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        一種修正的Kuster-Toks?z巖石物理模型及應(yīng)用

        2018-03-10 03:32:01劉致水孫贊東劉俊州劉致秀王亞靜
        石油地球物理勘探 2018年1期
        關(guān)鍵詞:干酪根橫波縱波

        劉致水 孫贊東 董 寧 劉俊州 劉致秀 王亞靜

        (①長安大學(xué)地質(zhì)工程與測繪學(xué)院,陜西西安 710054; ②中國石油大學(xué)(北京),北京 102249; ③中國石化石油勘探開發(fā)研究院,北京100083; ④中國石油東方地球物理公司,河北涿州 072751; ⑤慶陽職業(yè)技術(shù)學(xué)院,甘肅慶陽 745000)

        1 引言

        巖石物理模型是描述彈性參數(shù)與儲層特征之間關(guān)系的數(shù)學(xué)函數(shù)[1-3]。針對不同的地質(zhì)目標(biāo)和問題,前人提出了多種巖石物理理論和模型,包括基礎(chǔ)理論[2-7],針對碎屑巖[8-12]、碳酸鹽巖[13-18]、頁巖[19-22]等的應(yīng)用模型;其中Kuster-Toks?z(KT)模型[4]、微分等效介質(zhì)模型[2,3](DEM)比較經(jīng)典,應(yīng)用廣泛。KT模型能夠同時考慮多種具有不同形狀的包含物對彈性參數(shù)的影響,其中不同包含物之間的關(guān)系平等;它的缺點是認(rèn)為巖石中的包含物是“稀疏”存在的,也就是包含物含量不能太高[6-8,14,15]。DEM模型通過將包含物微分并多次加入巖石基質(zhì)中,從而不受“稀疏”含量包含物的限制。但是DEM模型只能考慮單一包含物類型,在處理多種類型包含物巖石的問題時,只能多次重復(fù)使用DEM公式[14],且計算結(jié)果依賴于包含物的添加順序[1]。

        針對上述問題,Kuster等[4]、Xu等[8]分別提出用微分等效的思想通過“迭代”的方式實現(xiàn)模擬,但是他們并未給出相應(yīng)的公式。尤其需要注意的是,這種模擬不是簡單地用KT公式迭代就可以得到真實值,在迭代過程中由于物質(zhì)的替換,參與計算的包含物含量和真實的包含物含量數(shù)值是不同的,如果僅僅用KT公式迭代計算,則得到的結(jié)果必然是錯誤的。李宏兵等[6]基于KT模型推導(dǎo)了一種微分格式的微分等效多孔隙巖石物理模型,進而得到了相應(yīng)的解析公式,但是其微分格式與DEM格式一致,計算過程中需要求解微分方程;且解析公式是針對空孔隙的,不能應(yīng)用于包含物體積模量和剪切模量不為零的情況,即不能用于計算固體包含物的情況,這極大地縮小了模型的應(yīng)用范圍,例如該模型不能將有機質(zhì)顆粒(干酪根)作為包含物考慮,從而使其很難應(yīng)用于富有機質(zhì)巖石。在富有機質(zhì)巖石中,干酪根的體積模量和剪切模量都較小[1,20]。一些學(xué)者[19-22]在構(gòu)建富有機質(zhì)巖石的巖石物理模型時將干酪根等效為固體顆粒,使用包含物模型表征干酪根對巖石速度的影響,這就需要能夠同時考慮多種不同形狀的固體和流體包含物、又不受“稀疏”含量包含物的限制的巖石物理模型。針對速度預(yù)測,Xu等[8]在KT模型基礎(chǔ)上,將巖石中的孔隙分為泥質(zhì)孔隙和砂質(zhì)孔隙,提高了速度預(yù)測的精度,但是假設(shè)泥質(zhì)孔隙、砂質(zhì)孔隙與巖石中的泥巖和砂巖含量成正比,這種假設(shè)在大多數(shù)情況下是沒有根據(jù)的。Xu等[15]針對碳酸鹽巖,將巖石中的孔隙細(xì)分為泥質(zhì)孔隙、印??住⒘ig孔、微裂隙,使用這種復(fù)雜的孔隙類型進行速度預(yù)測得到較好的效果,但是每種孔隙在孔隙度中的體積分?jǐn)?shù)很難準(zhǔn)確求取,使該方法缺乏嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)基礎(chǔ)。

