韓佳輝，畢大平，陳 璐

(國防科技大學(xué)電子對抗學(xué)院，安徽 合肥 230037)

0 引言

波達(dá)方向(Direction of Arrival，DOA)估計是雷達(dá)對抗領(lǐng)域的核心研究內(nèi)容之一，對獲取戰(zhàn)場主動性，爭奪制信息權(quán)具有重要的作用?，F(xiàn)代電磁環(huán)境中，信源密集且復(fù)雜多變，往往需要對多信源精確測向，傳統(tǒng)測向體制難以完成使命。超分辨陣列測向技術(shù)能夠同時精確估計多個信號的方位，克服了傳統(tǒng)測向體制的缺陷。MUSIC(Multiple Signal Classification)[1]算法作為一種最經(jīng)典的超分辨算法，自提出以來有很多學(xué)者對它進(jìn)行了大量的改進(jìn)[2-4]，但是目前的優(yōu)化算法大多數(shù)是針對陣元間距小于半波長的均勻線陣(ULA)設(shè)計的，存在著陣列孔徑小、測向精度低和分辨率差等缺點，難以適應(yīng)現(xiàn)代戰(zhàn)場電磁環(huán)境。稀疏陣列是指陣元間距大于半波長的陣列系統(tǒng)，相比于相同陣元數(shù)目的常規(guī)滿秩陣列，稀疏陣列擁有更大的陣列孔徑，更大的分辨率，更高的自由度。但是當(dāng)陣元間距大于半波長時，會出現(xiàn)測向模糊問題。

近年來，已經(jīng)有很多學(xué)者將稀疏陣列引入到DOA估計領(lǐng)域，應(yīng)用較多的稀疏陣列為嵌套陣和互質(zhì)陣。文獻(xiàn)[5]用 Ziv-Zakai限分析了稀疏線陣測向性能。文獻(xiàn)[6]分析了嵌套陣對陣列自由度的提升情況，系統(tǒng)地對陣列進(jìn)行了虛擬擴展，實現(xiàn)了在陣元數(shù)量低于信源數(shù)量下的無模糊測向。文獻(xiàn)[7]詳細(xì)推導(dǎo)了嵌套陣陣列結(jié)構(gòu)和可測量信源數(shù)目的關(guān)系。文獻(xiàn)[8]通過多級嵌套陣列，等效地擴展了虛擬陣元的數(shù)量，極大地提升了可測信源的數(shù)目，避免了測向模糊問題，但是陣列結(jié)構(gòu)復(fù)雜，計算量過大。文獻(xiàn)[9]設(shè)計了一種互質(zhì)陣列結(jié)構(gòu)，利用陣元間距之間互質(zhì)的原理，實現(xiàn)了無模糊測向，但是存在陣列形式單一的缺點。然而值得注意的是，現(xiàn)有的稀疏陣列DOA估計算法大都在虛擬陣列擴展的基礎(chǔ)上實現(xiàn)測向，存在陣列結(jié)構(gòu)復(fù)雜、計算量大、實時性差等缺點，很難滿足雷達(dá)對抗的作戰(zhàn)需求。本文針對以上問題，提出了基于矢量修正的稀疏陣列測向解模糊方法。

1 MUSIC算法數(shù)學(xué)模型及稀疏陣列模型

1.1 MUSIC算法模型

基于天線陣列協(xié)方差矩陣的特征分解類DOA估計算法中，MUSIC算法具有普遍的適用性，只要已知天線陣的布陣形式，無論直線陣還是圓陣，不管陣元是否等間隔分布，都可以得到高分辨的估計結(jié)果。設(shè)有n個遠(yuǎn)場窄帶不相干的信源以來波方向θk(k=1,2,…,n)入射到陣元數(shù)目為m的線陣，設(shè)其陣元位置為z=[z1z2…zm]，如圖1所示。

則整個陣列的接受信號為：

y(t)=A(θ)x(t)+n(t),t=1,2,…,N

(1)

其中，y(t)=[y1(t),y2(t),…,ym(t)]T為陣列的接受數(shù)據(jù)矢量；x(t)=[x1(t),x2(t),…xn(t)]T為信源矢量；n(t)=[n1(t),n2(t),…,nm(t)]T為均值為0方差為σ2的加性高斯白噪聲列矢量；A(θ)=[a(θ1),a(θ2),…,a(θn)]為陣列流形矩陣，a(θk)=[ejωkz1,ejωkz2,…,ejωkzm]T為第k個信號的導(dǎo)向矢量，其中ωk=2πsinθk/λ為第k個信號單位距離的相位差；N為快拍數(shù)。陣列協(xié)方差矩陣為：

