蔣敏杰

（常州市教育科學(xué)研究院，江蘇 常州 213003）

當(dāng)下圍繞學(xué)生核心素養(yǎng)發(fā)展的研究頗多，有的聚焦于學(xué)科課程整合，有的圍繞豐富學(xué)習(xí)方式等，這些研究都有力地推動了學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。對于一線數(shù)學(xué)教師而言，尤其是剛?cè)肼?—3年的青年教師，上好每一節(jié)數(shù)學(xué)課，用豐富、有意思的數(shù)學(xué)活動，激發(fā)興趣，引發(fā)思考，引領(lǐng)兒童用數(shù)學(xué)的思維觀察、思考，嘗試解決問題，是提升學(xué)生思維能力，也是提升教師個人專業(yè)學(xué)科教學(xué)素養(yǎng)的重要途徑。

一、當(dāng)下青年教師課堂學(xué)習(xí)活動組織設(shè)計的問題思考

通過對青年教師的課堂觀察與對話交流，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，存在一些可供思辨、進一步優(yōu)化的方面，尤其是對豐富的、具有挑戰(zhàn)性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的設(shè)計與實施。

1．“精講、多練，效率高”——“精簡了的過程”真的沒有價值

與青年教師對話，經(jīng)常提到“輕負高質(zhì)”的問題，出人意料的是，大多數(shù)教師認為，提高課堂效率的方式就是“精講，多練”，即在有限的教學(xué)時間內(nèi)，盡可能預(yù)設(shè)好“關(guān)鍵性問題”（有的也稱“核心問題”），突出重點，縮短理解概念的時間，通過練習(xí)內(nèi)容的變式，既鞏固認識，又提升了知識的應(yīng)用能力。以這種“重結(jié)果”的教學(xué)觀入手，課堂中，孩子們主要的學(xué)習(xí)方式是靜聽，指向明確的師生問答回應(yīng)與大容量的多樣練習(xí)，但唯獨缺少了“試錯”過程，缺少了“為什么”“怎么樣”的自我學(xué)習(xí)經(jīng)驗的積累。精講的目的是縮短認識、感悟方法的過程，而教師卻將主要精力放在了概念的演繹與運用上。值得思考的是，這樣“掐頭去尾”式的、忽視過程體驗的“精準”教學(xué)，對于小學(xué)生的思維發(fā)展究竟會有多少積極的推動作用，似乎留下更多的只是“書面”知識與技能。

2．“復(fù)述出結(jié)論就行”——為什么孩子們只關(guān)注結(jié)果

[現(xiàn)場]六年級《涂色部分的正方體》一課，課尾，教師組織學(xué)生反思學(xué)習(xí)過程?！巴瑢W(xué)們，通過今天的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？”第一位學(xué)生：“我知道了棱長是3厘米的正方體，涂色后一個面為紅色的有8個，兩個面為紅色的有12個?！钡诙粚W(xué)生：“我還能用字母來表示它的規(guī)律。”第三位學(xué)生：“沒有涂紅色的小正方體在正中間?！苯處煟骸皩Γㄟ^今天的學(xué)習(xí)，我們主要研究了涂色正方體中，一個面、兩個面、三個面、沒有面涂紅色的塊數(shù)，發(fā)現(xiàn)了其中的規(guī)律，今天的內(nèi)容理解了嗎？好，下課！”

這種“眼中有‘知識’，少‘方法’，輕‘過程’”的課堂學(xué)習(xí)反思，大量存在于課堂中，有些教師還將其盛贊為“目標的有效達成”。以上述片斷為例，學(xué)生對于“不同涂色正方體個數(shù)的研究方法”“數(shù)學(xué)研究本身的展開過程”“自我學(xué)習(xí)的體驗”等等，都需要通過自我體驗與內(nèi)化不斷積累。教師首先自身要走出知識本位，注重引導(dǎo)學(xué)生在關(guān)注研究過程中分享結(jié)果，如此，才能進一步引領(lǐng)學(xué)生從單一的知識技能，走向自我學(xué)習(xí)方式與方法的豐富與改進。