        本文將微分等效思維引入KT巖石物理模型,得到一個適用于高濃度包含物的修正Kuster-Toks?z巖石物理模型,并給出了計算過程中所使用的“計算包含物體積含量”與巖石中真實包含物體積含量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。利用所建立的新巖石物理模型,構(gòu)建了考慮干酪根與孔隙兩種包含物的富有機質(zhì)巖石速度預(yù)測流程,其中干酪根分為球形顆粒與硬幣狀顆粒,兩種顆粒之比固定;包含流體孔隙分為球形孔隙與硬幣狀孔隙,計算過程中兩種孔隙類型的體積比可變(自適應(yīng)),在縱波速度的約束下可求得孔隙類型的含量,最后通過孔隙類型體積比求取橫波速度。

        2 基本原理

        (1)

        (2)

        (3)

        (4)

        硬幣狀裂縫孔隙或包含物的形狀因子為

        (5)

        (6)

        在KT模型中,假設(shè)包含物隨機分布,以使其等效為各向同性。通過把包含物模量設(shè)為零模擬干巖石,把包含物的剪切模量設(shè)為零模擬流體飽和巖石。

        KT模型有兩個限制條件: 其一為模擬的是高頻條件下飽和巖石的屬性,適用于超聲實驗室條件; 其二為要求包含物是“稀疏”的,也就是包含物體積含量不能太大。對于第一個限制,公認(rèn)且有效的做法是通過引入Gassmann方程[23]以得到低頻條件下的巖石彈性模量[14]; 對于第二個限制,本文引入微分等效的思想,其基本過程(圖1)為: 將包含物劃分為N小份(極小量),分為N次加入巖石基質(zhì)中,每一小量代表不同的成分與形狀,每次加入后包含物相替代同體積分?jǐn)?shù)的基質(zhì)相,從而形成混合相,將這個混合相作為新的基質(zhì)相以進行下一次迭代,重復(fù)N次直到加入的包含物相體積分?jǐn)?shù)達(dá)到真實值。

        式(1)和式(2)可以被重寫為

        (7)

        (8)

        圖1 多種包含物微分等效介質(zhì)巖石物理模型的等效過程示意圖

        (9)

        (10)

        進而可寫為

        (11)

        (12)

        每次迭代都可以看作使用小量的包含物替代巖石背景基質(zhì),迭代完成后,包含物隨機分散在巖石基質(zhì)中。除第一次迭代外,新加入的包含物所替代的不只是巖石基質(zhì),也有包含物的一部分,而本質(zhì)上新加入包含物需要替代的物質(zhì)只能是巖石基質(zhì)。因此,每次加入基質(zhì)中的包含物y不是真實的包含物體積含量分量(dVt),僅有(1-Vt)y對迭代過程中的真實包含物體積含量分量dVt有貢獻,即每次迭代過程中的真實包含物體積含量的變化量為

        dVt=(1-Vt)y

        (13)

        那么,巖石中的真實包含物體積含量與y之間的關(guān)系為

        Vt=1-e-∑y

        (14)

        式中∑y稱為“計算包含物體積含量”。如果迭代次數(shù)為N,那么上式為

        Vt=1-e-Ny

        (15)

        此時,“計算包含物體積含量”為Ny,y可寫為

        (16)

        圖2為真實包含物體積含量(Vt)與“計算包含物體積含量(Ny)”之間的關(guān)系曲線。由圖可見,當(dāng)包含物含量小于0.1時,兩者差距較?。浑S著真實包含物體積含量的增大,所需要的計算包含物體積含量數(shù)值越大。

        圖2 真實包含物與計算包含物體積含量關(guān)系曲線

        表1 不同孔隙度與孔隙形狀條件下體積模 量計算精度達(dá)到0.001所需迭代次數(shù)

        表2 不同孔隙度與孔隙形狀條件下剪切模 量計算精度達(dá)到0.001所需迭代次數(shù)

