蔡 偉 宋先海*② 袁士川 胡 瑩

(①中國地質(zhì)大學(xué)地球物理與空間信息學(xué)院，湖北武漢 430074；②中國地質(zhì)大學(xué)(武漢)湖北省地球內(nèi)部多尺度成像重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北武漢 430074)

1 引言

瑞雷波勘探[1]具有無損、高效、經(jīng)濟(jì)等特點(diǎn)，越來越受到淺地表地球物理和地質(zhì)工程界的重視。瑞雷波是一種由縱波和橫波干涉形成、并沿自由表面?zhèn)鞑サ牟ǎ哂兴p速度慢、信噪比高、抗干擾能力強(qiáng)以及在層狀介質(zhì)中產(chǎn)生頻散等特點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用于獲取淺地表、巖石圈或地幔的橫波(S波)速度結(jié)構(gòu)信息[2-4]、近地表地層的品質(zhì)因子[5]、路基壓實(shí)度[6]等。諸多學(xué)者也對其進(jìn)行了研究，如瑞雷波反演[7-9]、瑞雷波數(shù)值模擬研究[10-13]、利用群速度估計(jì)淺地表橫波速度[14,15]等。

瑞雷波勘探可分為三個過程：面波數(shù)據(jù)采集[16]、拾取頻散曲線[17]和頻散曲線反演[18,19]。在正確拾取瑞雷波頻散曲線之后，其反演是獲取可靠的近地表S波速度剖面的關(guān)鍵步驟[20]。多數(shù)局部線性化優(yōu)化方法已被用于反演瑞雷波頻散曲線，并且在各種商業(yè)軟件中占據(jù)主導(dǎo)地位，如最速下降法、L-M算法的最小二乘法等。然而，與大多數(shù)其他地球物理問題一樣，瑞雷波頻散曲線反演是高度非線性、多參數(shù)、多極值的。因此，局部線性化的方法易收斂到局部極小值，是否成功在很大程度上取決于初始模型的選擇以及偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算的準(zhǔn)確性。為了克服這種局限性，蒙特卡洛法、遺傳算法、模擬退火法[21]等全局優(yōu)化方法被廣泛應(yīng)用于瑞雷波頻散曲線的反演中。

粒子群優(yōu)化(Particle Swarm Optimization,PSO)算法是由Kennedy等[22]于1995年提出的，它是一種全局優(yōu)化策略，模擬在鳥群(粒子)搜尋食物中觀察到的群體行為，并通過簡單的搜索策略不斷地更新位置與速度，引導(dǎo)算法搜索到最優(yōu)解。近幾年來，PSO已成為最流行的自然啟發(fā)優(yōu)化算法之一，并引起了諸多學(xué)者的關(guān)注，他們試圖以改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法參數(shù)的方式獲得理想的優(yōu)化效果。Shi等[23]在原始的PSO算法中引入慣性權(quán)重增強(qiáng)其搜索能力；Clerc[24]引入了收縮因子以降低PSO的不穩(wěn)定性。

PSO是一種新穎有效的優(yōu)化方法，并在地震勘探中得到了較好的應(yīng)用[25-27]。筆者嘗試將PSO算法應(yīng)用到近地表瑞雷波頻散曲線的反演中。為了評價(jià)PSO算法對瑞雷波數(shù)據(jù)反演的有效性與穩(wěn)定性，首先對三個典型地質(zhì)模型的理論頻散曲線進(jìn)行反演，并分析算法的抗噪能力。然后，用模擬退火(Simulated Annealing,SA)法與PSO進(jìn)行對比，分析兩種方法的優(yōu)劣。最后，反演了來自美國懷俄明州某地區(qū)的實(shí)測數(shù)據(jù)[5]，以檢驗(yàn)PSO算法對瑞雷波頻散曲線反演的適用性。理論模型試算與實(shí)測資料分析的結(jié)果表明，PSO反演瑞雷波數(shù)據(jù)具有快速、穩(wěn)定、適用性強(qiáng)的特點(diǎn)，可有效地對瑞雷波頻散曲線進(jìn)行定量解釋。