3．“孩子都會了，我教什么呢？”——如何抓住本質(zhì)，讓學(xué)習(xí)逐層深入

常常遇到這樣的提問：“認識乘法，我們班的孩子暑期早學(xué)了，一張口就是乘法口訣，認識乘法，學(xué)什么呢？”“平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，哪還需要啟發(fā)，一個個都這樣想？”……其實，問題的根源在于，教師自身有沒有理解教學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)實質(zhì)。比如認識乘法，是學(xué)習(xí)將幾個相同加數(shù)的加法寫成乘法的形式，還是在豐富的情境應(yīng)用中，讓學(xué)生形成幾個一組分類的能力，并意識到“幾個幾相加時”也可以用乘法表示（即乘法意義的內(nèi)涵）的含義。相信，每位教師都想不斷推動思維的深入，而過程性不豐富的一個癥結(jié)，就是對于內(nèi)容本身的實質(zhì)或內(nèi)容要素理解還存在缺失。

上述觀察與簡析，是圍繞課堂學(xué)習(xí)活動組織角度，對當(dāng)下數(shù)學(xué)課堂中存在問題的思考，機械地認識“教”與“學(xué)”的過程觀，必然會存在思維誤區(qū)，我們需要走出“非此即彼”的二元對立教學(xué)觀，從學(xué)習(xí)過程本身所具有的過程性、挑戰(zhàn)性入手，提升內(nèi)容的意義，挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科在課程實施中給予學(xué)生的學(xué)科獨特的育人價值。

圖1

二、豐盈過程，提升對兒童思維發(fā)展的內(nèi)涵認識

1.經(jīng)歷豐富的過程，促進思維能力的發(fā)展

小學(xué)數(shù)學(xué)課程是基礎(chǔ)性課程，著眼于學(xué)生良好思維方式、學(xué)習(xí)習(xí)慣與能力的培養(yǎng)。因此，不片面單純地追求學(xué)習(xí)的速度與容量，而以具體的問題情境、問題引領(lǐng)、實驗操作為基礎(chǔ)，幫助學(xué)生理解知識、感悟思想方法、積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是關(guān)鍵。這些知識、方法與經(jīng)驗需要借助于內(nèi)部語言在人腦中進行，如閱讀、心算、記憶策略等技能[1]，借助具有挑戰(zhàn)性的、具體的、豐富的活動過程加以體驗，使學(xué)習(xí)研究的相關(guān)經(jīng)驗逐步沉淀與內(nèi)化，逐步使學(xué)生“會用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達世界”[2]。

當(dāng)然，基于小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的特質(zhì)，小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要抓住學(xué)習(xí)內(nèi)容的數(shù)學(xué)實質(zhì)，具體化地設(shè)計學(xué)習(xí)內(nèi)容與方法，圍繞發(fā)現(xiàn)、分析與解決問題的過程，幫助學(xué)生形成豐富的、利于理解與應(yīng)用并逐層遞進的學(xué)習(xí)體驗。同時，當(dāng)學(xué)生通過學(xué)習(xí)過程，形成個人理解意義上的認知結(jié)構(gòu)時，進一步使相關(guān)的內(nèi)容以結(jié)構(gòu)化的方式從完整到壓縮、簡化。[3]這樣，豐富學(xué)習(xí)過程，不只是探討“學(xué)什么”“怎樣學(xué)”的問題，更是探討提升學(xué)生面對具體學(xué)習(xí)內(nèi)容時采用的具體化、個性化的學(xué)習(xí)行為方式，即“我”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)可以怎樣深入開展，從而提升學(xué)生的思維水平。

以“圖形認識”專題的一般思維方式形成為例（參見圖1）：教師通過具體學(xué)習(xí)活動，與學(xué)生共同經(jīng)歷學(xué)習(xí)研究過程，幫助學(xué)生清晰“認識”的一般路徑，內(nèi)化方法。