        3 模型對比分析

        使用兩組數(shù)值進行計算,對比新模型與KT模型之間的差別。

        第一組:往砂巖基質(zhì)孔隙中加入氣體,其中砂巖基質(zhì)體積模量為37GPa,剪切模量為44GPa;孔隙流體的體積模量Kf為0.01GPa;分別對球形孔、硬幣狀裂縫孔隙進行模擬,硬幣狀裂縫的孔隙縱橫比分別設(shè)為0.01、0.05、0.70、1.00,此時式(9)~式(12)中M=1,式(16)中真實包含物體積含量為孔隙度φ; 數(shù)值模擬中假設(shè)孔隙度為0~100%,需要注意的是,真實巖石中的孔隙度不能大于臨界孔隙度[5]。數(shù)值模擬結(jié)果如圖3所示:當(dāng)孔隙度較小時,新模型與KT模型一致,例如針對孔隙縱橫比為0.01的硬幣狀裂縫孔隙,在孔隙度小于5%時兩者基本一致;隨著孔隙度增大,新模型與KT模型的差距變大,與KT模型相比,新模型在高孔隙度時可以得到更合理的值。一種極端情況是當(dāng)孔隙度為100%時,真實值應(yīng)該是孔隙包含物的參數(shù),新模型可以得到真實值,而KT模型所計算的結(jié)果不等于包含物的參數(shù),這顯然是不對的。

        第二組:往頁巖基質(zhì)中加入干酪根顆粒,頁巖基質(zhì)體積模量為39.54GPa,剪切模量為25.68GPa;干酪根顆粒體積模量為2.9GPa,剪切模量為2.7GPa[1];分別對球形顆粒、硬幣狀顆粒進行模擬,硬幣狀顆粒的縱橫比分別為0.01、0.05、0.70、1.00,此時式(9)~式(12)中M=1,式(16)中Vt是干酪根體積含量;數(shù)值模擬中假設(shè)干酪根體積含量為0~100%。數(shù)值模擬結(jié)果如圖4所示,其結(jié)果與圖3一致。

        圖3 不同孔隙形狀時KT模型與新模型正演結(jié)果對比 (a)體積模量; (b)剪切模量

        圖4 不同干酪根顆粒形狀時KT模型與新模型正演結(jié)果對比 (a)體積模量; (b)剪切模量

        4 模型在富有機質(zhì)巖石中的應(yīng)用

        富有機質(zhì)巖石的成分包括礦物、干酪根、飽和流體孔隙。干酪根的物理參數(shù)較為特殊,如表3所示:干酪根的體積模量、密度與石英、方解石、黏土等礦物相差較大,與水接近;但是它具有剪切模量,又與流體不同。本文將干酪根等效為巖石中的一種包含物,與飽和流體孔隙一同加入巖石基質(zhì)中,從而進行富有機質(zhì)巖石的速度預(yù)測。

        利用Vernik等[24]在超聲實驗室針對干巖石測量的數(shù)據(jù)(70MPa圍壓環(huán)境)說明干酪根、孔隙對富有機質(zhì)巖石速度的影響并測試新模型。本文使用了其測量的59個干巖石樣品數(shù)據(jù)中的51個,未使用縱、橫波速度較高的8個樣品。所使用的51個樣品的干酪根含量為1.4%~42.3%,孔隙度為0.6%~30.9%。圖5是樣品的縱波速度、橫波速度與孔隙度、干酪根含量交會圖。由圖可見:在干酪根含量近似不變時(例如深藍(lán)色時),隨著孔隙度的增加,巖石的縱、橫波速度整體呈減小趨勢;在孔隙度近似不變時(例如孔隙度接近0),可非常明顯地看到隨干酪根含量的增加,巖石的縱、橫波速度減小。此外,縱、橫波速度數(shù)據(jù)點較分散,例如圖中用直線段標(biāo)注的五個數(shù)據(jù)點,其孔隙度近10.0%,而縱波速度在3.2~5.1km/s范圍內(nèi)變化,橫波速度在2.1km/s~3.1km/s范圍內(nèi)變化,本文認(rèn)為這種速度分散是由孔隙形狀及干酪根顆粒形狀的變化所引起。

        表3 巖石組成成分的彈性參數(shù)和密度[1]

        Xu等[8]將孔隙分為柔性孔隙與剛性孔隙,使用Wu[25]的橢球體模型表征孔隙類型(孔隙縱橫比的大小表征孔隙的形狀),其中剛性孔隙的孔隙縱橫比為0.12~0.15,柔性孔隙的孔隙縱橫比為0.02~0.03。剛性孔隙與柔性孔隙的體積比與巖石中砂巖/泥巖體積比一致。本文將頁巖中的干酪根和孔隙等效為具有一定形狀的包含物,其中干酪根體積含量(Vk)等效為由剛性顆粒(Vks)與柔性顆粒(Vkc)組成,將孔隙度(φ)等效為由剛性孔隙度φs與柔性孔隙度φc組成,其中剛性顆粒和孔隙使用多種孔隙理論[1]中的球型包含物表征,柔性顆粒和孔隙使用硬幣形狀包含物表征(顆粒及孔隙縱橫比取0.02)。理論上通過新模型可以考慮多種包含物及孔隙類型,但是難點為需要知道每種類型包含物各自的體積分?jǐn)?shù)。

