一、選擇題

1.D 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.D 8.B 9.B 1 0.D 1 1.C 1 2.A 1 3.A 1 4.B 1 5.A 1 6.D 1 7.B 1 8.D 1 9.A 2 0.D

二、填空題

三、解答題

所以ξ的分布列為表1。

表1

3 2.(1)第1組人數(shù)為5÷0.5=1 0,所以n=1 0÷0.1=1 0 0;

第2組頻率為0.2,人數(shù)為1 0 0×0.2=2 0,所以a=1 8÷2 0=0.9;

第4組人數(shù)為1 0 0×0.2 5=2 5,所以x=2 5×0.3 6=9。

(2)第2,3,4組回答正確的人數(shù)之比為1 8∶2 7∶9=2∶3∶1,所以第2,3,4組每組應(yīng)依次分別抽取2人,3人,1人。

(3)記“所抽取的人中第2組至少有1人獲得幸運(yùn)獎(jiǎng)”為事件A,抽取的6人中,第2組的設(shè)為a1,a2,第3組的設(shè)為b1,b2,b3,第4組的設(shè)為c,則從6名幸運(yùn)者中任取2名的所有可能的情況有1 5種,它們是(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,c),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,c),(b1,b2),(b1,b3),(b1,c),(b2,b3),(b2,c),(b3,c)。其中第2組至少有1人的情況有9種,它們是(a1,a2),(a1,b1),(a1,b2),(a1,b3),(a1,c),(a2,b1),(a2,b2),(a2,b3),(a2,c)。所以

3 3.(1)當(dāng)線段A F1的中點(diǎn)在y軸上時(shí),A C垂直于x軸,△A F1F2為直角三角形。

1213|A F2|,易知

由橢圓的定義可得|A F1|+|A F2|=2a,則,即a2=2b2=2(a2-c2),即a2=2c2,則

(2)由(1)得橢圓方程為x2+2y2=2b2,焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(-b,0),F2(b,0)。

①當(dāng)A B,A C的斜率都存在時(shí),設(shè)A(x0,y0),B(x1,y1),C(x2,y2),

若A B⊥x軸,則λ1=1,λ2=5,這時(shí)也有λ1+λ2=6。

綜上所述,λ1+λ2是定值6。

3 4.(1)因?yàn)閽佄锞€y2=8x的焦點(diǎn)為F(2,0),所以a=2。

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),設(shè)l:x=m y+1(m∈R,m≠0)。

將x1=m y1+1,x2=m y2+1代入上式整理得(y1-y2)[(m2+1)(y1+y2)+m(2-2t)]=0,由y1≠y2知(m2+1)(y1+y2)+m(2-2t)=0,將①代入得

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則聯(lián)立方程得(4+k2)x2+2k x-3=0,此時(shí)Δ=(2k)2-4(4+k2)(-3)=4k2+1 2＞0恒成立。由韋達(dá)定理可得x1+x2=

由點(diǎn)A,B都在直線y=k x+1上,可得y1=k x1+1,y2=k x2+1。又因?yàn)镺 A⊥O B,所 以,即x1x2+y1y2=0,即x1x2+(k x1+1)(k x2+1)=0,整理得(k2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0,將①式代入得,故

(2)假設(shè)存在過(guò)點(diǎn)B(0,-4)的直線l交橢圓于不同的兩點(diǎn)M,N,且滿足

若直線l的斜率不存在,且直線過(guò)點(diǎn)B(0,-4),則直線l即為y軸所在直線,所以直線l與橢圓的兩不同交點(diǎn)M,N就是橢圓短軸的端點(diǎn),所以

所以直線l的斜率必存在,不妨設(shè)為k。

因?yàn)橹本€與橢圓相交于不同的兩點(diǎn)M,N,所以Δ=(-3 2k)2-4×1 6×(3+4k2)＞0,解得

設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2)。

所以y1y2=(k x1-4)(k x2-4)=

所以直線l的方程為y=x-4或y=-x-4。

綜上,存在直線l:x-y-4=0或x+y+4=0滿足題意。