戴龍珍, 張 星,*(1. 中國(guó)科學(xué)院力學(xué)研究所, 北京 100190; 2. 中國(guó)科學(xué)院大學(xué) 工程科學(xué)學(xué)院, 北京 100049)

0 引 言

很多生物在飛行和游動(dòng)中均采用主動(dòng)驅(qū)動(dòng)和被動(dòng)滑行交替(flap-and-glide/burst-and-coast)的間歇式推進(jìn)[1-9]。一些已有的研究表明，在移動(dòng)同樣距離的條件下，間歇式驅(qū)動(dòng)的游動(dòng)可以有效地節(jié)省能量消耗[2,3,6,10-15]。間歇式驅(qū)動(dòng)的飛行與游動(dòng)問(wèn)題又可細(xì)分為兩大子類，它們的節(jié)能機(jī)理也不盡相同。

第一類問(wèn)題中動(dòng)物的身體密度大于所處的流體介質(zhì)(如鳥(niǎo)類和一些水生哺乳動(dòng)物)。動(dòng)物采用間歇式驅(qū)動(dòng)和上下起伏的運(yùn)動(dòng)軌跡，可以有效地利用重力勢(shì)能來(lái)增大水平移動(dòng)的距離[1-2]。第二類問(wèn)題中動(dòng)物的身體密度和所處的流體介質(zhì)接近(如某些魚(yú)類)。這類間歇式驅(qū)動(dòng)的節(jié)能機(jī)理則包括黏性和無(wú)黏兩種。

黏性機(jī)理又稱為Bone-Lighthill 邊界層薄化假設(shè)，即主動(dòng)游動(dòng)比滑行時(shí)的邊界層變薄，因此摩擦阻力更大[3-4,6,16]。無(wú)黏機(jī)理又稱為Garrick機(jī)理，即間歇式驅(qū)動(dòng)改變了產(chǎn)生推力的附加質(zhì)量力與產(chǎn)生誘導(dǎo)阻力的環(huán)量力之比值[13]。

目前，絕大多數(shù)關(guān)于仿生撲翼推進(jìn)的流體力學(xué)研究主要針對(duì)連續(xù)式的垂直振蕩(plunging)和俯仰旋轉(zhuǎn) (pitching) 兩種驅(qū)動(dòng)方式。近期，一些學(xué)者受到生物間歇式驅(qū)動(dòng)的啟發(fā)，開(kāi)始研究間歇式驅(qū)動(dòng)撲翼的推進(jìn)問(wèn)題。Floryan 等[14]通過(guò)水槽實(shí)驗(yàn)，測(cè)量了不同占空比(duty cycle) 條件下間歇式俯仰旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)撲翼的平均推力和平均輸出功率。他們的研究表明，間歇式驅(qū)動(dòng)普遍比連續(xù)式驅(qū)動(dòng)在能效利用率方面占優(yōu)。同時(shí)，他們還發(fā)現(xiàn)占空比的改變基本不影響一個(gè)完整驅(qū)動(dòng)周期內(nèi)產(chǎn)生的渦的位置與強(qiáng)度。Moored等[15]針對(duì)間歇式俯仰旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)的撲翼推進(jìn)問(wèn)題，開(kāi)展了無(wú)黏和有黏的數(shù)值模擬。無(wú)黏的數(shù)值模擬結(jié)果表明，在相同推進(jìn)速度的條件下，間歇式驅(qū)動(dòng)在能效方面占優(yōu)。有黏的數(shù)值模擬結(jié)果表明，在一定的速度范圍內(nèi)，間歇式驅(qū)動(dòng)在能效方面占優(yōu)。上述實(shí)驗(yàn)和數(shù)值研究的主要目標(biāo)是比較連續(xù)式和間歇時(shí)驅(qū)動(dòng)的推進(jìn)性能，對(duì)于間歇式驅(qū)動(dòng)的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)研究較少，也缺少詳細(xì)的描述。

本文通過(guò)Navier-Stokes方程和牛頓方程的耦合求解，開(kāi)展連續(xù)式和間歇式俯仰旋轉(zhuǎn)撲翼自主推進(jìn)問(wèn)題的有黏數(shù)值模擬。研究目標(biāo)是考查一定雷諾數(shù)范圍內(nèi)間歇式驅(qū)動(dòng)能否提高能效，同時(shí)對(duì)間歇式驅(qū)動(dòng)和連續(xù)式驅(qū)動(dòng)產(chǎn)生的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行對(duì)比分析。