2 PSO算法的基本原理

PSO算法是一種基于迭代的優(yōu)化方法，可對許多不同領(lǐng)域的問題進(jìn)行優(yōu)化，它的基本概念源于對鳥群捕食行為的研究[22]。PSO是一種簡單、直觀、多功能的算法，具有非常好的收斂性質(zhì)，它可以在較大的搜索空間中找到最優(yōu)解，且節(jié)省時間。PSO的工作原理如下。

(1)個體或粒子由向量表示，其長度為優(yōu)化問題的自由度。

(2)開始時，在搜索范圍內(nèi)隨機(jī)地初始化粒子群位置和速度，并計(jì)算每個粒子的適應(yīng)度值。

(3)每個粒子都記憶自己的最優(yōu)位置，隨著時間的推移，粒子將通過跟蹤兩個極值來更新自己：單個粒子的最優(yōu)位置稱為個體極值點(diǎn)(用p表示)；所有粒子的個體極值中的最優(yōu)位置稱為全局極值點(diǎn)(用g表示)。

粒子的速度和位置的更新方程為[22]

(1)

以上是基本的PSO算法，現(xiàn)已提出了許多改進(jìn)策略來克服PSO在后期搜索速度慢等缺點(diǎn)。其中最具代表性的是Shi等[23]引入了慣性權(quán)重，即對速度更新方程加慣性權(quán)重ω，稱之為標(biāo)準(zhǔn)PSO(SPSO)算法，其速度和位置更新方程為

(2)

在PSO中，用慣性權(quán)重ω控制前面的速度對當(dāng)前速度的影響，較大的ω可以加強(qiáng)PSO算法的全局搜索能力，而較小的ω能加強(qiáng)局部搜索能力?；綪SO算法是ω=1的情況，因此在后期缺少局部搜索能力，從而導(dǎo)致解的精度不高。文中采用自組織調(diào)整慣性權(quán)重ω的策略，該策略使PSO在前期具有較大的ω，從而使PSO具有較好的全局搜索能力；并在后期具有較小的ω，從而使PSO具有良好的局部搜索能力，以提高解的精度。自組織的慣性權(quán)重定義如下

(3)

其中：k為當(dāng)前的迭代次數(shù)；K為最大迭代次數(shù)；ωs和ωe分別為初始的和終止的慣性權(quán)重。在本文中ωs取0.9，ωe取0.4。

另外，Clerc[24]研究發(fā)現(xiàn)，收縮因子有助于確保PSO算法收斂，即將粒子群速度更新方程表述為

(4)

引入收縮因子能確保系統(tǒng)行為最終收斂，可以有效搜索不同區(qū)域，能得到高質(zhì)量的解。將ω和χ兩種策略綜合起來，可形成帶ω和χ線性遞減的PSO(W-K-PSO)算法。其速度更新方程為

(5)

3 理論模型試算

在瑞雷波勘探的實(shí)際應(yīng)用中，基階波能量較強(qiáng)、較易觀測到，分布也較廣泛，故本文采用基階波頻散曲線反演橫波速度結(jié)構(gòu)。Xia等[7]的研究表明，與瑞雷波頻散曲線特征變化關(guān)系最密切的是地層的橫波速度和地層厚度，其次是泊松比和地層密度。因此，為減少反演時的計(jì)算量及其他參數(shù)的影響，本文只反演橫波速度和地層厚度，而泊松比、密度這些參數(shù)假定是已知的。另外，在實(shí)際應(yīng)用中，通常沒有足夠的先驗(yàn)信息估計(jì)淺地表的橫波速度和地層厚度。為了更符合實(shí)際情況，使用了較寬的模型參數(shù)搜索范圍。在后面所有的理論模型測試中，搜索區(qū)域的下限和上限設(shè)定為與真實(shí)值相差50%或更大。使用相同的PSO反演參數(shù)對理論模型的無噪聲、含噪聲數(shù)據(jù)以及實(shí)測數(shù)據(jù)進(jìn)行20次獨(dú)立反演測試。反演參數(shù)設(shè)置為：種群粒子xi=(V1,V2,…，Vj，…，VL,H1,H2,…,Hj，…，HL-1)。其中：Vj是第j層橫波速度；Hj是第j層地層厚度；L為地層層數(shù)，種群粒子的自由度為N=2×L-1。本文采用的理論模型均為4層模型，故L=4、N=7，種群數(shù)量設(shè)置為5×N， 迭代次數(shù)為100， 加速系數(shù)分別為：c1=2，c2=2。在實(shí)際中也可適當(dāng)增大c1，減小c2，盡量滿足3.0≤c1+c2≤4.0，如果c1與c2設(shè)置不當(dāng)，則容易使算法早熟收斂，導(dǎo)致反演失敗。

