，時(shí)間步長Δt依據(jù)CFL條件(Courant-Friedrichs-Lewy condition)確定[1]，結(jié)合計(jì)算成本，最終取Δt=1.0×10-6s。定義空化數(shù)、升力系數(shù)、阻力系數(shù)及空泡總體積分別為

(32)

(33)

(34)

(35)

式中pout——出口壓力N——網(wǎng)格單元總數(shù)

Fl——升力Fd——阻力

L——翼型展向長度

αi——網(wǎng)格單元內(nèi)的空泡體積分?jǐn)?shù)

Vi——網(wǎng)格單元的體積

4.1 準(zhǔn)靜態(tài)片狀空化

張博等[20]對(duì)Clark-Y型水翼片狀空化進(jìn)行了大量實(shí)驗(yàn)研究。根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，當(dāng)空化數(shù)降低至σ=1.4時(shí)，片狀空化逐漸形成，此時(shí)翼型前緣附著透明的空泡，而翼型尾緣處存在波動(dòng)，且有較小的空泡團(tuán)脫落。

圖3為兩種模型模擬得到的4個(gè)不同時(shí)刻空泡體積分?jǐn)?shù)分布圖，從圖中可以看到，在翼型前緣處，S-S模型得到的高質(zhì)量分?jǐn)?shù)的空化區(qū)逐漸減小，表明該處結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的片狀空穴長度發(fā)生了波動(dòng)，這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符。相比較而言，采用修正的R-P模型計(jì)算得到的片狀空穴長度基本上維持不變，而且在空穴尾部出現(xiàn)了明顯的相間破碎界面并伴有體積分?jǐn)?shù)較低的空泡團(tuán)脫落現(xiàn)象，而這與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的吻合度較好。同時(shí)，不同空化模型計(jì)算得到的平均升力、阻力系數(shù)對(duì)比如表1所示，從表中可以看到，相比于S-S模型，修正的R-P模型模擬得到的平均升阻力系數(shù)與實(shí)驗(yàn)值吻合度更好。綜上分析，修正的R-P模型對(duì)片狀空穴長度、空穴閉合末端流動(dòng)細(xì)節(jié)的捕捉能力以及對(duì)水動(dòng)力系數(shù)預(yù)測(cè)的能力均優(yōu)于S-S模型。

圖3 兩種不同空化模型計(jì)算得到的片狀空穴形態(tài)對(duì)比Fig.3 Comparisons of evolution of sheet cavitation predicted by Schnerr-Sauer and proposed models

模型類型 Cl Cd計(jì)算值實(shí)驗(yàn)值[18]相對(duì)誤差/%計(jì)算值實(shí)驗(yàn)值[18]相對(duì)誤差/%修正的R-P模型1.0511.169.390.0390.0414.88Schnerr-Sauer模型1.0341.1610.860.0370.0419.76

4.2 周期性云狀空化

依據(jù)文獻(xiàn)[21]，當(dāng)空化數(shù)降低至σ=0.8時(shí)，翼型前緣處附著的片狀空穴所表現(xiàn)出的不穩(wěn)定性加劇，其長度和厚度都明顯增加，且尾緣處大體積空泡團(tuán)脫落現(xiàn)象也更加顯著。

圖4為兩種模型計(jì)算得到的瞬時(shí)升力系數(shù)與實(shí)驗(yàn)值[21]的對(duì)比。從圖中可以看到，修正的R-P模型模擬得到的瞬時(shí)升力系數(shù)與實(shí)驗(yàn)值的變化趨勢(shì)吻合程度更好，而S-S模型模擬得到的升力系數(shù)出現(xiàn)了較多的波動(dòng)。表2所示為不同空化模型模擬得到的平均升力、阻力系數(shù)與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比，從表中可以看到，修正的R-P模型模擬得到的平均升力系數(shù)與實(shí)驗(yàn)值吻合度更好，其相對(duì)誤差僅為6.93%，且修正的R-P模型預(yù)測(cè)到的平均阻力系數(shù)相比于Schnerr-Sauer模型預(yù)測(cè)結(jié)果也與實(shí)驗(yàn)值更接近。Schnerr-Sauer模型模擬得到的平均升、阻力系數(shù)與實(shí)驗(yàn)值的相對(duì)誤差均超過10%。

圖5所示為兩種空化模型計(jì)算得到的空泡總體積隨時(shí)間變化圖，從圖中可以看到，二者計(jì)算得到的空泡體積隨時(shí)間呈較為明顯的周期性變化，且修正的R-P模型和S-S模型計(jì)算得到的云狀空化平均演變周期分別為T1=45.5 ms和T2=38.4 ms，實(shí)驗(yàn)觀測(cè)到的云狀空化演變周期為T3=50 ms[18]。由此可見，修正的R-P模型在模擬云狀空化周期性變化過程時(shí)相比于S-S模型更具有優(yōu)越性；另一方面，修正的R-P模型模擬得到的空泡體積明顯大于S-S模型，表明非線性模型可以計(jì)算得到面積更大的空化區(qū)域，這主要是由于修正的R-P模型考慮了NCG、湍流脈動(dòng)對(duì)空化初生的影響。