1 計(jì)算模型

1.1 問(wèn)題描述與控制方程

我們考慮一個(gè)俯仰旋轉(zhuǎn)驅(qū)動(dòng)薄板翼的自主推進(jìn)問(wèn)題。撲翼的弦長(zhǎng)為L(zhǎng)，旋轉(zhuǎn)角度隨時(shí)間的變化規(guī)律可以采用如下的分段函數(shù)描述(如圖1所示)：

(1)

(2)

其中θ0為轉(zhuǎn)角幅值，f為撲動(dòng)頻率。Tcyc為一個(gè)包含主動(dòng)撲動(dòng)與被動(dòng)滑行的完整周期，Tb=1/f為一個(gè)完整周期中主動(dòng)撲動(dòng)的時(shí)間，DC=Tb/Tcyc為占空比。Tr(t)為主動(dòng)驅(qū)動(dòng)和被動(dòng)滑行之間的光滑過(guò)渡函數(shù)(為文獻(xiàn)[15]中過(guò)渡函數(shù)的平方)，其中m是過(guò)渡區(qū)長(zhǎng)短的控制參數(shù)。

圖1 俯仰旋轉(zhuǎn)撲翼的自主推進(jìn)問(wèn)題Fig.1 Self-propulsion of a pitching foil

我們假設(shè)流動(dòng)為二維層流。流動(dòng)可以由如下無(wú)量綱形式的不可壓縮Navier-Stokes方程描述：

(3)

(4)

其中u和p代表流體的速度和壓力。本研究采用浸入邊界方法求解流體方程，即通過(guò)引入適當(dāng)?shù)捏w積力源項(xiàng)f間接地實(shí)現(xiàn)撲翼表面的無(wú)滑移邊界條件。因此，f同時(shí)代表了撲翼和流體間的相互作用力。無(wú)量綱化的參考長(zhǎng)度、參考速度和參考時(shí)間分別為L(zhǎng)、fL和1/f。雷諾數(shù)的定義為：Ref=fL2/ν，這里ν是流體的運(yùn)動(dòng)學(xué)黏性系數(shù)。

薄板翼可以在水平方向上自主推進(jìn)(豎直方向的位移通過(guò)俯仰旋轉(zhuǎn)指定)。薄板翼在水平方向的運(yùn)動(dòng)可以由如下無(wú)量綱形式的牛頓第二定律描述：

(5)

其中β=(ρsδ)/(ρfL)為質(zhì)量比，這里ρs和ρf分別代表?yè)湟砗土黧w的密度，δ為撲翼的厚度。Fx代表沿?fù)湟肀砻娣植嫉?無(wú)量綱)拉格朗日力水平分量，Δs為拉格朗日網(wǎng)格的無(wú)量綱寬度(與求解流體方程歐拉網(wǎng)格的無(wú)量綱寬度相等)。在浸入邊界方法中，沿物面分布的拉格朗日力與出現(xiàn)在流體動(dòng)量方程中的體積力源項(xiàng)可以通過(guò)適當(dāng)?shù)牟逯捣椒ㄏ嗷マD(zhuǎn)換。

1.2 計(jì)算方法與計(jì)算網(wǎng)格

我們采用直接加力的浸入邊界方法處理運(yùn)動(dòng)邊界，采用離散流函數(shù)方法求解不可壓NS方程[17]。我們采用歐拉方法離散時(shí)間牛頓方程中的時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，并且采用松耦合方法實(shí)現(xiàn)流體和動(dòng)力學(xué)方程的耦合。我們?cè)谇捌诠ぷ髦校呀?jīng)通過(guò)大量的標(biāo)準(zhǔn)算例，對(duì)該求解器進(jìn)行了嚴(yán)格的驗(yàn)證[17-18]。