瑞雷波頻散曲線反演的過程是一個求解目標(biāo)函數(shù)最小值的優(yōu)化問題。反演的目標(biāo)函數(shù)為相速度實(shí)測值與理論值的均方差(RMS)，即

(6)

為了檢驗(yàn)和評價(jià)PSO的有效性和穩(wěn)定性，使用了三個理論地質(zhì)模型。這些模型可用于模擬淺層工程勘察中經(jīng)常遇到的實(shí)際地質(zhì)模型。表1所示的模型A是一個橫波速度遞增型的四層地質(zhì)模型；表2所示的模型B是一個含有低速軟夾層的四層地質(zhì)模型，比如常見的路面結(jié)構(gòu)；表3所示的模型C是一個含有高速硬夾層的四層地質(zhì)模型。對于模型A和C，在5～100Hz的頻率范圍內(nèi)計(jì)算基階模式頻散曲線。但對于模型B，只在5～60Hz范圍內(nèi)計(jì)算基階模式頻散曲線，因?yàn)閷?shí)際上在高于60Hz的頻率范圍內(nèi)，模型B的基階波是觀察不到的。

表1 模型A：四層速度遞增型地質(zhì)模型參數(shù)及反演搜索范圍

表2 模型B：四層含低速軟夾層地質(zhì)模型參數(shù)及反演搜索范圍

表3 模型C：四層含高速硬夾層地質(zhì)模型參數(shù)及反演搜索范圍

3.1 無噪聲理論數(shù)據(jù)反演分析

首先采用PSO對無噪聲的理論數(shù)據(jù)進(jìn)行反演，模型A、B和C的反演結(jié)果分別如圖1～圖3與表4～表6所示，表中參數(shù)VSi表示第i層的橫波速度，Hi表示第i層的厚度?？梢园l(fā)現(xiàn)即使在沒有足夠的橫波速度和厚度的先驗(yàn)信息的情況下，PSO反演模型的模型響應(yīng)仍然和真實(shí)模型的頻散曲線幾乎完全擬合(圖1a、圖2a、圖3a)，且各個模型的真實(shí)值均被PSO精確地反演和重建(圖1b、圖2b、圖3b)。模型A、B、C的模型參數(shù)平均相對誤差分別為2.04%、1.86%、0.67%。由此可見，PSO可以有效地對理論瑞雷波頻散曲線進(jìn)行反演。

3.2 含噪聲理論數(shù)據(jù)反演分析

在實(shí)際應(yīng)用中，拾取的瑞雷波相速度不可避免地存在噪聲[20]，數(shù)據(jù)噪聲會導(dǎo)致反演算法的不穩(wěn)定，還會導(dǎo)致反演算法找到的解并不是真正的解，為了檢驗(yàn)和評價(jià)含噪聲的瑞雷波數(shù)據(jù)對PSO性能的影響，在前面設(shè)計(jì)的3個理論模型中分別加入10%的白噪聲作為隨機(jī)擾動，然后分別進(jìn)行反演。