圖6(圖中t0表示翼型尾緣處空泡團(tuán)體積增長至最大的時(shí)刻)所示為模擬得到的一個(gè)周期內(nèi)云狀空化演變與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[21]的對(duì)比，圖6a～6e為實(shí)驗(yàn)結(jié)果，圖6f～6j為修正R-P模型的預(yù)測(cè)結(jié)果，圖6k～6o為S-S模型的預(yù)測(cè)結(jié)果。對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)，不同空化模型模擬得到的空泡演變過程都基本上反映出了云狀空化中位于翼型前緣處片狀空穴長度和厚度的增長，以及隨后云狀空化脫落和向下游潰滅的周期性變化過程。但是，二者的不同之處主要有以下4點(diǎn)：總體上來看，不同時(shí)刻修正的R-P模型模擬得到的空化區(qū)域均大于S-S模型的模擬結(jié)果；在t=t0時(shí)刻，片狀空穴回縮至翼型前緣幾乎消失，尾緣處空泡形成團(tuán)狀結(jié)構(gòu)并開始逐漸脫離壁面，對(duì)比發(fā)現(xiàn)，修正的R-P模型預(yù)測(cè)到的空泡團(tuán)尺寸與實(shí)驗(yàn)拍攝到的結(jié)果更加吻合，且空泡團(tuán)位置仍靠近翼型尾緣，而S-S模型預(yù)測(cè)到的空泡團(tuán)已經(jīng)離開翼型吸力面；在t=t0+58%Ti(i=1、2、3)時(shí)刻，空穴內(nèi)部表現(xiàn)出強(qiáng)烈的不穩(wěn)定性且兩相界面出現(xiàn)明顯的破碎，對(duì)比可以發(fā)現(xiàn)S-S模型預(yù)測(cè)的界面破碎程度要高于修正的R-P模型的模擬結(jié)果，而空穴內(nèi)強(qiáng)烈的不穩(wěn)定性與回射流結(jié)構(gòu)有著緊密聯(lián)系[1]，表明S-S模型預(yù)測(cè)到的回射流強(qiáng)度大于修正的R-P模型的預(yù)測(cè)結(jié)果；在t=t0+84%Ti(i=1、2、3)時(shí)刻，實(shí)驗(yàn)結(jié)果中的空穴長度近似為0.5倍弦長，S-S模型模擬的空穴長度明顯偏小。綜上分析，盡管兩個(gè)空化模型均可以模擬出云狀空化周期性演變過程，但在一些空化流動(dòng)細(xì)節(jié)的捕捉上，修正的R-P模型更具有優(yōu)越性。

圖4 兩種模型模擬得到的升力系數(shù)與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比Fig.4 Comparisons of transient lift coefficients of simulation and experiment

模型類型ClCd計(jì)算值實(shí)驗(yàn)值[18]相對(duì)誤差/%計(jì)算值實(shí)驗(yàn)值[18]相對(duì)誤差/%修正的R-P模型0.7520.8086.930.1280.11511.30Schnerr-Sauer模型0.7230.80810.520.1310.11513.91

圖5 兩種模型模擬得到的空泡總體積對(duì)比Fig.5 Comparisons of total vapor volume of simulations by using two models

圖6 兩種模型模擬得到的云空化演變與實(shí)驗(yàn)值對(duì)比Fig.6 Comparisons of predicted evolution of cloud cavitation of simulations and experiment by two models

5 結(jié)論

(1)在準(zhǔn)靜態(tài)片狀空化階段，修正的R-P模型計(jì)算得到的片狀空穴長度基本上維持不變，而且在空穴尾部出現(xiàn)了明顯的相間破碎界面并伴有體積分?jǐn)?shù)較低的空泡團(tuán)脫落現(xiàn)象，與實(shí)驗(yàn)描述較為一致。

(2)修正的R-P模型與Schnerr-Sauer模型預(yù)測(cè)云空穴演變平均周期分別為45.5 ms和38.4 ms，且修正的R-P模型能較清晰地預(yù)測(cè)云狀空泡的初生、發(fā)展、潰滅和脫落的全過程。

(3)云空化階段，修正的R-P模型模擬得到的瞬時(shí)升力系數(shù)與實(shí)驗(yàn)值的變化趨勢(shì)吻合程度更高，盡管兩個(gè)空化模型均可以模擬出云狀空化周期性演變過程，但在一些流動(dòng)細(xì)節(jié)的捕捉上，修正的R-P模型對(duì)云空化周期性演變的預(yù)測(cè)能力更好。

(4)修正的R-P模型聯(lián)立改進(jìn)的濾波器湍流模型，聯(lián)合求解繞水翼非定?？栈鲃?dòng)具有較高的準(zhǔn)確性和可行性。

1 洪鋒，袁建平，周幫倫.空泡半徑非線性變化的空化模型及應(yīng)用[J]．華中科技大學(xué)學(xué)報(bào)，2015，43(10)：15-20.