如此，實際教學(xué)中，教師首先要精準了解學(xué)生的認知經(jīng)驗與生活基礎(chǔ)，隨之提供適切的相關(guān)活動素材，幫助學(xué)生在自主活動中豐富對圖形的直觀認識，引導(dǎo)學(xué)生形成圖形認識的一般路徑與方法，學(xué)會從不同角度分析、比較，不斷推進學(xué)生對圖形的數(shù)學(xué)抽象及認識。

2.逐層遞進的思維，推動學(xué)習(xí)過程的豐富

數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，可優(yōu)化學(xué)生對數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，進一步推動數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程的豐富展開。這其中，基于知識內(nèi)容的系統(tǒng)構(gòu)建是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中提升思維發(fā)展、優(yōu)化能力的重要手段。兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，思維提升重在聯(lián)結(jié)與重組，建構(gòu)個性的、網(wǎng)絡(luò)化的體系，通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，形成相應(yīng)的結(jié)構(gòu)化認識，從內(nèi)容結(jié)構(gòu)、方法結(jié)構(gòu)、過程結(jié)構(gòu)中窺其全貌，幫助學(xué)生個體對數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)形成深入認識。主要體現(xiàn)在三個方面：

（1）注重結(jié)構(gòu)性。數(shù)學(xué)教師在整體把握具體內(nèi)容的結(jié)構(gòu)化表征方式中，通過對內(nèi)容、過程、方法三維一體的結(jié)構(gòu)設(shè)計，將有助于動態(tài)靈活地將知識技能、思想方法、動機激發(fā)、發(fā)散探詢、遷移等訓(xùn)練與活動體驗，融于長段的問題（主題）解決之中，在過程中幫助學(xué)生找出自己存在的障礙，學(xué)會自我反思，提升自我認知。

（2）提升挑戰(zhàn)性。讓學(xué)生的學(xué)習(xí)真實發(fā)生，需要設(shè)計具有一定思維空間和挑戰(zhàn)性的問題，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)抽象等思維過程，方法的選擇、策略的調(diào)用作為交流的內(nèi)容，才能使孩子們真正學(xué)會數(shù)學(xué)的思維。提升思維的挑戰(zhàn)性，可以創(chuàng)設(shè)結(jié)構(gòu)不完整的問題，通過對“半成品資源”“錯誤資源”的深化剖析，聚焦“為什么這樣思考”“面對問題時，我有哪些路徑”等方面，讓學(xué)生的思維在不同的路徑下轉(zhuǎn)換，尋求解決問題的方法。

（3）體現(xiàn)層次性。讓學(xué)習(xí)在不斷更新與深入中遞進，需要教師明晰問題的數(shù)學(xué)實質(zhì)與內(nèi)涵，了解學(xué)生真實的學(xué)習(xí)困難，在難點處設(shè)計，通過分層的、有向思維開放的問題，幫助學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想方法、拓展思維認知，生成個性理解的活動經(jīng)驗，使得學(xué)生在過程中，感受到自身思維品質(zhì)、思維方式的變化。

3.學(xué)習(xí)經(jīng)歷的反思，內(nèi)化學(xué)習(xí)認知的方式

通過一堂堂數(shù)學(xué)課，教師最希望學(xué)生不僅認知清晰，更要留下學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極體驗，尤其是數(shù)學(xué)思想方法與活動經(jīng)驗，因此，特別關(guān)注小結(jié)部分。但遺憾的是，教師的引導(dǎo)局限于“通過今天的學(xué)習(xí)，你有什么體會？”不同年段，差異不大。問題在于“統(tǒng)一的教條”式啟發(fā)，由于缺少方法的指導(dǎo)，并不能真正啟發(fā)學(xué)生回顧自我學(xué)習(xí)過程，獲得學(xué)習(xí)體驗，至多是一種初步的點狀的體會。而對于不同年段學(xué)生的思維特點，逐步形成相應(yīng)的反思能力，也是學(xué)生數(shù)學(xué)思維提升的重要途徑。