圖1 模型A的不含噪聲理論數(shù)據(jù)的反演結(jié)果 (a)不含噪聲數(shù)據(jù)(實(shí)心圓點(diǎn))和反演模型頻散曲線(實(shí)線)； (b)搜索范圍的下界和上界(虛線)、 真實(shí)模型(點(diǎn)虛線)、帶有標(biāo)準(zhǔn)差的反演模型橫波速度剖面(實(shí)線)

圖2 模型B的不含噪聲理論數(shù)據(jù)的反演結(jié)果 (a)不含噪聲數(shù)據(jù)(實(shí)心圓點(diǎn))和反演模型頻散曲線(實(shí)線)； (b)搜索范圍的下界和上界(虛線)、 真實(shí)模型(點(diǎn)虛線)、帶有標(biāo)準(zhǔn)差的反演模型橫波速度剖面(實(shí)線)

圖3 模型C的不含噪聲理論數(shù)據(jù)的反演結(jié)果 (a)不含噪聲數(shù)據(jù)(實(shí)心圓點(diǎn))和反演模型頻散曲線(實(shí)線)；(b)搜索范圍的下界和上界(虛線)、 真實(shí)模型(點(diǎn)虛線)、帶有標(biāo)準(zhǔn)差的反演模型橫波速度剖面(實(shí)線)表4 模型A：含噪聲與不含噪聲數(shù)據(jù)反演結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

參數(shù)真實(shí)值不含噪聲含10%噪聲反演結(jié)果相對誤差/(%)標(biāo)準(zhǔn)差反演結(jié)果相對誤差/(%)標(biāo)準(zhǔn)差VS1/(m·s-1)200.00199.940.030.43202.621.310.57VS2/(m·s-1)250.00251.700.6820.53265.996.4025.08VS3/(m·s-1)350.00353.801.0811.73351.110.3220.36VS4/(m·s-1)450.00450.100.020.53447.180.631.25H1/m3.002.942.020.343.165.430.41H2/m2.002.209.920.292.073.370.51H3/m5.005.030.560.514.813.840.67

表5 模型B：含噪聲與不含噪聲數(shù)據(jù)反演結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

表6 模型C：含噪聲與不含噪聲數(shù)據(jù)反演結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

加噪聲后的反演結(jié)果模擬響應(yīng)如圖4～圖6所示。從圖中可以看出，PSO在對含有噪聲的數(shù)據(jù)反演時仍具有較強(qiáng)的穩(wěn)定性，反演模型的頻散曲線均能較好地?cái)M合理論值的頻散曲線。模型A、B、C的模型參數(shù)平均相對誤差分別為3.04%、3.53%、2.54%(表4～表6)。由此可見，PSO反演瑞雷波頻散曲線具有良好的穩(wěn)定性。

為了檢驗(yàn)PSO的收斂性，需要分析在算法迭代過程中，最小目標(biāo)函數(shù)值是否隨著迭代次數(shù)逐漸減小。以模型C為例，對模型C的不含噪聲和含噪聲的理論數(shù)據(jù)反演迭代過程中最小目標(biāo)函數(shù)的變化進(jìn)行了分析，如圖7所示。由圖可見，最小目標(biāo)函數(shù)值在前20次迭代中快速收斂，然后逐漸收斂到零值附近(實(shí)心圓點(diǎn))或某一常數(shù)附近(實(shí)線)，這表明PSO已經(jīng)完成了對最優(yōu)解的搜索。由此可見，在無噪聲和有噪聲的情況下，PSO反演瑞雷波頻散曲線均具有較好的收斂性。