本研究采用多塊拼接的直角坐標(biāo)網(wǎng)格(如圖2所示)，以運(yùn)動(dòng)翼周圍的矩形區(qū)域?yàn)榫W(wǎng)格最密的中心塊，圍繞它向外增加環(huán)形塊；每增加一塊，網(wǎng)格的幾何尺寸加倍。該文中總計(jì)算區(qū)域?yàn)閇-23L,23L]×[-6L,6L]，網(wǎng)格總數(shù)為85萬(wàn)，一共用了5個(gè)塊。其中，中心塊所占區(qū)域?yàn)閇-15L,15L]×[-L,L]，網(wǎng)格尺寸為0.01L。

1.3 控制參數(shù)

為了在相同推進(jìn)速度的條件下對(duì)比連續(xù)式驅(qū)動(dòng)和間歇式驅(qū)動(dòng)的推進(jìn)效率。我們模擬了在基準(zhǔn)頻率f0驅(qū)動(dòng)下，占空比為0.2-0.9的間歇式驅(qū)動(dòng)的自主推進(jìn)問(wèn)題。同時(shí)，我們還模擬了0.3-0.9倍基準(zhǔn)頻率下連續(xù)式驅(qū)動(dòng)(占空比為1.0)的自主推進(jìn)問(wèn)題。模擬采用的驅(qū)動(dòng)頻率和占空比如表1所示。數(shù)值模擬采用的其它參數(shù)(雷諾數(shù)、質(zhì)量比、轉(zhuǎn)角幅值和過(guò)渡區(qū)控制參數(shù))如表2所示。

表2 模擬所用的其它控制參數(shù)Table 2 Other parameters used in the simulations

2 結(jié)果與討論

2.1 瞬時(shí)推進(jìn)速度

圖3對(duì)比了連續(xù)式驅(qū)動(dòng)(f=0.7f0)和間歇式驅(qū)動(dòng)(DC=0.5)條件下(兩者的平均推進(jìn)速度相同)，頭部的水平速度隨時(shí)間的變化規(guī)律。由圖可見(jiàn), 間歇式驅(qū)動(dòng)的主動(dòng)段存在兩段加速和兩段減速的復(fù)雜歷程,完全不同于連續(xù)式驅(qū)動(dòng)的簡(jiǎn)協(xié)振蕩規(guī)律。間歇式驅(qū)動(dòng)的滑行段是一個(gè)速度單調(diào)下降的減速段。

圖3 一個(gè)周期內(nèi)頭部水平速度隨時(shí)間的變化(左右分別對(duì)應(yīng)f=0.7f0的連續(xù)式驅(qū)動(dòng)和DC=0.5的間歇式驅(qū)動(dòng),T=1/f為連續(xù)性運(yùn)動(dòng)的周期)Fig.3 Horizontal velocity of the head as a function of time (left and right plots correspond to the continuous actuation with f=0.7 f0 and the intermittent actuation with DC=0.5 respectively)

2.2 水平力與側(cè)向力

圖4對(duì)比了連續(xù)式驅(qū)動(dòng)(f=0.7f0)和間歇式驅(qū)動(dòng)(DC=0.5)條件下(兩者的平均推進(jìn)速度相同)，水平合力隨時(shí)間的變化規(guī)律。如圖可見(jiàn)，間歇式驅(qū)動(dòng)產(chǎn)生的水平合力在主動(dòng)段出現(xiàn)了三個(gè)波峰和兩個(gè)波谷，完全偏離了連續(xù)式驅(qū)動(dòng)對(duì)應(yīng)的(近似)簡(jiǎn)協(xié)振蕩規(guī)律。進(jìn)入被動(dòng)段后，水平合力表現(xiàn)為緩慢下降的阻力。

圖4 一個(gè)周期內(nèi)水平合力隨時(shí)間的變化(左右分別對(duì)應(yīng)連續(xù)式驅(qū)動(dòng)f=0.7 f0和DC=0.5的間歇式驅(qū)動(dòng),T=1/f為連續(xù)性運(yùn)動(dòng)的周期)Fig.4 Resultant horizontal force as a function of time (left and right plots correspond to the continuous actuation with f=0.7 f0 and the intermittent actuation with DC=0.5 respectively)

圖5對(duì)比了連續(xù)式驅(qū)動(dòng)(f=0.7f0)和間歇式驅(qū)動(dòng)(DC=0.5)條件下，側(cè)向合力隨時(shí)間的變化規(guī)律。間歇式驅(qū)動(dòng)產(chǎn)生的側(cè)向合力在主動(dòng)段出現(xiàn)兩個(gè)波峰和兩個(gè)波谷，同樣完全偏離了(近似)簡(jiǎn)諧振蕩的規(guī)律。在進(jìn)入被動(dòng)段后，側(cè)向合力出現(xiàn)了一段時(shí)間的高頻振蕩，然后才逐漸衰減到零。