在低年級，教師可引導(dǎo)學(xué)生簡要復(fù)述學(xué)習(xí)知識和過程，指導(dǎo)可以從“學(xué)了什么”“是怎樣學(xué)的”等角度，通過結(jié)構(gòu)化的板書，幫助學(xué)生梳理回顧學(xué)習(xí)。中年段時，需要逐步開放問題，在師生互動中回顧學(xué)習(xí)。如“研究了什么現(xiàn)象（問題），得到什么結(jié)論？你能表達發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎？”“我們的研究分幾步，每一步研究了什么？開展了哪些活動，哪些活動你覺得最重要？”“探索活動中應(yīng)注意些什么？遇到了什么困難？我是怎樣來解決的，有些什么收獲？”至高年段，學(xué)生可獨立應(yīng)用回顧環(huán)節(jié)，對自我學(xué)習(xí)進行評價，形成相關(guān)“思維導(dǎo)圖”及“典型問題”，學(xué)會將知識主動關(guān)聯(lián)，豐富認知方式，提升思維能力。

三、優(yōu)化過程，實現(xiàn)方式豐富與思維發(fā)展的同步

結(jié)合具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動，“學(xué)”與“教”呈現(xiàn)出雙向交互的融合過程。通過意義“契合”，讓每一個學(xué)生在學(xué)習(xí)中感受到數(shù)學(xué)內(nèi)容、學(xué)習(xí)過程、研究方法上的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，從而達成數(shù)學(xué)認知從散點走向整體、走向個人建構(gòu)的內(nèi)化過程，推動思維發(fā)展、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)型。

1.經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)過程——讓“知”與“思”同步

放緩學(xué)習(xí)的節(jié)奏，讓學(xué)生經(jīng)歷完整的問題解決過程，思考由淺入深、由表及里，將會不斷打開思路，尋求新的突破。慢下來思考，經(jīng)歷充分的學(xué)習(xí)體驗過程，就是給予孩子更多的探究時空，“思”與“知”的同步，促進學(xué)生在“做”與“思”中感悟思想方法，積累豐富的活動經(jīng)驗，并為后續(xù)學(xué)習(xí)提供智能支撐。

在《平行四邊形面積計算》教學(xué)中，教師首先提供了一個問題情境：你能想辦法求出這個平行四邊形的面積嗎？互相說一說是怎樣解決這個問題的。學(xué)生在操作的過程中馬上動手從頂點出發(fā)，沿著高剪開，將小三角形平移拼合成一個長方形。

S1：我沿高剪開，平移后可以形成一個長方形，長就是平行四邊形的底，寬也就是平行四邊形的高。所以平行四邊形的面積=底×高。

T：你是怎樣想到的？

S1：我們小組里交流后覺得需要對圖形進行轉(zhuǎn)化，就可以求出平行四邊形的面積。

S2：我們聯(lián)系上節(jié)課的實踐活動，通過拼一拼、移一移的方法解決問題。

S3：而且除了這條高，還可以有無數(shù)條高，都可以拼成長方形。

……

T：對，通過操作，我們通過轉(zhuǎn)化的策略實現(xiàn)了平行四邊形與長方形的變化。這樣平行四邊形的面積就是長×寬。

似乎通過本次交流對話，問題解決了。但可以想象，如果僅限于此，這種過程學(xué)習(xí)的定位局限于知道與模仿，對于學(xué)習(xí)本身沒有達到啟發(fā)與借鑒的作用。[4]如果我們再多聽聽孩子的聲音，總結(jié)成問題，精彩或許還在繼續(xù)：