3.3 PSO與L-M算法和模擬退火算法的對比分析

為了比較PSO與常規(guī)優(yōu)化算法的搜索性能，本文選擇了非線性最小二乘法(Levenberg-Marquart，L-M)算法和模擬退火法與PSO進(jìn)行了對比。首先采用L-M算法對模型C的不含噪聲的理論數(shù)據(jù)進(jìn)行了兩次反演實(shí)驗(yàn)，反演時分別設(shè)置了不同的初始模型I1和I2，反演迭代次數(shù)均為20，且均已收斂，反演結(jié)果如表7和圖8a所示。當(dāng)初始模型為I1時，反演擬合殘差為1.0×10-6，其反演模型R1與真實(shí)模型幾乎完全一致，反演頻散曲線與真實(shí)頻散曲線也幾乎完全擬合。由此可見，當(dāng)初始模型設(shè)置為I1時，其反演具有較快的收斂速度和較高的反演精度。但當(dāng)初始模型設(shè)置為I2時，反演擬合殘差為3.44， 反演頻散曲線與真實(shí)曲線雖擬合較好，但擬合程度遠(yuǎn)不如初始模型為I1時的擬合程度，而且其反演模型R2與真實(shí)模型相差較大。由此可見，當(dāng)初始模型設(shè)置為I2時，反演收斂到了局部極小值附近，導(dǎo)致反演錯誤。通過以上論述可知， L-M算法的反演結(jié)果可靠性嚴(yán)重依賴于初始模型的選取，另外，L-M算法還涉及偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，雅可比(Jacobian)矩陣的求取精度也將直接影響反演結(jié)果的質(zhì)量，而PSO算法大大降低了對初始模型的要求，用于瑞雷波反演是相當(dāng)實(shí)用的。雖然PSO的計(jì)算效率不及L-M算法，但能確保反演模型的正確性，相對于易陷入局部極值的L-M算法來說，其反演精度得到了較大的提高。

圖4 模型A的含10%白噪聲理論數(shù)據(jù)的反演結(jié)果 (a)含噪聲數(shù)據(jù)(實(shí)心圓點(diǎn))和反演模型頻散曲線(實(shí)線)； (b)搜索范圍的下界和上界(虛線)、 C真實(shí)模型(點(diǎn)虛線)、帶有標(biāo)準(zhǔn)差的反演模型橫波速度剖面(實(shí)線)

圖5 模型B的含10%白噪聲理論數(shù)據(jù)的反演結(jié)果 (a)含噪聲數(shù)據(jù)(實(shí)心圓點(diǎn))和反演模型頻散曲線(實(shí)線)；(b)搜索范圍的下界和上界(虛線)、 真實(shí)模型(點(diǎn)虛線)、帶有標(biāo)準(zhǔn)差的反演模型橫波速度剖面(實(shí)線)

圖6 模型C的含10%白噪聲理論數(shù)據(jù)的反演結(jié)果 (a)含噪聲數(shù)據(jù)(實(shí)心圓點(diǎn))和反演模型頻散曲線(實(shí)線)；(b)搜索范圍的下界和上界(虛線)、 真實(shí)模型(點(diǎn)虛線)、帶有標(biāo)準(zhǔn)差的反演模型橫波速度剖面(實(shí)線)

然后，本文采用SA對模型A的不含噪聲的理論數(shù)據(jù)進(jìn)行了反演。為了更好地比較PSO和SA的性能，使用相同的搜索空間、群體大小和迭代次數(shù)進(jìn)行SA反演，反演結(jié)果和收斂曲線分別如表8和圖8b所示。由圖可見，PSO明顯比SA具有更快的收斂速度，而且PSO能收斂到零值附近，而SA收斂到2.5左右時似乎無法進(jìn)一步收斂，同時也導(dǎo)致SA不能獲得更精確的解，SA反演的模型參數(shù)的平均誤差為4.85%，而PSO的僅為2.04%。另外，本文對PSO和SA反演時間進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，發(fā)現(xiàn)SA耗費(fèi)的時間為PSO的4.17倍，由此可見，PSO比SA具有更高的計(jì)算效率、更快的收斂速度和更高的求解精度。

表7 模型C(不含噪聲)：PSO與L-M算法反演結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

表8 模型A(不含噪聲)：PSO與SA反演結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

圖8 不含噪聲數(shù)據(jù)PSO與L-M算法和SA的對比 (a)模型C的不含噪聲數(shù)據(jù)(實(shí)心圓點(diǎn))和反演模型頻散曲線(實(shí)線和虛線)； (b)模型A的不含噪聲數(shù)據(jù)PSO與SA的收斂過程的對比