圖5 一個(gè)周期內(nèi)側(cè)向合力隨時(shí)間的變化(左右分別對(duì)應(yīng)連續(xù)式驅(qū)動(dòng)f=0.7f0和DC=0.5的間歇式驅(qū)動(dòng),T=1/f為連續(xù)性運(yùn)動(dòng)的周期)Fig.5 Resultant lateral force as a function of time (left and right plots correspond to the continuous actuation with f=0.7 f0 and the intermittent actuation with DC=0.5 respectively)

2.3 運(yùn)動(dòng)能耗

我們首先定義兩個(gè)衡量推進(jìn)性能的重要指標(biāo)，即平均推進(jìn)速度和平均單位質(zhì)量的輸入功率：

(6)

(7)

我們用單位質(zhì)量單位距離的能耗(COT)來(lái)衡量推進(jìn)效率，COT的定義為：

(8)

(9)

在Moored等的有黏數(shù)值模擬中，雷諾數(shù)的范圍是2500至7500，比本文雷諾數(shù)大約高一個(gè)量級(jí)。他們觀察到的COT隨推進(jìn)速度的變化規(guī)律和本文的結(jié)果在定性上基本一致[15]。

圖6 COT隨推進(jìn)速度的變化Fig.6 Variation of COT with the cruising velocity

2.4 流場(chǎng)結(jié)構(gòu)

連續(xù)式和間歇式推進(jìn)得到的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)如圖7所示，這里以推進(jìn)速度定義的雷諾數(shù)為340(對(duì)應(yīng)于圖6中的COT趨勢(shì)轉(zhuǎn)變點(diǎn))。

如圖7所示，在連續(xù)式推進(jìn)中，一個(gè)撲動(dòng)周期內(nèi)有兩個(gè)渦從尾緣脫落。脫落的渦在尾跡中以反卡門(mén)渦街的形式水平排列。因此，流場(chǎng)的平均速度剖面可以保持上下對(duì)稱。在間歇式推進(jìn)中，一個(gè)完整的周期(括主動(dòng)驅(qū)動(dòng)和被動(dòng)滑行)內(nèi)有三個(gè)渦從尾緣脫落。其中，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的渦(紅色代表的渦)由于渦之間的相互作用被撕裂為兩部分，并且和順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的渦(藍(lán)色代表的渦)組成上下兩排渦對(duì)。由于上面一排渦對(duì)的強(qiáng)度明顯低于下面一排流場(chǎng)的，平均速度剖面上下對(duì)稱性被打破?？梢酝茢?，間歇式驅(qū)動(dòng)將會(huì)帶來(lái)平均側(cè)向力不為零的問(wèn)題。這也是在仿生水下航行器的設(shè)計(jì)中需要考慮的問(wèn)題。

圖7 連續(xù)式驅(qū)動(dòng)(上)和間歇式驅(qū)動(dòng)(下)的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)對(duì)比Fig.7 Comparison of the flow structures in continuous (upper) and intermittent (lower) propulsions

3 結(jié) 論

我們通過(guò)數(shù)值模擬研究了連續(xù)式和間歇式俯仰轉(zhuǎn)動(dòng)驅(qū)動(dòng)的撲翼自主推進(jìn)問(wèn)題。研究表明，在同樣推進(jìn)速度的前提下，如果推進(jìn)速度較低，連續(xù)式推進(jìn)所需能耗較低；如果推進(jìn)速度較高，則間歇式推進(jìn)所需能耗較低。研究還發(fā)現(xiàn)，間歇式驅(qū)動(dòng)產(chǎn)生的流場(chǎng)結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)明顯的上下不對(duì)稱性，因此會(huì)產(chǎn)生一定的平均側(cè)向力。本研究得到的結(jié)果對(duì)于仿生水下航行器的設(shè)計(jì)有一定的參考價(jià)值。

致謝:感謝國(guó)家超級(jí)計(jì)算天津中心提供的計(jì)算機(jī)機(jī)時(shí)。

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