T：我在想“為什么從高剪？”從其他地方剪是不是也能轉(zhuǎn)化成長方形？（這種想法是對轉(zhuǎn)化思想的深入理解）

教師基于學(xué)生的思考，適度推進交流的層次，勻速的交流節(jié)奏會瞬時變化。

T：不從高剪，從其他角度可以剪嗎？為什么選擇從兩條斜邊的中點剪？

T：除了平行四邊形，你認為還有哪些平面圖形面積可供研究，怎樣研究？

借助學(xué)生的疑問，教師策劃交流活動，為學(xué)生揭示了“剪、移、折、拼”等方法背后的一般原理，為提升學(xué)生的認識與思維水平，提供相當(dāng)?shù)闹?。在多向互動中生成“高質(zhì)量”的研究活動，使得學(xué)生的思維品質(zhì)得以充分的彰顯。正如華師大卜玉華教授所言：“主動探索和發(fā)現(xiàn)是兒童智力和意志得以集中的最主要的根源。如果沒有探索和發(fā)現(xiàn)，兒童的意志力就不會集中，兒童的志趣、愛好和靈感也就無從產(chǎn)生。只有兒童主動投入到學(xué)生中去，其學(xué)習(xí)潛力才能猶如火星，使整個課堂教學(xué)燃起豐富而完美的熊熊大火，推動課堂思潮向深層次推進?！盵5]

2.經(jīng)歷推理過程——讓“思”與“能”同步

在多樣情境中選擇合適方法，借助數(shù)學(xué)的方式進行思維的“聚散”，是數(shù)學(xué)認知的重要體現(xiàn)，也是思維品質(zhì)提升背后數(shù)學(xué)能力的發(fā)展點。教師開放的問題，學(xué)生個性化的探究活動，教師序列化的資源呈現(xiàn)，學(xué)生自主化的結(jié)構(gòu)重建，都是促進數(shù)學(xué)思維提升、形成數(shù)學(xué)認知的重要途徑。華東師范大學(xué)吳亞萍教授在闡述數(shù)學(xué)學(xué)科獨特育人價值中這樣陳述：“只有將結(jié)構(gòu)化的符號知識重新‘激活’，才能實現(xiàn)知識對學(xué)生的由‘外’向‘內(nèi)’轉(zhuǎn)化……才有可能借助結(jié)構(gòu)的支撐，使學(xué)生獲得超越知識、學(xué)習(xí)情境的運用，并在此基礎(chǔ)上形成策略意義上的發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)、靈活應(yīng)用結(jié)構(gòu)、結(jié)構(gòu)化思維的能力?！盵6]

在《三角形面積計算》一課中，大多數(shù)教師都會指導(dǎo)學(xué)生進行發(fā)現(xiàn)與探究，但事實上，如果推進中沒有教師小步子的“啟發(fā)”，學(xué)生的發(fā)現(xiàn)是盲目的、無序的，絕大多數(shù)的學(xué)生拿著一個三角形不知道怎樣轉(zhuǎn)化，學(xué)生沒有思考的方向和路徑，當(dāng)教師提供了兩個完全相同的三角形以后，學(xué)生才能在嘗試的過程中將兩個完全相同的三角形拼成平行四邊形來推導(dǎo)公式。

如何去改變，這節(jié)課不僅是解決圖形轉(zhuǎn)化的問題，還要結(jié)合具體的探究問題，向上看、向下看其思維發(fā)展的線索。事實上，如果細致地分析數(shù)學(xué)知識的“生長點”與“延伸點”，本節(jié)課研究的思維方法生成于“平行四邊形”，在研究平行四邊形面積計算中，突出“轉(zhuǎn)化”研究的策略，學(xué)生在研究三角形面積的過程中，思考也就有了方向。

“把三角形轉(zhuǎn)化成長方形，就要想辦法產(chǎn)生直角”“把三角形轉(zhuǎn)化成平行四邊形,可以從平行的對邊入手”，“想特征——找聯(lián)系——試轉(zhuǎn)化”為學(xué)生實現(xiàn)轉(zhuǎn)化提供了思考方向的結(jié)構(gòu)支撐?！皥D形中的特殊點（中點）、特殊線（高）能夠幫助我們實現(xiàn)轉(zhuǎn)化”為學(xué)生提供了思維路徑的結(jié)構(gòu)支撐。