4 實(shí)測資料分析

為了進(jìn)一步檢驗(yàn)PSO算法的適用性，利用PSO對Xia等[5]在美國懷俄明某地獲得的地震數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析(圖9)。采用48個8Hz垂直分量檢波器，道間距為0.9m，最小炮檢距為0.9m，震源采用錘擊震源。

由炮集記錄提取得到頻散能量圖(圖9b)，并從基階波能量上拾取實(shí)測數(shù)據(jù)(圖中黑色實(shí)心點(diǎn))，然后采用PSO對其進(jìn)行反演，與反演理論數(shù)據(jù)類似，只反演橫波速度和厚度、固定密度和泊松比。根據(jù)其測井?dāng)?shù)據(jù)，可將地層大致劃分為5個層位，然后根據(jù)測井資料的橫波速度范圍粗略估計(jì)PSO反演的模型搜索空間，并根據(jù)測井資料所反映的地下巖性來估計(jì)各層的泊松比和密度。模型搜索空間和泊松比以及密度的設(shè)置如表9所示。

利用PSO反演拾取的基階波相速度，其最小目標(biāo)函數(shù)隨迭代次數(shù)的變化如圖10b所示。由圖可見，算法在迭代100次之后已經(jīng)收斂。反演所獲得的該地區(qū)的橫波速度模型(圖10c中實(shí)線)與Xia反演的橫波速度模型(圖10c中帶方塊的實(shí)線)基本吻合，與測井資料(圖10c中帶空心圓的實(shí)線)在10m深度以內(nèi)吻合較好，但在10m深度以下反演模型與鉆孔資料差別較大，可能是由于瑞雷波頻散能量低頻段分辨率低，提取誤差較大所致。圖10a中的實(shí)線表示根據(jù)反演結(jié)果計(jì)算的相速度，其與測量值(圖10a中的實(shí)心點(diǎn))也十分吻合。由此可見，PSO反演瑞雷波頻散曲線具有良好的適用性。

圖9 懷俄明地區(qū)地震數(shù)據(jù)(a)與頻散能量圖(b)

圖10 懷俄明地區(qū)瑞雷波相速度反演結(jié)果 (a)實(shí)測數(shù)據(jù)(實(shí)心圓點(diǎn))與反演模型頻散曲線(實(shí)線)； (b)最小目標(biāo)函數(shù)值隨迭代次數(shù)的變化情況； (c) 測井值與反演模型剖面對比表9 PSO反演的模型搜索范圍及模型參數(shù)設(shè)置

層數(shù)橫波速度m/s厚度m泊松比密度g/cm31100～3001～50.382.02100～4001～50.382.03100～6001～50.352.04200～6001～50.352.05200～800∞0.302.0

5 結(jié)論

文中采用PSO對瑞雷波頻散曲線進(jìn)行了反演，反演中設(shè)置了較寬的模型搜索范圍來模擬實(shí)際應(yīng)用中沒有足夠先驗(yàn)信息的情況。首先采用無噪聲、含噪聲的理論數(shù)據(jù)對PSO進(jìn)行了有效性與穩(wěn)定性實(shí)驗(yàn)，然后將PSO與SA進(jìn)行了對比，分析了PSO的收斂效果，最后用來自美國懷俄明地區(qū)的實(shí)測數(shù)據(jù)檢驗(yàn)了PSO的適用性。理論數(shù)據(jù)和實(shí)測資料的反演實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：

(1)PSO是一個有效、穩(wěn)定、適用性強(qiáng)的全局優(yōu)化算法，可將其應(yīng)用于瑞雷波頻散曲線反演；

(2)PSO比傳統(tǒng)的全局優(yōu)化算法SA具有更快的收斂速度和更高的求解精度，從而可加快反演速度，使得反演結(jié)果更準(zhǔn)確、可靠。

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