Ry=E[y(t)yH(t)]=ARxAH+σ2I

(2)

其中，Rx=E[x(t)xH(t)]表示入射信號矢量的自相關(guān)矩陣，將Ry分解為信號子空間US和噪聲子空間UN,A和US相同且和UN正交。定義陣列空間譜函數(shù)為：

(3)

由上式，使θ變化，通過尋找波峰來估計到達(dá)角。

1.2 稀疏陣列

為了便于分析，假設(shè)信源半波長λ/2=1，若以第一個陣元為參考陣元，則陣元數(shù)目為m，陣元間距d=λ/2的均勻線陣可以表示為z=[0 1 2 … (m-1)]。由于稀疏陣列陣元間距d>λ/2，那么陣元數(shù)目為m，陣元間距d=M均勻稀疏陣列可以表示為：

其中，M>1且M∈N。

圖3 互質(zhì)陣列(●陣列 1，○陣列 2)
Fig.3 Coprime array (●array 1, ○array 2)

2 稀疏陣列無模糊測向方法

若陣列陣元個數(shù)為m，只有對于任意n+1個單位距離相位差ωi(0≤ωi<2π,1≤i≤n+1)，擴展陣列流形Aaug=[a(ω1)a(ω2) …a(ωn)a(ωn+1)]的秩滿足rank(Aaug)=n+1時，MUSIC算法可以無模糊估計出n(n

2.1 陣元相對位置最大公約數(shù)對測向性能的影響

定義g=gcd(z2,z3,…,zm)，其中g(shù)cd為最大公約數(shù)運算符。為便于分析，假設(shè)信源半波長λ/2=1，則單位距離相位差可以表示為ω=2πsinθ/λ=πsinθ，若來波方向θ∈[-π/2,π/2)，則ω∈[-π,π)。

1) 陣元相對位置最大公約數(shù)等于信源半波長，即g=1。

(4)

(5)

(6)

(7)

所以

(8)

因為gcd(z2,z3,…,zm)=g，上式可以寫成

(9)

2) 陣元相對位置最大公約數(shù)大于信源半波長，即g>1。此時導(dǎo)向矢量可以表示為：

(10)

(11)

2.2 導(dǎo)向矢量修正解模糊方法

若在稀疏ULA位置為N處添加一個陣元，此時陣列表示為zC=[zM|N]如圖4所示，即

(12)

(13)

圖4 稀疏均勻線陣增加陣元(gcd(M,N)=1)
Fig.4 Spare ULA with another element (gcd(M,N)=1)

(14)

若aM(ω1)=aM(ωn+1)，那么

(15)

c1+cn+1=0,c2=c3=…=cn=0

(16)

式(14)最后一行為：

c1ejNω1+c2ejNω2+…+cn+1ejNωn+1=0

(17)

將式(16)代入到式(17)中，得

ejNω1=ejNωn+1

(18)

這就意味著當(dāng)-π/2≤ω1<ωn+1<π/2時，ωn+1-ω1=2πl(wèi)/N,1≤l

M/N=k/l

(19)

3 仿真實驗

本節(jié)通過仿真實驗首先驗證陣列相對位置的最大公約數(shù)與測向模糊之間的關(guān)系；然后驗證所提方法解稀疏陣測向模糊的有效性；最后通過與陣元間距為半波長的陣列測向性能相比，驗證所提方法的性能。

實驗1 陣元相對位置的最大公約數(shù)與測向模糊關(guān)系

采用非等間距稀疏線陣，陣元數(shù)目m=7。兩遠(yuǎn)場不相干信源分別以θ1=-30°，θ2=40°兩個角度入射。信噪比SNR=0 dB，快拍數(shù)1 000。圖5由(a)到(d)為陣元相對位置最大公約數(shù)與信源半波長比值分別為g/(λ/2)=1，g/(λ/2)=2，g/(λ/2)=3，g/(λ/2)=6，采用MUSIC算法進(jìn)行DOA估計得到的結(jié)果。

實驗2 解模糊方法有效性分析

從圖6的測向結(jié)果可知，對來自于θ1，θ2的兩個遠(yuǎn)場不相干信號，未添加陣元的稀疏ULAz1出現(xiàn)了嚴(yán)重的測向模糊。但增加一個陣元后，陣列z2極大的抑制了虛假譜峰，基本實現(xiàn)了測向解模糊。可見，所提方法能夠有效地解決稀疏陣列的模糊問題，并且陣列形式更加靈活，有利于工程實現(xiàn)。