繼續(xù)往下思考，梯形的面積計算是否也是如此呢？正因為有了這樣的思維突破口才打開了學(xué)生的思路，“把未知轉(zhuǎn)化為已知”不再是一句口號。[7]讓學(xué)生在活動中意識到問題探究的共性方法，感悟提煉結(jié)構(gòu)的思維路徑，形成“教”“用”結(jié)構(gòu)的意識，才能真正突破思維的局限，走向更為深刻的意義聯(lián)結(jié)。

3.經(jīng)歷體驗過程——讓“能”與“情”同步

體驗生成與方法，讓學(xué)生隨著知識的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用過程而“心隨意動”。數(shù)學(xué)的探究、發(fā)現(xiàn)過程，必將伴隨著積極的情感體驗不斷促進學(xué)生個體展開活動?？梢哉f情感與意志只有在豐富的、安全的情境下才有可能被激發(fā)，只有在挑戰(zhàn)中才得以維持，進一步作用于學(xué)習(xí)本身。深化體驗方法是對數(shù)學(xué)知識理解、應(yīng)用與創(chuàng)新層面的深入，通過過程與方法的同步，促進學(xué)生心智發(fā)展，讓每一位學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中獲得“發(fā)展動力”。當(dāng)然，經(jīng)歷體驗也需豐富與變化，才可能不斷生成新的思維，使得每一位學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的變幻、內(nèi)容的豐富、形式的奇特、“能”與“情”的同步，進一步提升學(xué)生應(yīng)對各項研究的良好認知情緒狀態(tài)。

“多邊形的內(nèi)角和”教學(xué)。

第一層次：教師以“十五邊形的內(nèi)角和是多少呢？”切入問題探究，新的問題激發(fā)起學(xué)生探究的興趣。教師抓住學(xué)生興趣點，引領(lǐng)發(fā)現(xiàn)，“遇到復(fù)雜問題，怎樣來研究呢？”幫助學(xué)生形成一類問題的思考方式，即“化繁為簡”“從簡單問題想起”，最終聚焦三角形。

第二層次：已知“三角形的內(nèi)角和”，如何從三角形拓展到四邊形，再到其他多邊形呢？通過學(xué)生的自主嘗試，得到量與分的方法求出四邊形的內(nèi)角和，認識到量具有誤差，而將四邊形分成2個三角形是一般方法，總結(jié)方法中進行類比遷移，嘗試解決五邊形、六邊形的內(nèi)角和，再通過觀察猜想“多邊形內(nèi)角和是不是（多邊形的邊數(shù)－2）×180°？”整個探究環(huán)節(jié)做了一個普遍化推理應(yīng)用。整個學(xué)習(xí)過程中，由一次觀察導(dǎo)向一個普遍的規(guī)律，使學(xué)生意識到以前數(shù)學(xué)中很多結(jié)論都是這樣發(fā)現(xiàn)的。我們可以繼續(xù)追問：為什么三角形的個數(shù)會比邊數(shù)少2？使結(jié)論更有依據(jù)。最后回顧發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)角和規(guī)律的方法（參見圖2）。

圖2

豐富學(xué)生探究體驗，形成積極、定向的探究意愿與方法，完善的數(shù)學(xué)認知下，學(xué)生以后碰到同類探索規(guī)律的問題都將形成方法，解決其他的問題時，再靈活運用方法，學(xué)生心智豐富，數(shù)學(xué)思維得到同步提升。

小學(xué)數(shù)學(xué)課堂立足于思維發(fā)展、學(xué)習(xí)方式豐富與優(yōu)化的相關(guān)研究，對于青年數(shù)學(xué)教師，不是一種簡單的個人經(jīng)驗的升華，而應(yīng)是基于教學(xué)實踐下的個人課堂轉(zhuǎn)型。豐盈課堂學(xué)習(xí)過程，以問題為抓手，不斷推動師生交往互動，課堂向縱深推進，將給予學(xué)生更好的課堂生活，也會成就青年教師的專業(yè)成長?！?/p>

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