        圖5 富有機質(zhì)巖石的縱波速度(a)、橫波速度(b)與孔隙度、干酪根含量的交會圖(數(shù)據(jù)來自文獻[24])

        由圖5可見,干酪根含量較高(暖色表征)時,縱波與橫波速度的分散性較低,因此假定速度分散主要由孔隙形狀的變化引起,在計算中固定剛性干酪根顆粒Vks與柔性干酪根顆粒Vkc的比例,而剛性孔隙與柔性孔隙的體積比是可變(自適應(yīng))的。經(jīng)過多次試算并求取預(yù)測值相對于實際值的均方根誤差(RMSE),本文最終選擇剛性干酪根顆粒與柔性干酪根顆粒的比例為1∶1。圖6為縱、橫波的均方根誤差隨剛性干酪根顆粒在干酪根總量中的占比Vks的變化(間隔為-0.05)。由圖6可見,在1~0之間,縱波的RMSE有兩個極小值:當(dāng)Vks=0.75時縱波的均方根誤差為0.0606km/s,其所對應(yīng)的橫波均方根誤差為0.0812km/s;當(dāng)Vks=0.5時縱波的均方根誤差為0.0607km/s,其所對應(yīng)的橫波均方根誤差為0.0772km/s。因此本文選擇Vks=0.5(即剛性干酪根顆粒與柔性干酪根顆粒相等)進行計算。

        圖6 縱、橫波速度的均方根誤差隨剛性 干酪根顆粒的體積比Vks的變化

        此時,式(15)中Vt指孔隙度φ與干酪根體積含量Vk之和;式(9)~式(12)中M=4,包含物體積分?jǐn)?shù)Vi有四個:球形干酪根顆粒V1、硬幣狀干酪根顆粒V2、球形孔隙V3、硬幣狀孔隙V4,其具體表達(dá)式為

        (17)

        (18)

        (19)

        (20)

        式中:Vks+Vkc=1,本文Vks、Vkc取值均為0.5;φc+φs=1,φc與φs體積比可變。

        利用式(11)、式(12)、式(16)及式(17)~式(20),將干酪根顆粒和孔隙(含流體孔隙或干孔隙)加入巖石基質(zhì)中,得到體積模量K和剪切模量G,則巖石的縱波速度和橫波速度可以表示為

        (21)

        (22)

        式中ρ=ρm(1-φ-Vk)+ρfφ+ρkVk,ρm、ρk、ρf分別指巖石基質(zhì)、干酪根、孔隙中流體的密度,在干巖石中ρf取為零。需要說明的是,通過上述過程得到的是超聲波條件下的高頻速度,要得到低頻條件下的飽和流體巖石速度,則須利用式(11)~式(16)以及式(17)~式(20)獲得干燥空腔的等效模量,再利用Gassmann理論往空腔中加入流體。

        圖7為利用上述富有機質(zhì)巖石速度計算流程正演結(jié)果與實測數(shù)據(jù)的對比。由圖可知:當(dāng)孔隙度不變、干酪根含量增加時,巖石的速度降低;在干酪根含量不變、孔隙度增加時,巖石的速度降低;隨著球形孔隙含量的降低,巖石的速度降低。通過孔隙度、干酪根含量的變化,可以覆蓋所有數(shù)據(jù)點,即新模型可以解釋測量數(shù)據(jù)的孔隙度—干酪根含量—速度之間的關(guān)系。

        這樣,就建立了縱、橫波速度與可變的孔隙參數(shù)(φc、φs)之間的關(guān)系,通過使計算的縱波速度vPcal與實測的縱波速度vPmea之差達(dá)到最小來建立目標(biāo)函數(shù)

        ε=|vPcal-vPmea|

        (23)