HONG Feng，YUAN Jianping，ZHOU Banglun. Cavitation model considering non-linear variation of bubble radius and its application [J]. Journal of Huazhong University of Science and Technology，2015，43(10)：15-20. (in Chinese)

2 SINGHAL A K，ATHAVALE M M，LI H，et al．Mathematical basis and validation of the full cavitation model[J]. ASME Journal of Fluids Engineering，2002，124(3)：617-624．

3 RHEE S H, KAWAMURA T, LI H．Propeller cavitation study using an unstructured grid based Navier-Stoker solver[J]．ASME Journal of Fluids Engineering，2005，127(5)：986-994．

4 ATHAVALE M M, LI H Y, JIANG Y U, et al. Application of the full cavitation model to pumps and inducers[J]. International Journal of Rotating Machinery, 2002, 8(1):45-56．

5 ZWART P J，GERBER A G，BELAMRI T．A two-phase flow model for predicting cavitation dynamics[C]∥ICMF Fifth International Conference on Multiphase Flow，2004．

6 LIU H, WANG J, WANG Y, et al．Influence of the empirical coefficients of cavitation model on predicting cavitating flow in the centrifugal pump[J]．International Journal of Naval Architecture and Ocean Engineering, 2014, 6(1): 119-131．

7 SCHNERR G H，SAUER J．Physical and numerical modeling of unsteady cavitation dynamics[C]∥ICMF Fourth International Conference on Multiphase Flow，2001．

8 JI B，LUO X W，ARNDT R E A，et al．Large eddy simulation and theoretical investigations of the transient cavitating vortical flow structure around a NACA66 hydrofoil[J]．International Journal of Multiphase Flow，2015，68：121-134．

10 MORGUT M，NOBILE E，BILUI．Comparison of mass transfer models for the numerical prediction of sheet cavitation around a hydrofoil[J]．International Journal of Multiphase Flow，2011，37(6)：620-626．

11 楊瓊方，王永生，張志宏. 改進(jìn)空化模型和修正湍流模型在螺旋槳空化模擬中的評(píng)估分析[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2012，48(9)：178-185.

YANG Qiongfang, WANG Yongsheng, ZHANG Zhihong. Assessment of the improved cavitation model and modified turbulence model for ship propeller cavitation simulation[J]. Journal of Mechanical Engineering, 2012, 48(9): 178-185. (in Chinese)

12 BRENNEN C E. Cavitation and bubble dynamics [M]. Cambridge: Cambridge University Press, 2013.

13 YUAN W，SCHNERR G H．Numerical simulation of two-phase flow in injection nozzles： interaction of cavitation and external jet formation[J]．ASME Journal of Fluids Engineering，2003，125(6)：963-969．

14 COUTIER-DELGOSHA O，F(xiàn)ORTES-PATELLA R，REBOUD J L，et al．Numerical simulation of cavitating flow in 2D and 3D inducer geometries[J]．International Journal for Numerical Methods in Fluids，2005，48(2)：135-167．

15 LI Z, ZHENG D, HONG F, et al. Numerical simulation of the sheet/cloud cavitation around a two-dimensional hydrofoil using a modified URANS approach [J]. Journal of Mechanical Science & Technology, 2017, 31(1):215-224.

16 HUANG B，YOUNG Y L，WANG G Y，et al．Combined experimental and computational investigation of unsteady structure of sheet/cloud cavitation[J]．ASME Journal of Fluids Engineering，2013，135(7)：071301．

17 黃彪，王國玉，王復(fù)峰，等．繞水翼非定?？栈鲌?chǎng)的實(shí)驗(yàn)研究[J]．兵工學(xué)報(bào)，2012，33(4)：401-407．

HUANG Biao, WANG Guoyu, WANG Fufeng, et al. Experrimental study on unsteady cavitating flow around hydrofoil with particle imaging velocimetry system[J]. Acta Armamentarii, 2012,33(4):401-407. (in Chinese)

18 WANG G Y，SENOCAK I，SHYY W，et al．Dynamics of attached turbulent cavitating flows[J]．Progress in Aerospace Sciences，2001，37(6)：551-581．

19 HUANG B，WANG G Y，YU Z，et al．Detached-eddy simulation for time-dependent turbulent cavitating flows[J]．Chinese Journal of Mechanical Engineering，2012，25(3)：484-490．

20 張博，王國玉，李向賓，等.繞水翼片狀空化流動(dòng)結(jié)構(gòu)的數(shù)值與實(shí)驗(yàn)研究[J]．工程熱物理學(xué)報(bào)，2008，29(11)：1847-1851．

ZHANG Bo, WANG Guoyu, LI Xiangbin, et al. Analysis of sheet cavitation flow structure by numerical and experimental studies [J]. Journal of Engineering Thermophsics, 2008, 29 (11):1847-1851. (in Chinese)

21 張光建．水翼及軸流泵非定?？栈匦詳?shù)值研究[D]．鎮(zhèn)江：江蘇大學(xué)，2014．

ZHANG Guangjian. Numerical simulation of the unsteady cavitation characteristics in hydrofoil and axial flow pump [D].Zhenjiang: Jiangsu University, 2014. (in Chinese)