實驗3 DOA估計性能比較

從圖7(a)和圖7(b)可知，當(dāng)5個信源入射時，半波長均勻陣列已經(jīng)不能有效的分辨出信號的個數(shù)。而本文方法仍能夠分辨多個入射信號，具有更好的多目標(biāo)分辨能力。從圖7(c)和圖7(d)可知，當(dāng)2個信源以θ2=(30°,32°)入射時，角度差為2°時，半波長均勻陣列因為信源角度差較小，不能準(zhǔn)確估計信源入射角，測向精度較低。而本文方法保留了稀疏陣列孔徑大的特點，準(zhǔn)確估計出信源入射角，具有更高的測向精度。

實驗4 DOA估計性能統(tǒng)計分析

采用與上一節(jié)相同的陣列。一遠(yuǎn)場信源以θ=30°入射到兩陣列上。均方根誤差

(20)

式中，L代表蒙特卡洛實驗的次數(shù)，進(jìn)行300次蒙特卡洛實驗，可得到如圖8所示結(jié)果。

從圖8(a)可知，在低信噪比條件下，半波長均勻陣列的均方根誤差較大，測向精度顯著下降。而本文方法在低信噪比條件下，仍能準(zhǔn)確實現(xiàn)DOA估計。當(dāng)信噪比較高時，本文方法比傳統(tǒng)的陣元間距為半波長的陣列DOA估計精度更高。從圖8(b)可知，所提方法本文所提方法在快拍數(shù)域全面優(yōu)于半波長均勻陣列。

4 結(jié)論

本文提出了基于矢量修正的稀疏陣列測向解模糊方法。該方法通過推導(dǎo)陣元相對位置與稀疏陣列角度估計之間的關(guān)系，分析了陣元相對位置的最大公約數(shù)對MUSIC算法測向性能的影響，利用在稀疏均勻線陣特定位置添加新的陣元的方法，對原陣列的導(dǎo)向矢量進(jìn)行修正，解決了稀疏陣列的測向模糊的問題。仿真實驗結(jié)果表明，該方法不僅保留了稀疏陣大孔徑的優(yōu)點，提高了多信號分辨能力和測向精度，并且在低信噪比和小快拍條件下性能較好。

[1]Schmidt R O. Multiple emitter location and signal parameter esti-mation[J]. IEEE Trans. Antennas and Prop, 1986, 34(3):276-280.

[2]Cheng Qian, Lei Huang. Improved unitary root-MUSIC for DOA estimation based on pseudo-noise resampling[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2014, 21(2):140-144.

[3]Pascal Vallet, Xavier Mestre, Philippe Loubaton. Performance analysis of an improved MUSIC DOA estimator[J]. IEEE Trans on Signal Processing, 2015, 63(23):6407-6422.

[4]Low-complexity DOA estimation based on compressed MUSIC and its performance analysis[J]. IEEE Trans on Signal Processing, 2013, 61(8):1915-1930.

[5]Khan D, Bell K L. Analysis of DOA estimation performance of sparse linear arrays using the Ziv-Zakai bound[J]. IEEE Radar Conference, 2010:746-751.

[6]Pal P, Vaidyanathan P P. Nested arrays: a novel approach to array processing with enhanced degrees of freedom[J]. IEEE Trans. on Signal Processing, 2010, 58(8): 4167-4181.

[7]Keyong Han Arye Nehorai. Improved source number detection and direction estimation with nested arrays and ULAs using jackknifing[J]. IEEE Trans on Signal Processing, 2013, 61(26): 6118-6128.

[8]Keyong Han Arye Nehorai. Nested array processing for distributed sources[J]. IEEE Signal Processing Letters, 2014, 21(7):1111-1114.

[9]Si Qin, Yimin D Zhang. Generalized coprime array configurations for direction-of-arrival estimation[J].IEEE Trans on Signal Processing,2015,63(6):1377-1390.

[10]Elie BouDaher, YongJia. Multi-frequency co-prime arrays for high-resolution direction-of-arrival estimation[J]. IEEE Trans on Signal Processing, 2015, 63(5):3797-3808.

[11]Stoica P, Nehorai A. MUSIC, maximum likelihood, and Cramer-Rao bound[J]. ICASSP, 1988, 21(4): 2296-2299.

[12]Manikas A. Differential geometry in array processing[M]. London: Imperial CollegePress, 2004.

[13]郭躍,王宏遠(yuǎn),周陬.陣元間距對MUSIC算法的影響[J].電子學(xué)報, 2007, 35(9):1675-1679.