        采用迭代算法使該式取極小值以反演得到孔隙參數(shù)(φc和φs)。計算過程中需要輸入的數(shù)據(jù)包括干酪根體積含量Vk、孔隙度φ、基質(zhì)體積含量1-Vk-φ; 輸入的參數(shù)還包括: 頁巖基質(zhì)體積模量為39.54GPa、剪切模量為25.68GPa、密度為2.64g/cm3,干酪根顆粒體積模量為2.9GPa、剪切模量為2.7GPa、密度為1.3g/cm3,孔隙中氣體的體積模量為0.18GPa、密度為0.26g/cm3。包含物總數(shù)M設(shè)為4,迭代次數(shù)N設(shè)為200。最終,將這些參數(shù)代入式(9)~式(16)以計算橫波速度。計算過程中取ε=0.005為約束量。圖8為預(yù)測縱波與實測縱波交會圖,圖中位于對角線上的數(shù)據(jù)點代表預(yù)測速度與實測速度之間吻合度高。由圖可見,新模型與KT模型所得縱波差別較小,絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)點實測縱波速度與計算縱波速度吻合度高。有幾個點的實測數(shù)據(jù)與預(yù)測數(shù)據(jù)不吻合,超出了約束量范圍,其原因是所取的基質(zhì)參數(shù)、干酪根顆粒的形狀與該數(shù)據(jù)點的情況差別較大,孔隙度、孔隙類型、干酪根含量的變化不足以消除這種影響,說明在實際應(yīng)用中,需要根據(jù)具體的研究對象選擇基質(zhì)參數(shù)以及干酪根顆粒形狀。

        圖9顯示了新模型和KT模型所得到的球形孔隙和硬幣狀孔隙在包含物中所占的體積分?jǐn)?shù)。由圖可見:①KT模型所得結(jié)果中球形孔隙體積分?jǐn)?shù)或硬幣狀孔隙體積分?jǐn)?shù)為零的情況多于新模型,說明KT模型在孔隙變化范圍內(nèi)不能達(dá)到縱波約束量的情況多于新模型,這與圖8結(jié)果一致;②小孔隙巖樣所得的球形孔隙體積分?jǐn)?shù)或硬幣狀孔隙體積分?jǐn)?shù)差別不大,對于大孔隙度巖樣,新模型所得球形孔隙體積分?jǐn)?shù)小于KT模型結(jié)果,所得硬幣狀孔隙體積分?jǐn)?shù)略大于KT模型結(jié)果,說明新模型在剛性孔隙含量較少的情況下得到了準(zhǔn)確的速度預(yù)測結(jié)果,這與圖3、圖4正演結(jié)果一致。

        圖10為新模型和KT模型預(yù)測橫波與實測橫波結(jié)果的對比。圖中的點離對角線越近表明預(yù)測速度與實測速度之間的吻合度越高。顯然,新模型所得預(yù)測速度與實測速度吻合度高(圖10a)。

        圖7 基于新模型的縱波速度(a)和橫波速度(b)正演結(jié)果

        其中紅線表示基質(zhì)中加入5%的干酪根顆粒,縱、橫波速度隨孔隙度(0~40%,干孔隙空腔)的變化,黑線表示基質(zhì)中加入40%的干酪根顆粒,縱、橫波速度隨孔隙度(0~40%)的變化。從上到下的六條紅線和黑線分別代表球型孔隙體積比(φs)為100%、80%、60%、40%、20%、0

        圖8 縱波速度約束計算的結(jié)果與實測結(jié)果對比 (a)新模型; (b)KT模型

        圖9 新模型與KT模型計算的硬幣狀裂縫孔隙與球形孔隙占包含物總量的體積分?jǐn)?shù) (a)新模型硬幣狀孔隙; (b)新模型球形孔隙; (c)KT模型硬幣狀孔隙; (d)KT模型球形孔隙

        圖10 預(yù)測的橫波速度與實測橫波速度交會圖 (a)新模型; (b)KT模型

        5 結(jié)論

        本文將微分等效思維引入KT模型,提出了一種適用于高濃度包含物的修正Kuster -Toks?z巖石物理模型。該巖石物理模型保留了KT模型能夠同時考慮多種包含物類型對彈性參數(shù)的影響的優(yōu)點,又適合于高濃度包含物的情況。將該模型應(yīng)用于富有機質(zhì)巖石中,將孔隙和干酪根固體顆粒作為包含物同時加入巖石基質(zhì),結(jié)果證明新模型比KT模型更適合于包含物(孔隙和干酪根固體)濃度較高的情況;利用建立的巖石物理模型對實驗室測試的富有機質(zhì)巖石資料進行橫波速度預(yù)測,干酪根顆粒采取固定比例的球形與硬幣狀組合,孔隙采取可變的球形與硬幣形狀組合,在縱波速度的約束下預(yù)測橫波速度,結(jié)果證明,與KT模型相比,新模型的預(yù)測誤差更小。

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